கற்பனை அலகு

சிக்கலெண் தலத்தில் i. கிடைமட்ட அச்சில் (மெய் அச்சு) மெய்யெண்களும் கற்பனை எண்கள் குத்து அச்சில் (கற்பனை அச்சு) அமைகின்றன.

கற்பனை அலகு அல்லது அலகு கற்பனை எண் (imaginary unit, unit imaginary number) என்றழைக்கடும் $i$ ஆனது, மெய்யெண்களை (ℝ) சிக்கலெண்களுக்கு (ℂ) நீட்டிக்கும் ஒரு கணிதக் கருத்துரு ஆகும். இவ்வாறு மெய்யெண்கள் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதால் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் P(x) குறைந்தபட்சம் ஒரு மூலமாவது கிடைக்கிறது.

i இன் முக்கியப் பண்பு:

i² = −1

வர்க்கத்தை எதிரெண்ணாகக் கொண்ட மெய்யெண்களே இல்லை என்பதால் i ஒரு கற்பனை எண்ணாகக் கொள்ளப்படுகிறது. கற்பனை அலகைக் குறிப்பதற்கு, சில இடங்களில் i என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக j அல்லது கிரேக்க எழுத்தான ι பயன்படுத்தப்படுகின்றது.

வரையறை

i இன் அடுக்குகள் மீண்டும் சுழலும் மதிப்புகள்:
... (நீலப் பகுதியையடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன)
i−3 = i
i−2 = −1
i−1 = −i
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
... (நீலப் பகுதியையடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன)

i இன் வரையறையானது, i இன் வர்க்கம் -1 என்ற பண்பை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது:

$i^{2}=-1\ .$

ஆனால் i இன் இந்த வரையறையின் விளைவாக, i, -i என -1 க்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் கிடைக்கின்றன.

மெய்யெண்களில் மேற்கொள்ளப்படும் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எந்தவொரு கணிதச் செயலையும் சிக்கலெண்களில் மேற்கொள்ளும்போது, iஐ மதிப்புத் தெரியாத கணியமாகப் பாவித்து செயல்களைச் செய்தபின்னர், விளைவில் உள்ள i² இன் மதிப்பை −1 எனப் பதிலிட வேண்டும். மேலும் i இன் அடுக்கு இரண்டைவிட அதிகமாக இருப்பின் அவற்றை −i, 1, i, −1 ஆகியவற்றைக் கொண்டு பதிலிடலாம்:

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,$

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,$

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,$

இதேபோல சுழியற்ற மெய்யெண்களுக்குப் போலவே i க்கும் கீழுள்ளவை உண்மையாகும்:

$i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1\,$

சிக்கலெண் i இன் கார்ட்டீசிய வடிவம்:

$i=0+i$ (i இன் மெய்ப்பகுதி சுழியாகவும் கற்பனைப் பகுதி ஒரு அலகாகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண் i இன் போலார் வடிவம்:

பாகுபடுத்தல் தோல்வி (தொடரமைப்புத் தவறு): {\displaystyle i = \text cis \frac{\pi}{2}} (i இன் மட்டு மதிப்பு 1 ஆகவும் கோணவீச்சு ^π/₂ ஆகவும் உள்ளது.)

சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதியிலிருந்து ஓர் அலகு தொலைவில் கற்பனை அச்சின் மீது அமையும் புள்ளியாக i இருக்கும்.

பண்புகள்

வர்க்க மூலங்கள்

i இன் வர்க்கமூலம்

சிக்கலெண் தளத்தில் i இன் இரு வர்க்கமூலங்கள்

iஇன் வர்க்க மூலத்தை கீழுள்ள இரு சிக்கலெண்களில் ஏதாவது ஒன்றாகக் கொள்ளலாம்

${\sqrt {i}}=\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

வலதுபுறத்தை வர்க்கப்படுத்த:

${\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\ \\\end{aligned}}$

இதே முடிவை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

x = π/2 எனப் பதிலிட,

$e^{i(\pi /2)}=\cos(\pi /2)+i\sin(\pi /2)=0+i1=i\,\!.$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண,

${\sqrt {i}}=\pm e^{i(\pi /4)}\,\!,$

ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\pm (\cos(\pi /4)+i\sin(\pi /4))\\&={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+{\frac {i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).\\\end{aligned}}$

−i இன் வர்க்கமூலம்

i இன் வர்க்கமூலத்தை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,$

x = 3π/2 எனப் பதிலிட:

$e^{i(3\pi /2)}=\cos(3\pi /2)+i\sin(3\pi /2)=0-i1=-i\,\!.$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:

${\sqrt {-i}}=\pm e^{i(3\pi /4)}\,\!,$

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

${\begin{aligned}{\sqrt {-i}}&=\pm (\cos(3\pi /4)+i\sin(3\pi /4))\\&=-{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}+i{\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&={\frac {-1+i}{\pm {\sqrt {2}}}}\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1).\\\end{aligned}}$

i இன் வர்க்கமூலத்தை i ஆல் பெருக்க, -i இன் வர்க்கமூலம் கிடைக்கும்:

${\begin{aligned}{\sqrt {-i}}=(i)\cdot (\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i))\\&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1i+i^{2})\\&=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(i-1)\\\end{aligned}}$

பெருக்கலும் வகுத்தலும்

பெருக்கல்

எந்தவொரு சிக்கலெண்ணையும் i ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:

$i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai.$

(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து இடஞ்சுழியாக (எதிர்-கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

வகுத்தல்

i ஆல் வகுப்பது, i இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமானமாகும்:

${\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i.$

இம் முடிவை a + bi சிக்கலெண்ணை i ஆல் வகுப்பதில் பயன்படுத்த:

${\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai.$

(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து வலஞ்சுழியாக (கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)

அடுக்குகள்

i இன் அடுக்குகள் கீழுள்ள போக்கில் சுழலும் தன்மை கொண்டுள்ளன (n ஏதேனுமொரு முழு எண்):

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

எனவே,

பாகுபடுத்தல் தோல்வி (தொடரமைப்புத் தவறு): {\displaystyle i^n = i^{n (மாடுலோ) 4}\,}

$i^{n}=\cos(n\pi /2)+i\sin(n\pi /2)$

i இன் அடுக்கு i

ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,

$i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}$ ($k\in \mathbb {Z}$, முழுஎண்களின் கணம்)

இதன் முதன்மை மதிப்பு ( k = 0): :e^−π/2 அல்லது 0.207879576... (தோராயமாக)

தொடர்பெருக்கம்

கற்பனை அலகுi இன் தொடர்பெருக்கம்:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

மேலும்,

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}$

மாற்றுக் குறியீடுகள்

• மின் பொறியியலில் மின்னோட்டத்தின் குறியீடு i(t) அல்லது i எனக் குறிக்கப்படுவதால், குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும் விதமாக கற்பனை அலகு j எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
• பைத்தான் நிரலாக்க மொழியிலும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதியைக் குறிப்பதற்கு j பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• மேட்லேப் i, j இரண்டுமே கற்பனை அலகைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகிறது
• சுட்டெண்கள், கீழெழுத்துக்களில் இருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் நோக்கில், சில புத்தகங்களில் கற்பனை அலகைக் குறிக்கக் கிரேக்க எழுத்தான (iota) (ι) பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

மேலும் படிக்க

• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-691-02795-1. 

வெளி இணைப்புகள்

• Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence