விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுரு

கோட்டுருவியலில், விளிம்பு கட்டுகளின் வரம்புகள் (edge-transitive graph) என்பது கீழுள்ள கட்டுப்பாட்டுக்குட்பட்ட கோட்டுரு G ஆகும்:

G கோட்டுருவின் எவையேனும் இரு விளிம்புகள் e₁ மற்றும் e₂ எனில்:

f(e_{1})=e_{2}.\

என்றவாறு

f\colon E(G)\rightarrow E(G)\

என்ற தன்னுருவாக்கம் G இன் இருக்குமானால் G ஒரு விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுரு என அழைக்கப்படும்.^[1]

அதாவது, ஒரு கோட்டுருவின் தன்னுருவாக்கக் குலமானது கோட்டுருவின் விளிம்புகளின் மீது கடப்புத்தன்மையுடன் செயற்பட்டால் அக்கோட்டுரு விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுருவாக இருக்கும்.

பண்புகள்

விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுருக்கள் இருகூறு முழு கோட்டுருக்களையும் ( $K_{m,n}$ ), சமச்சீர் கோட்டுருக்களையும் உள்ளடக்கியது.^[1] இணைப்புள்ள சமச்சீர் கோட்டுருக்கள் முனை-கடப்புத்தன்மையுடையது. ஆனால் பொதுவாக விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுருக்கள் முனை-கோட்டுருக்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. விளிம்பு-கடப்புடையதாக ஆனால் முனை-கடப்பற்ற கோட்டுருக்களுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு கிரே கோட்டுருவாகும். இவ்வாறு விளிம்பு-கடப்புடையதாக ஆனால் முனை-கடப்பற்றதாகவுள்ள கோட்டுருக்கள் இருகூறு கோட்டுருக்களாக இருக்கும்.^[1] மேலும் அவற்றை இரு நிறங்களைக் கொண்டு மட்டுமே நிறந்தீட்ட முடியும்.

ஒரு விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுரு ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருந்து முனை-கடப்பற்றதாக இருக்குமானால் அது அரை-சமச்சீர் கோட்டுரு என அழைக்கப்படும். கிரே கோட்டுரு இதற்கும் எடுத்துக்காட்டாக அமையும்.

முனை-கடப்பற்ற ஒவ்வொரு விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுருவும் இருகூறு கோட்டுருவாக இருக்கும். இத்தகைய கோட்டுருக்கள் ஒன்று அரை-சமச்சீரானதாக அல்லது ஈரொழுங்கானதாக (biregular).^[2]

ஒரு விளிம்பு-கடப்பு கோட்டுருவின் முனை இணைப்பு அதன் படியின் சிறும அளவுவாக இருக்கும்.^[3]

மேற்கோள்கள்

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Biggs, Norman (1993). Algebraic Graph Theory (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 118. ISBN 0-521-45897-8.
↑ Lauri, Josef; Scapellato, Raffaele (2003), Topics in Graph Automorphisms and Reconstruction, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, pp. 20–21, ISBN 9780521529037.
↑ Watkins, Mark E. (1970), "Connectivity of transitive graphs", Journal of Combinatorial Theory, 8: 23–29, doi:10.1016/S0021-9800(70)80005-9, MR 0266804

வெளியிணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Edge-transitive graph", MathWorld.

[biggs-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Biggs, Norman (1993). Algebraic Graph Theory (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 118. ISBN 0-521-45897-8.

[ls03-2] Lauri, Josef; Scapellato, Raffaele (2003), Topics in Graph Automorphisms and Reconstruction, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, pp. 20–21, ISBN 9780521529037.

[3] Watkins, Mark E. (1970), "Connectivity of transitive graphs", Journal of Combinatorial Theory, 8: 23–29, doi:10.1016/S0021-9800(70)80005-9, MR 0266804

[1]

[2]

[3]