ஆரம், வடிவியல்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

05:19, 22 ஏப்பிரல் 2014 இல் நிலவும் திருத்தம்

வடிவவியலில், ஆரம் அல்லது ஆரை (radius) என்பது வட்டம் அல்லது கோளம் ஒன்றின் சுற்றளவில் உள்ள எந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்தும் அதன் மையப் புள்ளிக்கு வரையப்படும் நேர்கோட்டுத் துண்டின் நீளத்தைக் குறிக்கும்.^[1] ஒரு வட்டத்தில் எண்ணற்ற ஆரங்களை வரையறுக்க இயலும். அவை ஒத்த அளவுடையதாக இருக்கும்.

மாட்டு வண்டியில் இருக்கும் மரத்தால் செய்யப்பட்ட சக்கரத்தில் அதன் மையப்பகுதியாகிய குடத்திலிருந்து சக்கர விளிம்பிலுள்ள வட்டையை தாங்கி நிற்கும்படி நிறுத்தப்பட்டுள்ள கால்-மரத்தை ஆரை என்பர். ^[2] ^[3]

ஆரை பொதுவாக r என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும். இது விட்டத்தின் (d) அளவில் பாதியாக இருக்கும்.:^[4]

d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.

சுற்றளவில் இருந்து ஆரை

வட்டம் ஒன்றின் சுற்றளவு C எனின், அதன் ஆரை பின்வரும் சமன்பாட்டினால் தரப்படும்:

r={\frac {C}{2\pi }}.

பரப்பளவில் இருந்து ஆரை

வட்டம் ஒன்றின் பரப்பளவு A எனின், அதன் ஆரை:

r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}

.

மூன்று புள்ளிகளில் இருந்து ஆரை

P₁, P₂, P₃ எனும் மூன்று புள்ளிகளூடாகச் செல்லும் வட்டம் ஒன்றின் ஆரை பின்வருமாறு தரப்படும்:

r={\frac {|P_{1}-P_{3}|}{2\sin \theta }}

இங்கு θ என்பது கோணம் $\angle P_{1}P_{2}P_{3}.$ ஆகும்.

இச்சமன்பாடு சைன் விதியைப் பயன்படுத்துகிறது. மூன்று புள்ளிகளும் $(x_{1},y_{1})$ , $(x_{2},y_{2})$ , $(x_{3},y_{3})$ ஆகிய ஆள்கூறுகளால் தரப்படின், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்:

r={\frac {\sqrt {\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{3}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{3}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{3}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{3}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)}}{2\left|{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{2}}}+{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{3}}}+{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{3}}}-{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{2}}}\right|}}

சீரான பல்கோணங்களுக்கான சமன்பாடுகள்

பின்வரும் சமன்பாடுகள் n பக்கங்களைக் கொண்ட சீரான பல்கோணங்களுக்கானது.

s பக்கத்தைக் கொண்ட பல்கோணம் ஒன்றின் ஆரை:

r=R_{n}\,s

இங்கு

R_{n}={\frac {1}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}\quad \quad {\begin{array}{r|ccr|c}n&R_{n}&&n&R_{n}\\\hline 2&0.50000000&&10&1.6180340-\\3&0.5773503-&&11&1.7747328-\\4&0.7071068-&&12&1.9318517-\\5&0.8506508+&&13&2.0892907+\\6&1.00000000&&14&2.2469796+\\7&1.1523824+&&15&2.4048672-\\8&1.3065630-&&16&2.5629154+\\9&1.4619022+&&17&2.7210956-\end{array}}

மேற்கோள்களும் குறிப்புகளும்

↑ Definition of Radius at dictionary.reference.com. Accessed on 2009-08-08.
↑ ஆரை வேய்ந்த அரைவாய் சகடம் (பெருமாணாற்றுப்படை 50), (அகநானூறு 301),
↑ ஆரைச் சாகாட்டு ஆழ்ச்சி போக்கும்
உரனுடை நோன் பகட்டு அன்ன எம் கோன் (புறநானூறு 60)
↑ Definition of radius at mathwords.com. Accessed on 2009-08-08.

[radic-1] Definition of Radius at dictionary.reference.com. Accessed on 2009-08-08.

[2] ஆரை வேய்ந்த அரைவாய் சகடம் (பெருமாணாற்றுப்படை 50), (அகநானூறு 301),

[3] ஆரைச் சாகாட்டு ஆழ்ச்சி போக்கும்
உரனுடை நோன் பகட்டு அன்ன எம் கோன் (புறநானூறு 60)

