இருமுகக் குலங்கள்

கணிதத்திலும் இன்னும் மற்ற அறிவியல் சார்ந்த துறைகளிலும் இருமுகக்குலங்கள் (Dihedral Groups) என்று அழைக்கப்படும் குல வகைகள் வழங்கப்படுகின்றன. ஒரு சமப் பல்கோணத்தின் சமச்சீர்களை அலசும்போது தவறாமல் ஏற்படும் கணித அமைப்புகள்தான் இவை. $n>2$, பக்கங்களுள்ள சமப்பன்முகியின் $2n$ சமச்சீர்களால் -- சுழற்சிகளும் எதிர்வுகளும் --ஏற்படுகின்ற குலம் D_n என்ற குறியீட்டால் அழைக்கப்படும். பெயரால் குறிக்கப் படும்போது, 3-வது இருமுகக்குலம் (D₃), 4-வது இருமுகக்குலம் (D₄), ... , $n$-வது இருமுகக்குலம் (D_n) என்று சொல்வோம். இவைகளெல்லாம் பரிமாற்றலல்லாத குலங்கள்.

இருமுகக்குலத்தின் உறுப்புகள்

சமபக்க அறுமுகியின் பிரதிபலிப்பு சமச்சீர்கள்

n பக்கங்களுள்ள ஒரு சமபக்க பன்முகியில் 2n வெவ்வேறு சமச்சீர்கள் உள்ளன.இவைகளிள் n சுழற்சிச்சமச்சீர்களும் n பிரதிபலிப்புச் சமச்சீர்களும் அடங்கும். இவையே D_n என்ற இருமுகக் குலத்திற்குக் காரணமாகின்றன. n ஒற்றைப்படையாயிருந்தால், சமச்சீர் அச்சுகள் ஒரு பக்கத்தின் மையப்புள்ளியையும் எதிரிலுள்ள உச்சிப்புள்ளியையும் சேர்க்கும். n இரட்டைப்படையாயிருந்தால் n/2 அச்சுகள் எதிரெதிர் பக்கங்களின் மையப்புள்ளிகளையும், n/2 அச்சுகள் எதிரெதிர் உச்சிப்புள்ளிகளையும் சேர்ப்பன. ஆக, இரண்டு சூழ்நிலையிலும் மொத்தம் n சமச்சீர் அச்சுகள் இக்குலத்திற்கு 2n உறுப்புகளை வழங்குகின்றன. ஓர் அச்சில் செய்யப்படும் பிரதிபலிப்பு மற்றொரு அச்சில் செய்யப்படும் பிரதிபலிப்பினால் தொடரப்பட்டால் அச்சுகளுக்கிடையேயுள்ள கோணத்தைப்போல் இருபங்கு கோணத்தையுடைய சுழற்சியில் முடியும்.கீழேயுள்ள படிமம் D₈ இலுள்ள 16 உறுப்புகளை சாலைகளிலுள்ள நில் குறிமூலம் காட்டுகிறது.

முதல் வரிசை எட்டு சுழற்சிகளையும் இரண்டாவது வரிசை எட்டு பிரதிபலிப்புகளையும் காட்டுகின்றன.

3-வது இருமுகக்குலம் (கிரமம் 6)

இது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் சமச்சீர்க்குலம்.மூன்று சுழற்சிகளும் மூன்று எதிர்வுகளும் கொண்டது. ஒவ்வொரு எதிர்வும் முக்கோணத்தின் ஓர் உச்சியிலிருந்து எதிர் பக்கத்திற்குப்போகும் செங்குத்துக்கோட்டில் பிரதிபலிப்பு. உச்சிகளை 1,2,3 எனப்பெயரிட்டால், ஆறு சமச்சீர்களையும் வரிசைமாற்றங்களாக எழுதலாம்:

(1)(2)(3) = முற்றொருமை; (123) ; (132); (1)(23); (2)(13) ; (3)(12).

இவ்வாறில், முதல் மூன்றும் சுழற்சிகள்; பின் மூன்றும் எதிர்வுகள். ஆக, D₃ சமச்சீர்குலமான S₃ உடன் சம அமைவியமுடையது.அதாவது இரண்டிற்கும் இடையே இருவழிக்கோப்பு உளது.பார்க்ககெய்லி குல அட்டவணை.

4-வது இருமுகக்குலம் (கிரமம் 8)

இது D₄ எனப்படும். இதிலுள்ள எட்டு உறுப்புகளும் ஒரு சதுரத்தின் சமச்சீர்கள். இக்குலத்திற்கு மற்றுமொரு பெயர் எட்டுறுப்புக்குலம் (Octic Group).