இயற்கணிதச் சார்பு

கணிதத்தில் இயற்கணிதச் சார்பு (algebraic function) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் மூலமாக (root of a polynomial) வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும். பெரும்பாலும் இயற்கணிதச் சார்புகள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், பின்ன அடுக்குகளுக்கு உயர்த்தல் போன்ற இயற்கணிதச் செயல்களைக் கொண்ட முடிவுறு உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

$f(x)=1/x,f(x)={\sqrt {x}},f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}$

எனினும் இவ்வாறு முடிவுறு கோவைகளாக எழுத முடியாத சில இயற்கணிதச் சார்புகள் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு:

$f(x)^{5}+f(x)^{4}+x=0$.

n படியில், x எனும் ஒரு மாறியில் அமைந்த இயற்கணிதச் சார்பு $y=f(x)$ ஆனது கீழ்வரும் இயற்கணிதச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்:

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0$

இதிலுள்ள கெழுக்கள் a_i(x) , பல்லுறுப்புக்கோவை x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கும். a_i க்களின் மதிப்புகள் கணம் S இல் அமைந்திருக்கும். பெரும்பாலும் $S=\mathbb {Q}$ ஆக இருக்கும். தரப்பட்ட விகிதமுறு எண்ணில், அத்தகைய ஒரு இயற்கணிதச் சார்பின் மதிப்பு, இயற்கணித எண் எனப்படும்.

இயற்கணிதச் சார்பாக இல்லாத சார்பு, விஞ்சிய சார்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

$\exp(x),\tan(x),\ln(x),\Gamma (x)$.

விஞ்சிய சார்புகளின் சேர்ப்பு ஒரு இயற்கணிதச் சார்பாக அமையலாம்:

$f(x)=\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$.

m மாறிகளில் அமைந்த இயற்கணிதச் சார்பானது, m + 1 மாறிகளில் அமைந்த பல்லுறுக்கோவைச் சார்பின் மூலமாக அமையும் சார்பு (y) ஆக வரையறுக்கப்படுகிறது:

$p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.\,$

ஒரு மாறியிலமைந்த இயற்கணிதச் சார்புகள்

• $y-p(x)=0.\,$ சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவை $y=p(x)$ ஒரு இயற்கணிதச் சார்பு

• $q(x)y-p(x)=0$ சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமையும் விகிதமுறு சார்பு $y={\frac {p(x)}{q(x)}}$ ஒரு இயற்கணிதச் சார்பு.

• $y^{n}-p(x)=0.$ சமன்பாட்டின் n ஆம் மூலமான $y={\sqrt[{n}]{p(x)}}$ ஒரு இயற்கணிதச் சார்பு.

வரலாறு

கணிதவியலாளர் ரெனே டேக்கார்ட்டின் காலத்திலிருந்தே இயற்கணிதச் சார்பு குறித்த கருத்துக்கள் நிலவின. முதன்முதலாக, 1794 இல் கணிதவியலாளர் எட்வர்டு வார்னிங்கின் கட்டுரையில் இயற்கணிதச் சார்பு காணப்பட்டுள்ளது:

y ஆயதொலைவைக் குறிக்கும் ஒரு கணிமம், x ஆயதொலைவின் இயற்கணிதச் சார்பாக அமைந்தால், வகுத்தல், மூலம் காணல் போன்ற கணிதச் செயல்களால் தொடர் விரிவாக அதனை மாற்றிக்கொண்ட பின்னர் தொகையிட வேண்டும்.

மேற்கோள்கள்

• Lars Ahlfors (1979). Complex Analysis. McGraw Hill. https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1. 
• Bartel Leendert van der Waerden (1931). Modern Algebra, Volume II. Springer. 

வெளியிணைப்புகள்

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,
இயற்கணிதச் சார்புகள்
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன.

• Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math
• Weisstein, Eric W., "Algebraic Function", MathWorld.
• Algebraic Function at PlanetMath.
• Definition of "Algebraic function" பரணிடப்பட்டது 2020-10-26 at the வந்தவழி இயந்திரம் in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science