[mwd1-4] Definition of radius at mathwords.com. Accessed on 2009-08-08.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ வரிசை 1: / வரிசை 1: @@
-[[படிமம்:Circle-1.png|left| ஆரம் என்னும் ஆரை]]
 [[File:Rusty Cart Wheel 2000px.jpg|thumb|right|வண்டிச் சக்கரத்தின் ஆரைக்கால்]]
+[[படிமம்:Circle-1.png|right|thumb|ஆரம் என்னும் ஆரை]]
-[[வட்டம்|வட்டத்தின்]] எந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்தும் அதன் மையப் புள்ளிக்கு வரையப்படும் [[நேர்கோடு|நேர்கோட்டுத்]] துண்டிற்குப் (Line segment) பெயர் '''ஆரம்''' அல்லது '''ஆரை''' (Radius) எனப்படும். ஒரு வட்டத்தில் எண்ணற்ற ஆரங்களை வரையறுக்க இயலும். அவை ஒத்த அளவுடையதாக இருக்கும். அது [[விட்டம்|விட்டத்தின்]] (Diameter) அளவில் பாதியாக இருக்கும்.
+[[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]], '''ஆரம்''' அல்லது '''ஆரை''' (''radius'') என்பது [[வட்டம்]] அல்லது [[கோளம்]] ஒன்றின் [[சுற்றளவு|சுற்றளவில்]] உள்ள எந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்தும் அதன் மையப் புள்ளிக்கு வரையப்படும் [[கோட்டுத்துண்டு|நேர்கோட்டுத் துண்டின்]] நீளத்தைக் குறிக்கும்.<ref name="radic">[http://dictionary.reference.com/browse/Radius Definition of Radius] at dictionary.reference.com. Accessed on 2009-08-08.</ref> ஒரு வட்டத்தில் எண்ணற்ற ஆரங்களை வரையறுக்க இயலும். அவை ஒத்த அளவுடையதாக இருக்கும்.
 மாட்டு வண்டியில் இருக்கும் மரத்தால் செய்யப்பட்ட சக்கரத்தில் அதன் மையப்பகுதியாகிய குடத்திலிருந்து சக்கர விளிம்பிலுள்ள வட்டையை தாங்கி நிற்கும்படி நிறுத்தப்பட்டுள்ள கால்-மரத்தை ஆரை என்பர். <ref>ஆரை வேய்ந்த அரைவாய் சகடம் (பெருமாணாற்றுப்படை 50), (அகநானூறு 301),</ref> <ref>ஆரைச் சாகாட்டு ஆழ்ச்சி போக்கும்<br />உரனுடை நோன் பகட்டு அன்ன எம் கோன் (புறநானூறு 60)</ref>
+ஆரை பொதுவாக '''r''' என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும். இது [[விட்டம்|விட்டத்தின்]] ('''d''') அளவில் பாதியாக இருக்கும்.:<ref name="mwd1">[http://www.mathwords.com/r/radius_of_a_circle_or_sphere.htm Definition of radius] at mathwords.com. Accessed on 2009-08-08.</ref>
-==அடிக்குறிப்பு==
+: <math>d \doteq 2r \quad \Rightarrow \quad r = \frac{d}{2}.</math>
+==சுற்றளவில் இருந்து ஆரை==
+வட்டம் ஒன்றின் [[சுற்றளவு]] ''C'' எனின், அதன் ஆரை பின்வரும் சமன்பாட்டினால் தரப்படும்:
+: <math>r = \frac{C}{2\pi}.</math>
+==பரப்பளவில் இருந்து ஆரை==
+வட்டம் ஒன்றின் [[பரப்பளவு]] ''A'' எனின், அதன் ஆரை:
+: <math>r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}</math>.
+==மூன்று புள்ளிகளில் இருந்து ஆரை==
+''P''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>, ''P''<sub>3</sub> எனும் மூன்று புள்ளிகளூடாகச் செல்லும் வட்டம் ஒன்றின் ஆரை பின்வருமாறு தரப்படும்:
+: <math>r=\frac{|P_1-P_3|}{2\sin\theta}</math>
+இங்கு ''θ'' என்பது கோணம் <math> \angle P_1 P_2 P_3.</math> ஆகும்.
+இச்சமன்பாடு [[சைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்துகிறது. மூன்று புள்ளிகளும் <math> (x_1,y_1) </math>,
+<math> (x_2,y_2) </math>, <math> (x_3,y_3) </math> ஆகிய ஆள்கூறுகளால் தரப்படின், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்:
+: <math> r={\frac {\sqrt{ \left(  \left( {\it x_2}-{\it x_1} \right) ^{2}+ \left( {\it y_2}-{\it y_1} \right) ^{2} \right)  \left(  \left( {\it x_2}-{\it x_3} \right) ^{2}+ \left( {\it y_2}-{\it y_3} \right) ^{2} \right)  \left( \left( {\it x_3}-{\it x_1} \right) ^{2}+ \left( {\it y_3}-{\it y_1} \right) ^{2} \right)} }{ 2 \left| {\it x_1}\,{\it y_2}+{\it x_2}\,{\it y_3}+{\it x_3}\,{\it y_1}-{\it x_1}\,{\it y_3}-{\it x_2}\,{\it y_1}-{\it x_3}\,{\it y_2} \right| }}</math>
+==சீரான பல்கோணங்களுக்கான சமன்பாடுகள்==
+பின்வரும் சமன்பாடுகள் ''n'' பக்கங்களைக் கொண்ட சீரான [[பல்கோணம்|பல்கோணங்களுக்கானது]].
+''s'' பக்கத்தைக் கொண்ட பல்கோணம் ஒன்றின் ஆரை:
+: <math>r = R_n\, s</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;இங்கு&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math> R_n = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{n}} \quad\quad
+  \begin{array}{r|ccr|c}
+    n & R_n & & n & R_n\\
+    \hline
+& 0.50000000 & & 10 & 1.6180340- \\
+& 0.5773503- & & 11 & 1.7747328- \\
+& 0.7071068- & & 12 & 1.9318517- \\
+& 0.8506508+ & & 13 & 2.0892907+ \\
+& 1.00000000 & & 14 & 2.2469796+ \\
+& 1.1523824+ & & 15 & 2.4048672- \\
+& 1.3065630- & & 16 & 2.5629154+ \\
+& 1.4619022+ & & 17 & 2.7210956-
+  \end{array}
+</math>
+==மேற்கோள்களும் குறிப்புகளும்==
 {{reflist}}
 [[பகுப்பு:வட்டம்]]
 [[பகுப்பு:வடிவவியல்]]