பகா எண்

பகா எண் (இலங்கை வழக்கு: முதன்மை எண், Prime Number) என்பது 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர வேறு நேர் வகுத்திகள் இல்லாத, 1 ஐ விடப் பெரிய இயல் எண்ணாகும். 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர வேறு வகுத்திகள் கொண்ட பிற இயல் எண்கள் (1 நீங்கலாக) கலப்பெண்கள் (composite numbers) என அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இயல் எண் 11 ஒரு பகா எண். அதற்கு 1 ஐத் தவிர வேறு வகுத்திகள் இல்லை. இயல் எண் 6 ஒரு கலெப்பெண். ஏனெனில் இதன் வகுத்திகள்: 1, 2, 3, 6.

கணிதத்தில் மட்டுமல்லாது, அறிவியலைச் சார்ந்த மிகப்பல பிரிவுகளிலும், பகா எண் என்ற கருத்து எண்களைப் பற்றிய பற்பல உறவுகளில் பங்களிக்கிறது. எண் கோட்பாட்டில் பகா எண் முக்கிய பங்குவகிக்கிறது. எண்கள் தோன்றிய காலத்திலிருந்தே பகா எண் என்ற கருத்துள்ள பெயர் இருந்திருக்காவிட்டாலும், கருத்தளவில் அது மனிதனின் எண்ணத்தில் தோன்றியிருக்க வேண்டும் என்றும், அத்தோன்றலே அறிவியலின் தொடக்கம் என்ற கருத்தும் உள்ளது. பகா எண்களைப் பற்றி சில கருத்துக்கள் ஆய்வு செய்யப்பட முடியாமலே பல நூற்றாண்டுகள் சென்றபிறகு, தற்காலத்தில் கணினிகளின் உதவியால் அவை மீண்டும் பெரிய அளவிலே ஆய்வு செய்யப்பட்டு வெற்றியும் தந்து கொண்டிருக்கின்றது.

அறிமுகம்

1,2,3,4, ... என்று முடிவில்லாமல் போகும் இயல் எண் தொடரில், எந்தெந்த எண்ணுக்கு அதே எண்ணையும், 1 ஐயும் தவிர வேறு காரணிகள் அல்லது வகுனிகள் அல்லது வகுத்திகள், (அதாவது, சரியாக வகுக்கும் எண்கள்) கிடையாதோ, அவ்வெண்ணுக்கு பகா எண் என்று பெயர். இதைத் தனி அல்லது தனியெண் என்றும், பகாத்தனி என்றும் சொல்வதும் உண்டு. 1 ஐ பகா எண்களில் ஒன்றாக சேர்ப்பதில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக,

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53 என்பன முதல் 16 பகா எண்களாகும்.

கலப்பு எண்கள்

பகா எண்களல்லாத வகுபடும் எண்களுக்கு கலப்பு எண்கள் எனப்பெயர். 1 ஐ கலப்பு எண்களிலும் சேர்ப்பதில்லை.

4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26 முதலியவை முதல் 16 கலப்பு எண்களாகும்.

ஒவ்வொரு கலப்பு எண்ணையும் பகா எண்களின் (பகாத்தனிகளின்) பெருக்காகக் காட்டலாம்.

எ.கா.: $24=3\times 2\times 2\times 2=3.2^{3}$

$100=5\times 5\times \times 2\times 2=5^{2}.2^{2}$

ஒரு கலப்பு எண் இம்மாதிரி பகா எண்களின் பெருக்குச் சேர்வையாகக் காட்டப்படும்போது, அப்பகா எண்களின் வரிசையை மாற்றலாம் என்பதைத் தவிர வேறு விதத்தில் இன்னொரு பெருக்குச் சேர்வையாகக் காட்டமுடியாது. இதையே வேறு விதமாகச் சொன்னால், ஒரு கலப்பு எண்ணுக்கு, பகா எண்களின் மூலம் பெருக்குச் சேர்வை ஒன்றே ஒன்றாகத்தான் இருக்கமுடியும். இதை பகாக் காரணித்தல் தேற்றம் (Prime Factorization Theorem) (பகாத்தனி வகுபிரிவுத் தேற்றம்) என்று சொல்வார்கள்.

மெர்சென் பகாத்தனி

பகாத்தனி எண்களில் ஒரு வகையானவற்றுக்கு மெர்சென் பகாத்தனி என்று பெயர்.

