Nஆம் படி மூலம்

0 - 10 இன் மூலங்கள். x-அச்சு = n. y-அச்சு = x இன் nஆம் மூலங்கள்.

கணிதத்தில், x என்ற எண்ணின் nஆம் மூலம் அல்லது nஆம் படி மூலம் ( nth root) r என்பது கீழுள்ள சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் மதிப்பாகும்.

$r^{n}=x,$ இதில் n நேர்ம முழு எண்ணாக அமையும்.

n , மூலத்தின் படி எனப்படும். இரண்டாம்படி மூலம், வர்க்கமூலம் எனவும், மூன்றாம்படி மூலம், கனமூலம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. மூன்றுக்கும் மேற்பட்ட படிகொண்ட மூலங்கள் அந்தந்த எண்களின் பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன (எடுத்துக்காட்டாக, நான்காம்படி மூலம், ஐந்தாம்படிமூலம்,...).

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 2² = 4; -2² = 4 என்பதால், 2, -2 இரண்டும் நான்கின் வர்க்கமூலங்கள்.
• 5³ = 125 என்பதால், 5 ஆனது 125 இன் கனமூலம்.
• 3⁴ = 81 என்பதால், 3 ஆனது 81 இன் நான்காம்படி மூலம்.

ஒவ்வொரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண்ணின், nஆம் படி மூலங்களின் எண்ணிக்கை n ஆகும். பூச்சியத்தின் அனைத்து nஆம் படி மூலங்களும் வெவ்வேறாக இல்லாமல் 0 ஆக இருக்கும். ஆனால் பூச்சியம் தவிர்த்த பிற மெய்யெண் (சிக்கலெண்)களின் nஆம் படி மூலங்கள் அனைத்தும் வெவ்வேறானவையாக இருக்கும்.

• n ஒரு இரட்டையெண்; x ஒரு நேர்ம மெய்யெண் எனில்:

x இன் nஆம் படி மூலங்களில் ஒன்று நேர்ம எண்; ஒன்று எதிர்ம எண்; மற்றவை சிக்கலெண்கள்.

• n ஒரு இரட்டையெண்; x ஒரு எதிர்ம மெய்யெண் எனில்:

x இன் nஆம் படி மூலங்களில் ஒன்றுகூட மெய்யெண்ணாக இருக்காது.

• n ஒரு ஒற்றையெண்; x ஒரு மெய்யெண் எனில்:

x இன் nஆம் படி மூலங்களில் ஒன்று, மெய்யெண்ணாகவும் x இன் குறியையே உடையதாகவும் இருக்கும்; மற்றவை மெய்யெண்களாக இருக்காது.

• x மெய்யெண் அல்ல எனில்:

x இன் nஆம் படி மூலங்களில் ஒன்றுகூட மெய்யெண்ணாக இருக்காது.

${\sqrt {\,\,}}$ அல்லது $\surd {}$ என்பது மூலக்குறியீடாகும். ${\sqrt {x}}\!\,$, $\surd x$ என்பது x இன் வர்க்கமூலத்தையும், ${\sqrt[{3}]{x}}\!\,$ கனமூலத்தையும், ${\sqrt[{4}]{x}}$ நான்காம் மூலத்தையும் குறிக்கின்றன.

${\sqrt[{n}]{x}}$ என்பதில்,

n என்பது ’வரிசை’

${\sqrt {\,\,}}$ ’மூலக் குறியீடு’

x என்பது ’அடிமானம்’ என அழைக்கப்படுகின்றன.

முதன்மை மூலம்

மூலக்குறியீடு ஒரு சார்பாக இருப்பதால் ஒரு எண்ணை மூலக்குறியீட்டுக்குள் எழுதினால், அதனால் கிடைக்கும்மதிப்பு ஒன்றே ஒன்று மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே ஒரு எண்ணின் n ஆம் மூலங்களில் எதிரிலா மெய்யெண்ணாக இருக்கும் மூலமே முதன்மை மூலமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும். ஒரேயொரு மெய்யெண் மூலம் மட்டுமே இருந்து அதுவும் எதிர்மமாக இருந்தால் அந்த எதிர்ம மூலமே முதன்மை மூலமாகக் கொள்ளப்படும்.

விகிதமுறாமூலம்

பிரிக்காத, மூலக்குறியோடு உள்ள மூலமானது விகிதமுறாமூலம் (surd) எனப்படும் வர்க்கமூலம், கனமூலம் அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட உயர்படி விகிதமுறாமூலங்களைக் கொண்ட கோவை விகிதமுறாமூலக் கோவை எனப்படும். மேலும் அக்கோவையில் விஞ்சிய சார்புகளோ விஞ்சிய எண்களோ இல்லையெனில் அது இயற்கணிதக் கோவையாக இருக்கும்.

