லியோவில் சார்பியம்

லியோவில் சார்பியம் (Liouville function) என்பது சோசப்பு லியோவில் (1809-1882) என்னும் பிரான்சிய கணிதவியலரைப் பெருமைப்படுத்தும் முகமாக சூட்டப்பட்ட ஒரு முக்கியமான எண்கணிதக்கோட்பாட்டு சார்பியம். லியோவில் சார்பியம் பொதுவாக λ(n) என்று குறிக்கப்பெறும் (லாம்டா (λ) என்னும் கிரேக்க எழுத்து லியோவில் என்னும் பெயரின் முதல் எழுத்தொலியை குறிப்பதாக அமைந்தது).

n என்பது நேர்ம முழு எண்ணாக இருந்தால், λ(n) என்பது கீழ்க்காணுமாறு வரையறை செய்யப்படும்:

$\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)},\,\!$

மேலுள்ளதில் Ω(n) என்பது n இன் பகா எண் காரணிகளின் பன்முறையாக எண்ணப்படும் எண்ணிக்கை ((OEISஇல் வரிசை A008836 )).

Ω(n) கூட்டுகை சார்பியம் ஆகையால், λ பெருக்குகை சார்பியமாகும். Ω(1) = 0 என்று உள்ளதால் λ(1) = 1. லியோவில் சார்பியம் கீழ்க்க்காணும் ஈடுண்மை கொள்ளும்:

$\sum_{d|n}\lambda(d)=1\,\!$ n என்பது சதுர எண் ஆக இருந்தால்

$\sum_{d|n}\lambda(d)=0\,\!$ மற்றபடி

தொடர்கள்

லியோவில் சார்பியத்துக்கான டிரிழ்ச்லெட் தொடர், ரீமன் இசீட்டா சார்பியத்தைத் தருகின்றது:

$\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.$

லியோவில் சார்பியத்துக்கான லாம்பர்ட் தொடர்:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = \frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right),$

மேலுள்ளதில் $\vartheta_3(q)$ என்பது யாக்கோபி தேட்டா சார்பியம்(Jacobi theta function).

கணித ஊகங்கள்

• 

  Summatory Liouville function L(n) up to n = 10⁴. The readily visible oscillations are due to the first non-trivial zero of the Riemann zeta function.

• 

  Logarithmic graph of the summatory Liouville function L(n) up to n = 2 × 10⁹. The green bar shows the failure of the Pòlya conjecture; the blue curve shows the oscillatory contribution of the first Riemann zero.

1919 இல் சியார்ச் போல்யா (George Pólya), முன்னிட்டு இன்று போல்யா ஊகம் என்று அறியப்படும் நிறுவப்படாத ஒரு கணிதக் கூற்றை முன்வைத்தார். அதன் படி:

$L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0$

n > 1 என்பதற்கு. ஆனால் இது தவறு என்று உறுதியாயிற்று. தவறு என்று காட்டத் தேவையான மிக சிறிய எதிர்மறை எடுத்துக்காட்டு n = 906150257 என்பதனை மினோரு டனாக்கா (Minoru Tanaka) என்பவர் 1980 இல் முன்வைத்தார். L(n) இன் (கூட்டல்-கழித்தல்) குறி முடிவிலி தடவையாக மாறுமா என்பது தெரியவில்லை.

உசாத்துணை நூல்கள்

1. Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31–40.
2. Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141–145.
3. Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311–320.
4. M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187–189, (1980).
5. Eric W. Weisstein, Liouville Function at MathWorld.
6. A.F. Lavrik (2001), "Liouville function", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=L/l059620