$p\,$ என்பது ஒரு பகாத்தனி என்றால் $2^{p}-1\,$ஒரு பகாத்தனிதானா? அது பகாத்தனியானால் அதற்கு மெர்சென் பகாத்தனி எனப்பெயர். மாரின் மெர்சென் (Marin Mersenne) என்பவர் டேக்கார்ட் காலத்து பிரான்சியக் கணித இயலர். 1644 இல் அவர் ஒரு கணித யூகம் விடுத்தார். அதாவது:

$p\leq 257$ ஆக இருந்தால், $p$ = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 என்ற பகா எண்கள் தான் $2^{p}-1\,$ ஐ பகா எண்களாக்கமுடியும்.

ஆனால் சிறிது சிறிதாக மெர்சென்னின் இந்தக் கூற்று திருத்தப்பட்டு, 1947 இல் கடைசித் திருத்தம் செய்யப்பட்டபோது பின்வருமாறு மாறியது:

$p\leq 257$ ஆக இருந்தால், $p$ = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 என்ற பகாத்தனிகள் தான் $2^{p}-1\,$ ஐ பகாத்தனிகளாக்கமுடியும்.

தற்காலத்திய மெர்சென்னின் பகாத்தனிப் பட்டியலை, மெர்சென் பகாத்தனி கட்டுரையில் பார்க்கவும். அக்டோபர் 31, 2008 வரை மொத்தம் 46 மெர்சென் பகாத்தனி எண்கள்தாம் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. ஆகஸ்டு 2008ல் கண்டுபிடித்த 12,978,189 இலக்கங்கள் கொண்ட பகாத்தனி எண் (2^43,112,609 − 1) தான் இன்று நாம் அறிந்த யாவற்றினும் பெரிய பகாத்தனி எண் ஆகும்

ஃபெர்மா பகாத்தனி

ஃபெர்மா (1601-1665) பகாத்தனிகளைப்பற்றி பல கேள்விகள் எழுப்பினார். $2^{2^{n}}+1$, n = 0,1,2,3, ... என்ற எண்கள் ஃபெர்மாவின் பெயரை உடைத்தவை. அவைகளெல்லாம் பகாத்தனிகளா என்பது ஃபெர்மாவின் கேள்வி. n = 0,1,2,3,4 க்கு ஒத்ததான ஐந்து ஃபெர்மா எண்கள் பகாத்தனிகள் தாம். ஆனால் ஆறாவது, அதாவது,

$2^{2^{5}}+1$

பகா எண்ணல்ல. இதை 100 ஆண்டுகள் கழித்து அவ்வெண்ணுக்கு 641 என்ற எண் காரணியாக உள்ளது என்று ஆய்லர் கொடுத்த நிறுவல் தீர்த்துவைத்தது.

பகா எண்களின் எண்ணிக்கை

முதல் $x$ நேர்ம முழு எண்களில் எவ்வளவு எண்கள் பகாத்தனிகளாக இருக்கும்? இந்த எண்ணிக்கையை $\pi (x$) என்று அழைப்பது வழக்கம். இதற்கு ஒரு தோராய மதிப்பை லெஜாண்டர் (1752-1833) 1796 இல் யூகமாக உலகின் முன்வைத்தார். அது பகா எண் தேற்றம் (Prime Number Theorem அல்லது PNT) என்ற பெயரில் இன்று புழங்கி வருகிறது. இதை 1898 இல் தனித்தனியே நிறுவியவர்கள் ஹாடமார்டும் டெ லா வாலி புவாஸான் என்பவரும். இதன்படி

$\pi (x)$ இன் தோராய மதிப்பு $x/lnx$. அதாவது, $x$ முடிவிலியை நோக்கி ஒருங்கும்போது,

${\frac {\pi (x)}{\frac {x}{lnx}}}\rightarrow$

இந்த நிறுவலில் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 1948 இல் ஸெல்பர்க், பால் ஏர்டோசு இருவரும் சேர்ந்து இதற்கு ஒரு மாற்று நிறுவல் கொடுத்தார்கள். அதில் ரீமான் ஜீட்டா சார்பின் தேவையில்லை. அதனால் இதற்கு 'பகா எண் தேற்றத்தின் சாதாரண நிறுவல்' (Elementary Proof of PNT) என்று பெயர் வந்தது. இதற்காக ஸெல்பர்க்கிற்கு ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் 1950 இல் வழங்கப்பட்டது.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• இராமானுசன்
• சு. சி. பிள்ளை (எசு. எசு. பிள்ளை)