2 × 2 அணியின் வர்க்கமூலம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search

2 x 2 அணியொன்றின் வர்க்கமூல அணியானது, (square root of a 2x2 matrix) மற்றொரு 2 x 2 அணியாகவும், மேலும் அதனை அதனோடு பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி மூல அணியாகவும் அமையும்.

2 x 2 அணி R இன் வர்க்கமூல அணி M எனில், அது ஒரு 2 x 2 அணியாகவும் M = R2 என்பதை நிறைவு செய்யும் அணியாகவும் இருக்கும்.

ஒரு 2 × 2 அணிக்கு வர்க்கமூலங்களே இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது இரண்டு, நான்கு, ஆறு ... என இரட்டை எண்ணிக்கையிலான எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்களும் இருக்கலாம். பூச்சியமற்ற இரு வெவ்வேறான ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு 2 × 2 அணிக்கு நான்கு வர்க்கமூலங்கள் இருக்கும். ஒரு நேர்ம-வரைவு அணியின் வர்க்கமூலங்களில் ஒன்றுமட்டுமே நேர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.

எல்லா வரிசை அணிகளுக்கும் அவற்றின் வர்க்கமூலங்கள் சோடிகளாக அமையும். R என்பது M இன் ஒரு வர்க்கமூலம் எனில், –R உம் M இன் மற்றொரு வர்க்கமூலமாக இருக்கும் ((–R)(–R) = (–1)(–1)(RR) = R2 = M).

வாய்பாடு[தொகு]

A, B, C, D என்பன மெய்யெண்களாகவோ சிக்கலெண்களாகவோ இருக்கலாம்.
τ = A + D என்பது M இன் சுவடு.
δ = AD - BC என்பது M இன் அணிக்கோவை.
s என்பது s2 = δ,
t என்பது t2 = τ + 2s.

t ≠ 0 எனில் M இன் வர்க்கமூல அணி[1][2]:

R இன் வர்க்கம் M ஆகவுள்ளதைக் காணலாம்:

M இன் உறுப்புகள் எல்லாம் மெய்யெண்களாக இருந்தாலும் R இன் உறுப்புகள் சிக்கலெண்களாகவும் இருக்கலாம். அணிக்கோவை δ இன் மதிப்பு எதிர்மமாக இருக்கும்போது இவ்வாறு அமையக்கூடும். s>0 , t>0 எனில் R நேர்மமாக இருக்கும்.

சிறப்பு நிலைகள்[தொகு]

  • M ஒரு தன்னடுக்கு அணி அணியாக இருந்து (MM = M), அதேசமயம் முற்றொருமை அணியாக இல்லையெனில், அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமாகவும், அதன் சுவட்டின் மதிப்பும் தரமும் சமவளவினவையாக 1 ஆக இருக்கும் (பூச்சிய அணி தவிர்த்து). இந்நிலையில் மேலுள்ள வாய்பாட்டில் s = 0 = 1 ஆக அமையும். இதனால், அணி M இன் வர்க்கமூலங்களாக M , -M இரண்டு மட்டுமே கிடைக்கும்.
  • s மற்றும் t இன் குறிகள் ஒவ்வொன்றைக்கும் நான்கு வெவ்வேறான வர்க்கமூலங்கள் (R) கிடைக்கும்.
  • அணிக்கோவை δ இன் மதிப்பு பூச்சியமாகவும், சுவடு τ பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால் மேற்படி வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும்.
  • δ பூச்சியமற்றதாகவும் τ2 = 4δ எனவும் இருக்கும்போதும் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும். இதில் s இன் ஏதேனும் ஒரு குறிக்கு வாய்பாட்டின் பகுதியான t இன் மதிப்பு பூச்சியமாகிவிடும்.
  • δ , τ இரண்டின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாக இருக்கும்போது மேற்காணும் வாய்பாடு பயனற்றதாகிவிடும். அதாவது, D = −A மற்றும் A2 = −BC ஆக இருந்தால் அணிக்கோவை δ மற்றும் சுவடு τ இரண்டின் மதிப்பும் பூச்சியமாக இருக்கும். இந்நிலையில்

M ஒரு பூச்சிய அணியாக இருந்தால் (A = B = C = D = 0):

b , c இரண்டின் ஏதேனும் மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு
ஆகிய இரு வர்க்கமூலங்களோடு பூச்சிய அணியும் M இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும்.

மற்றபடி, M அணிக்கு வர்க்கமூலம் இருக்காது.

சிறப்புவகை அணிகளுக்கான வாய்பாடுகள்[தொகு]

மூலைவிட்ட அணி[தொகு]

M ஒரு மூலைவிட்ட அணியாக (B = C = 0) இருந்தால் கீழ்க்காணும் எளிதாக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலத்தைக் காணலாம்:

a = ±√A
d = ±√D

a , d இன் மதிப்புகளுக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குறிகளைப் பொறுத்து, A மற்றும் D இரண்டில் எதுவுமே பூச்சியமில்லை அல்லது ஏதேனும் ஒன்று மட்டும் பூச்சியம் அல்லது இரண்டுமே பூச்சியம் எனில் முறையே, நான்கு அல்லது இரண்டு அல்லது ஒரு வெவ்வேறான வர்க்கமூல அணிகள் கிடைக்கும்.

முற்றொருமை அணி[தொகு]

2 × 2 முற்றொருமை அணி முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான கீழ்வரும் சமச்சீர் விகிதமுறு வர்க்கமூலங்கள் கொண்டுள்ளது:

and

(r, s, t) என்பன பித்தகோரசு மும்மைகளாகும். அதாவது, என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் நேர்ம முழுஎண்களாகும்.[3] மேலும் முடிவை நிறைவு செய்யும் r, s, t -இன் முழுஎண்கள் அல்லாத விகிதமுறா, சிக்கலெண் மதிப்புகளும் முற்றொருமை அணியின் வர்க்கமூலங்களைத் தரும். முற்றொருமை அணிக்கு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான சமச்சீரற்ற வர்க்கமூலங்களும் உண்டு.

முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட அணி[தொகு]

முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட 2 x 2 அணி (B = 0; A , D ≠ 0) எனில் கீழ்வரும் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலம் காணலாம்:

இவ்வாய்ப்பாட்டின் மூலம் A = D எனும்போது இரு வர்க்கமூலங்களும் மற்றபடி நான்கு வர்க்கமூலங்களும் கிடைக்கும். C = 0; A , D ≠ 0 எனும்போதும் இதுபோன்ற வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வர்க்கமூலங்களைக் காணலாம்.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Levinger, Bernard W.. 1980. “The Square Root of a 2 × 2 Matrix”. Mathematics Magazine 53 (4). Mathematical Association of America: 222–24. doi:10.2307/2689616.[1]
  2. P. C. Somayya (1997), Root of a 2x2 Matrix, The Mathematics Education, Vol.. XXXI, no. 1. Siwan, Bihar State. INDIA
  3. Mitchell, Douglas W. "Using Pythagorean triples to generate square roots of I2". The Mathematical Gazette 87, November 2003, 499-500.