ஒரு கணத்தின் பிரிவினை: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
"File:Indiabundleware.jpg|thumb|அஞ்சல் தலைக..."-இப்பெயரில் புதிய பக்கம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது |
|||
வரிசை 1: | வரிசை 1: | ||
[[File:Indiabundleware.jpg|thumb|அஞ்சல் தலைகளின் கணமொன்று சிறுசிறு கட்டுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அக்கட்டுகளில் எதுவும் காலியாக இல்லை. மற்றும் எந்தவொரு அஞ்சல் தலையும் இரு கட்டுகளில் இல்லை.]] |
[[File:Indiabundleware.jpg|thumb|அஞ்சல் தலைகளின் கணமொன்று சிறுசிறு கட்டுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அக்கட்டுகளில் எதுவும் காலியாக இல்லை. மற்றும் எந்தவொரு அஞ்சல் தலையும் இரு கட்டுகளில் இல்லை.]] |
||
[[File:Set partitions 5; circles.svg|thumb|5 உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் 52 பிரிவுகள்]] |
[[File:Set partitions 5; circles.svg|thumb|5 உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் 52 பிரிவுகள்]] |
||
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''ஒரு கணத்தின் பிரிவினை''' (''partition of a set'') என்பது [[கணம் (கணிதம்)|அக்கணத்தை]] ஒன்றுக்கொன்று மேற்படிதல் இல்லாத வெற்றில்லா சிறுசிறு |
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''ஒரு கணத்தின் பிரிவினை''' (''partition of a set'') என்பது [[கணம் (கணிதம்)|அக்கணத்தை]] ஒன்றுக்கொன்று மேற்படிதல் இல்லாத வெற்றில்லா சிறுசிறு உட்கணங்களாகப் பிரிப்பதாகும். இவ்வாறு பிரிக்கப்பட்ட உட்கணங்கள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்தால் மூலகணமானது கிடைக்கும். மேலும் அச் சிறு உட்கணங்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று பொது உறுப்புகள் இல்லாதவையாகவும் இருக்கும். |
||
== வரையறை == |
== வரையறை == |
05:00, 14 மே 2016 இல் நிலவும் திருத்தம்
கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் பிரிவினை (partition of a set) என்பது அக்கணத்தை ஒன்றுக்கொன்று மேற்படிதல் இல்லாத வெற்றில்லா சிறுசிறு உட்கணங்களாகப் பிரிப்பதாகும். இவ்வாறு பிரிக்கப்பட்ட உட்கணங்கள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்தால் மூலகணமானது கிடைக்கும். மேலும் அச் சிறு உட்கணங்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று பொது உறுப்புகள் இல்லாதவையாகவும் இருக்கும்.
வரையறை
X என்ற கணத்தின் பிரிவினை என்பது X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு x ம் ஒரேயொரு உட்கணத்தில் மட்டும் உள்ளவாறு பிரிக்கப்பட்ட X இன் வெற்றில்லா உட்கணங்களின் கணமாகும்.
பின்வரும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்தால், செய்தால் மட்டுமே P என்ற கணம் X இன் பிரிவினையாக இருக்க முடியும்:
- P இன் உறுப்புகளில் எதுவும் வெற்றுக் கணம் இல்லை.
- P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களின் ஒன்றிப்பு, X கணமாகும்.
- P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களில் எந்த இரு கணங்களின் வெட்டும் வெற்றுக் கணம்.
கணிதக் குறியீட்டில் இந்நிபந்தனைகள்:
இங்கு -வெற்றுக் கணம்.
P இன் உறுப்புகள் பிரிவினையின் தொகுதிகள், பகுதிகள் அல்லது சிற்றறைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன[1]. P இன் தரம் |X| − |P| (X முடிவுறு கணமாக இருந்தால்).
எடுத்துக்காட்டுகள்
- ஒவ்வொரு ஓருறுப்பு கணத்திற்கும் ஒரேயொரு பிரிவினைதான் உண்டு.
- கணம் {x} இன் ஒரேயொரு பிரிவினை { {x} }.
- வெற்றில்லா கணம் X இற்கு, P = {X} என்பது X இன் மிகஎளிய பிரிவினையாகும் (trivial partition).
- U கணத்தின் ஒரு வெற்றற்ற தகு உட்கணம் A மற்றும் அதன் நிரப்பு கணம் இரண்டும் ({A, U−A}) U இன் பிரிவினையாக அமையும்.
- { 1, 2, 3 } கணத்திற்கு 5 பிரிவினைகள் உண்டு:
- { {1}, {2}, {3} }. இதனை 1|2|3 எனவும் எழுதலாம்.
- { {1, 2}, {3} }, அல்லது 12|3.
- { {1, 3}, {2} }, அல்லது 13|2.
- { {1}, {2, 3} }, அல்லது 1|23.
- { {1, 2, 3} }, அல்லது 123
- பின்வருபவை { 1, 2, 3 } கணத்தின் பிரிவினைகள் அல்ல:
- { {}, {1, 3}, {2} } (இதில் ஒரு உறுப்பு வெற்றுக் கணமாக இருப்பதால்)
- { {1, 2}, {2, 3} } ( 2, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பகுதிகளில் உள்ளதால்)
- { {1}, {2} } (எந்தவொரு பகுதியிலும் 3 இல்லாததால்).
பிரிவினையும் சமான உறவும்
கணம் X இல் வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவைப் பொறுத்த சமானப் பகுதிகளின் கணம் X பிரிவினையாக அமையும். மறுதலையாக P of X இன் ஒரு பிரிவு P லிருந்து X இல் ஒரு சமான உறவை வரையறுக்கலாம்:
- x , y ஆகிய இரண்டு உறுப்புகள் P இன் ஒரே பகுதியில் அமைந்தால் x ~ y. எனவே சமான உறவு மற்றும் பிரிவினை என்ற இரண்டு கருத்துக்களும் சமானமானவை.[2]
குறிப்புகள்
மேற்கோள்கள்
- Brualdi, Richard A. (2004). Introductory Combinatorics (4th edition ). Pearson Prentice Hall. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-13-100119-1.
- Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-12-622760-8.