நுண்கணிதத்தில் மூலங்கள், அடுக்குகளைப் பின்னங்களாகக் கொண்ட அடுக்கேற்றத்தின் சிறப்பு வகையாகக் கருதப்படுகிறது:

${\sqrt[{n}]{x}}\,=\,x^{1/n}$

முடிவிலா தொடர்களில், மூலங்கள் முக்கியமான பயன்பாடு கொண்டுள்ளன. ஒரு அடுக்குத் தொடரின் ஒருங்கும் ஆரம், மூலச் சோதனை மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சிக்கலெண்களுக்கும் Nஆம் படிமூலங்களை வரையறுக்கலாம்.  1 இன் சிக்கலெண் மூலங்கள் (ஒன்றின் படிமூலங்கள்) உயர்கணிதத்தில் அதிகப் பயன்பாடு கொண்டுள்ளன.

வரையறயும் குறியீடும்

−1 இன் நான்காம்படி மூலங்கள்; இவை மெய்யெண்கள் அல்ல.

−1 இன் கனமூலங்கள். இவற்றில் ஒன்று எதிர்ம மெய்யெண்

n நேர்ம முழுஎண் எனில், x க்குச் சமனான, n ஆம் அடுக்கு கொண்ட, n மெய் அல்லது சிக்கலெண்களில் ஏதாவது ஒன்றாக x இன் nஆம் படி மூலம் இருக்கும்:

$r^{n}=x.\!\,$

ஒவ்வொரு நேர்ம மெய்யெண்ணுக்கும் ஒரேயொரு நேர்ம nஆம் படிமூலம் இருக்கும். அப்படிமூலம் அந்த மெய்யெண்ணின் முதன்மை nஆம் படி மூலம் என அழைக்கப்படும் அந்த மூலம் ${\sqrt[{n}]{x}}$ என எழுதப்படும். n = 2 எனில், x இன் முதன்மை வர்க்கமூலம் ${\sqrt {x}},$ ஆகும். இதில் n இன் மதிப்பு குறிக்கப்படுவதில்லை.

nஆம் படி மூலத்தை அடுக்காகவும் எழுதலாம்:

x^1/n

n இரட்டையெண் எனில்: நேர்ம எண்களுக்கு ஒரு நேர்ம nஆம் படி மூலம் மட்டுமல்லாமல் ஒரு எதிர்ம nஆம் படி மூலமும் இருக்கும். ஆனால் எதிர்ம எண்களுக்கு, மெய்யெண் nஆம் படி மூலங்களே இருக்காது.

n இன் ஒற்றையெண் எனில்:

ஒவ்வொரு எதிர்ம எண் x க்கும் ஒரு எதிர்ம மெய்யெண் nஆம் படி மூலம் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

−2 க்கு ஒரு எதிர்ம மெய் ஐந்தாம்படி மூலம் உள்ளது: ${\sqrt[{5}]{-2}}\,=-1.148698354\ldots$ :ஆனால் −2 க்கு மெய் ஆறாம்படி மூலம் எதுவும் கிடையாது.

பூச்சியமற்ற ஒவ்வொரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் x க்கும் மொத்தம் வெவ்வேறான n சிக்கலெண்கள், nஆம் மூலங்களாக இருக்கும். அம் மூலங்களில் சில நேர்மமாகவும், சில எதிர்மமாகவும் இருக்கும். x = 0 தவிர, x இன் பிற மதிப்புகளுக்கு மூலங்கள் அனைத்தும் வெவ்வேறானவையாக இருக்கும். x = 0 எனும்போது அதன் மூலங்கள் எல்லாம் பூச்சியமாக இருக்கும்.

nஆம் அடுக்குகளாகவுள்ள முழுஎண்கள் மற்றும் இரண்டு nஆம் அடுக்குகளின் விகிதங்களாக அமையும் விகிதமுறு எண்கள் தவிர்த்த அனைத்துப் பிற எண்களின் nஆம் மூலங்களும் விகிதமுறா எண்களாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\sqrt {2}}=1.414213562\ldots$

முழுஎண்களின் எல்லா nஆம் மூலங்களும் இயற்கணித எண்களாகும்.

வர்க்க மூலங்கள்

The graph $y=\pm {\sqrt {x}}$ இன் வரைபடம்.

முதன்மைக் கட்டுரை: வர்க்கமூலம்

x இன் ”வர்க்கமூலம்” r எனில், r இன் வர்க்கம் x ஆகும்:

$r^{2}=x.\!\,$

ஒவ்வொரு நேர்ம மெய்யெண்ணுக்கும் இரு வர்க்கமூலங்கள் உண்டு. அவற்றில் ஒன்று நேர்மமாகவும் மற்றொன்று எதிர்மமாகவும் இருக்கும். நேர்ம வர்க்கமூலமானது, ”முதன்மை வர்க்கமூலம்” ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு: 25 இன் வர்க்கமூலங்கள் 5, −5.

${\sqrt {25}}=5.\!\,$ 25 இன் முதன்மை வர்க்கமூலம் ஆகும்.

ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணின் வர்க்கமும் நேர்ம எண்ணாகவே இருக்கும் என்பதால், எதிர்ம எண்களுக்கு மெய் வர்க்கமூலங்கள் கிடையாது. எனினும் ஒவ்வொரு எதிர்ம எண்ணுக்கும் இரு கற்பனை எண்கள் வர்க்கமூலங்களாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு: −25 இன் வர்க்கமூலங்கள்: 5i , −5i . இதில் i என்பது −1 இன் வர்க்கமூலம்.

கன மூலங்கள்

$y={\sqrt[{3}]{x}}$ இன் வரைபடம்.

முதன்மைக் கட்டுரை: கனமூலம்

x இன் ”கனமூலம்” r எனில், r இன் கனம் (கணிதம்) x ஆகும் :

$r^{3}=x.\!\,$

ஒவ்வொரு மெய்யெண் x க்கும் ஒரேயொரு மெய் கனமூலம் ${\sqrt[{3}]{x}}$ மட்டுமே இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\sqrt[{3}]{8}}\,=\,2\quad {\text{and}}\quad {\sqrt[{3}]{-8}}\,=-2.$

ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், ஒரு மெய் கனமூலம் தவிர, வேறு இரண்டு சிக்கலெண் கனமூலங்களும் உண்டு.

விகிதமுறாமூலத்தின் எளிய வடிவம்

உட்பொதிவற்ற ஒரு விகிதமுறாமூலத்தின் எளிய வடிவம் கீழுள்ளவற்றை நிறைவு செய்யும்:

1. வரிசை எண்ணைவிட உயர் அல்லது சம அடுக்கு கொண்ட வடிவில் எழுதப்படக்கூடிய காரணி எதுவும் விகிதமுறாமூலத்திலுள்ள அடிமான எண்ணுக்கு இருக்காது.
2. மூலக்குறியின்கீழ் பின்னங்கள் இருக்காது.
3. பகுதியில் விகிதமுறா மூலம் இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டு: ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ ஐ எளிய வடிவத்துக்கு மாற்றல்:

முதலில், வர்க்கமூலக்குறிக்குள் உள்ள முழுவர்க்கக் காரணிகளைக் கண்டுபிடித்து அவற்றின் வர்க்கமூலங்களைக் காண:

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}$

அடுத்து மூலக்குறியின் கீழுள்ள பின்னங்களை நீக்க:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

இறுதியாக பகுதியிலுள்ள விகிதமுறாமூலத்தை நீக்க::

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$

பகுதி விகிதமுறாமூலங்களைக் கொண்டிருந்தால், அவற்றை நீக்குவதற்கு ஏதுவாக, பகுதி மற்றும் தொகுதி இரண்டையும் பெருக்கி, எளிய வடிவிற்கு மாற்றுவதற்குப் பொருத்தமான காரணியைக் காண முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}})({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}})}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.$

உட்பொதிவான விகிதமுறாமூலங்களை எளிய வடிவிற்கு மாற்றுவது சற்று சிக்கலானதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}$

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {(1+{\sqrt {2}})^{2}}}=1+{\sqrt {2}}$

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}$

முடிவிலாத் தொடர்

படி மூலத்தை ஒரு முடிவிலாத் தொடராகக் காணமுடியும்:

$(1+x)^{s/t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n},$ $|x|<1$.

இதனை ஈருறுப்புத் தொடரிலிருந்து தருவிக்க முடியும்.

முதன்மை மூலம் காணல்

ஒரு முழுஎண்ணின் nஆம் படி மூலம் எப்பொழுதுமே முழு எண்ணாக இருக்காது. அவ்வாறு முழுஎண்ணாக இல்லாத nஆம் படி மூலம், விகிதமுறு எண்ணாகவும் இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டாக, 34 இன் ஐந்தாம்படி மூலம்:

${\sqrt[{5}]{34}}=2.024397458\ldots ,$

இது ஒரு முடிவுறா மீளா தசம பின்னமாக உள்ளதால் இது ஒரு விகிதமுறா எண்.

முற்றொருமைகளும் பண்புகளும்

ஒவ்வொரு நேர்ம மெய்யெண்ணும் ஒரு நேர்ம n ஆம் படிமூலம் கொண்டுள்ளது. விகிதமுறா மூலங்களைக் கொண்டு கணிதச் செயல்கள் செய்வதற்கான விதிமுறைகள்:

${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\,,$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\,.$

படிமூலங்களை அடுக்குகளின் வாயிலாக ($x^{1/n}$)> எழுதினால், அடுக்குகளையும் மூலங்களையும் சுருக்குவது எளிதாகும்.

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left(a^{m}\right)^{\frac {1}{n}}=a^{\frac {m}{n}}.$

மடக்கை மூலம் காணல்

ஒரு நேர்ம எண்ணின் முதன்மை nஆம் படிமூலத்தை மடக்கையைப் பயன்படுத்திக் காணமுடியும்.

$r^{n}=x,$ இதில் x நேர்மம் எனில், அதன் முதன்மை மூலமும் நேர்மமாக இருக்கும். எனவே மடக்கை (பத்தடிமானம்) காண:

$n\log _{10}r=\log _{10}x$

$\log _{10}r={\frac {\log _{10}x}{n}}$

எதிர்மடக்கை காண:

$r=10^{\frac {\log _{10}x}{n}}$

x எதிர்மமாகவும், n ஒற்றையெண்ணாகவும் இருக்கும்போது, ஒரு எதிர்ம முதன்மை மூலம் இருக்கும். சமன்பாட்டின் இருபுறமும் -1 ஆல் பெருக்க:

$|r|^{n}=|x|,$

$n\log _{10}|r|=\log _{10}|x|$

$\log _{10}|r|={\frac {\log _{10}|x|}{n}}$

எதிர்மடக்கை காண:

$|r|=10^{\frac {\log _{10}|x|}{n}}$

இதில், r = –|r| என்ற பதிலிட, முதன்மை மூலம் கிடைக்கும்.

சிக்ககெண் மூலங்கள்

பூச்சியமற்ற ஒவ்வொரு சிக்கலெண்ணுக்கும் n வெவ்வேறான nஆம் படி மூலங்கள் உள்ளன.

வர்க்கமூலங்கள்

i இன் வர்க்கமூலங்கள்

ஒரு சிக்கலெண்ணின் இரு வர்க்கமூலங்களும் ஒன்றுக்கொன்று எதிர்மமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டு:

• −4 இன் வர்க்கமூலங்கள்: 2i, −2i
• i இன் வர்க்கமூலங்கள்:

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i),$ $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).$

ஒரு சிக்கலெண் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையில் எழுதப்பட்டிருந்தால், அதன் ஆரமதிப்பிற்கு வர்க்கமூலம் எடுத்து, கோணத்தினைப் பாதியாக்குவதன் மூலம் அச்சிக்கலெண்ணின் வர்க்கமூலம் காணமுடியும்.

${\sqrt {re^{i\theta }}}\,=\,\pm {\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}.$

ஒன்றின் மூலங்கள்

ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள்

முதன்மைக் கட்டுரை: ஒன்றின் படிமூலம்

சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் nஆம் படி மூலங்கள்

$1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},$

இதில்,

$\omega \,=\,e^{2\pi i/n}\,=\,\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$

இம்மூலங்கள் சிக்கலெண் தளத்திலமைந்த ஓரலகு வட்டத்தின்மீது சீரான இடைவெளியில் $2\pi /n$ மடங்கு கோணங்களில் அமைகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

ஒன்றின் வர்க்கமூலங்கள் 1, −1

ஒன்றின் நான்காம்படி மூலங்கள் 1, $i$, −1, $-i$.

nஆம் படி மூலங்கள்

ஒவ்வொரு சிக்கலெண்ணுக்கும் n வெவ்வேறான nஆம்படி மூலங்கள் உள்ளன.

$\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},$

இதில்,

η என்பது அச்சிக்கலெண்ணுக்குரிய தனி nஆம் படி மூலம்

1, ω, ω², ... ωⁿ⁻¹ ஆகியவை ஒன்றின் nஆம்படி மூலங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு:

2 இன் நான்காம்படி மூலங்கள்:

${\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.$

வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையில் nஆம் படி மூலம் காணும் வாய்ப்பாடு:

${\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt[{n}]{r}}\,e^{i\theta /n}.$

இதில் r என்பது, மூலங்கள் காணவேண்டிய சிக்கலெண்ணின் மட்டு மதிப்பு.

அச்சிக்கலெண்ணை a+bi வடிவில் எழுதினால்:

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$\theta ,$ என்பது, ஆதியை ஒரு ஆதாரமாகக் கொண்டு கடிகாரதிசையில் கிடை அச்சிலிருந்து தரப்பட்ட சிக்கலெண் வரை உருவாகும் கோணத்தின் அளவு.

இக்கோணவளவு பின்வரும் முடிவுகளை நிறைவு செய்யும்:

$\cos \theta =a/r,$ $\sin \theta =b/r,$ $\tan \theta =b/a$