கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
கணிதத்தில் கணக்கீடுகளுக்குப் பயன்படும் மடக்கை முற்றொருமைகள் பட்டியல்List of logarithmic identities ) இக்கட்டுரையில் தரப்படுகிறது.
எளிய முற்றொருமைகள் [ தொகு ] b ≠ 0 எனில்,
b
0
=
1
⇒
{\displaystyle b^{0}=1\Rightarrow }
log
b
(
1
)
=
0
{\displaystyle \log _{b}(1)=0}
b
1
=
b
⇒
{\displaystyle b^{1}=b\Rightarrow }
log
b
(
b
)
=
1
{\displaystyle \log _{b}(b)=1}
அடுக்குக்குறிகளை நீக்கல் [ தொகு ] கூட்டலும் கழித்தலும் மற்றும் பெருக்கலும் வகுத்தலும் ஒன்றுக்கொன்று எதிர்ச்செயல்களாக அமைவதுபோல ஒரே அடிமானமுடைய மடக்கையும் அடுக்குக்குறிகளும் எதிர்ச்செயல்களாக அமையும்.
b
log
b
(
x
)
=
x
because
antilog
b
(
log
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ because }}{\mbox{antilog}}_{b}(\log _{b}(x))=x}
log
b
(
b
x
)
=
x
because
log
b
(
antilog
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log _{b}({\mbox{antilog}}_{b}(x))=x}
[1] [2] இவ்விரு முடிவுகளும்
b
c
=
x
⟺
log
b
(
x
)
=
c
{\displaystyle b^{c}=x\iff \log _{b}(x)=c}
விளக்கம்:
இடப்புறச் சமன்பாடான
b
c
=
x
{\displaystyle b^{c}=x}
c இன் மதிப்பைப் பதிலிட b logb x ) = x வலப்பக்கச் சமன்பாடான
log
b
(
x
)
=
c
{\displaystyle \log _{b}(x)=c}
x இன் மதிப்பைப் பதிலிட logb b c c .c க்குப் பதில் x ஐப் பதிலிட
logb b x x எளிய செயல்களைப் பயன்படுத்திப்பெறும் முற்றொருமைகள் [ தொகு ] கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த மடக்கைகள் பயன்படுகின்றன. இரு எண்களின் பெருக்கலை அவற்றின் மடக்கைகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் எளிமையாக்கலாம். இதற்கு பயன்படும் மடக்கைகளின் பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.[1] [3]
பெருக்கல் முற்றொருமை [ தொகு ] இரு எண்களின் பெருக்கத்துக்கான மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாகும்:
log
b
(
x
y
)
=
log
b
x
+
log
b
y
.
{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.\,}
வகுத்தல் முற்றொருமை [ தொகு ] இரு எண்களின் விகிதங்களுக்கான (வகுத்தலுக்கான) மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாகும்:
log
b
(
x
y
)
=
log
b
x
−
log
b
y
.
{\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}x-\log _{b}y.\,}
அடுக்கு காணல் முற்றொருமை [ தொகு ] ஒரு எண்ணின் p அடுக்கின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை p தடவைகள் பெருக்குவதற்குச் சமன்:
log
b
(
x
p
)
=
p
log
b
x
.
{\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}x.\,}
அடுக்கு காணல் முற்றொருமை [ தொகு ] ஒரு எண்ணின் p மூலத்தின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை p யினால் வகுப்பதற்குச் சமன் :
log
b
(
x
p
)
=
log
b
x
p
.
{\displaystyle \log _{b}({\sqrt[{p}]{x}}\,)={\frac {\log _{b}x}{p}}.\,}
அடிமானங்களை மாற்றுதல் [ தொகு ] logb x ) எனும் x , b உடன் தொடர்புடைய மடக்கையை எழுமாற்றான அடிமானமான k க்கு மாற்றுவதாயின்:
log
b
x
=
log
k
x
log
k
b
.
{\displaystyle \log _{b}{x}={\frac {\log _{k}{x}}{\log _{k}{b}}}.\,}
இவ்வாறே கணிப்பான்களில் அடிமானம் 10, கணித மாறிலி e என்பவற்றுக்கு மாற்றப்படுகிறது.:
log
b
x
=
log
10
x
log
10
b
=
log
e
x
log
e
b
.
{\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.\,}
அதாவது தரப்பட்ட எண் x மற்றும் அதன் மடக்கை logb x ) தெரிந்த அடிமானம் b க்கு பின்வருமாறு தரப்படும்:
b
=
x
1
log
b
(
x
)
.
{\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}
கூட்டல்/கழித்தல் முற்றொருமைகள் [ தொகு ]
log
b
(
a
+
c
)
=
log
b
a
+
log
b
(
1
+
c
a
)
{\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)}
because
(
a
+
c
)
=
a
×
(
1
+
c
a
)
{\displaystyle \left(a+c\right)=a\times \left(1+{\frac {c}{a}}\right)}
log
b
(
a
−
c
)
=
log
b
a
+
log
b
(
1
−
c
a
)
{\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)}
because
(
a
−
c
)
=
a
×
(
1
−
c
a
)
{\displaystyle \left(a-c\right)=a\times \left(1-{\frac {c}{a}}\right)}
பூச்சியத்தின் மடக்கை வரையறுக்கப்படாததால்
a
=
c
{\displaystyle a=c}
பொதுவாக:
log
b
∑
i
=
0
N
a
i
=
log
b
a
0
+
log
b
(
1
+
∑
i
=
1
N
a
i
a
0
)
=
log
b
a
0
+
log
b
(
1
+
∑
i
=
1
N
b
(
log
b
a
i
−
log
b
a
0
)
)
{\displaystyle \log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)}
அடுக்குக்குறிகள் [ தொகு ]
x
log
(
log
(
x
)
)
log
(
x
)
=
log
(
x
)
{\displaystyle x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)}
அல்லது பொதுவாக:
x
log
(
a
)
log
(
x
)
=
a
{\displaystyle x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a}
பிற முற்றொருமைகள் [ தொகு ]
1
1
log
x
(
a
)
+
1
log
y
(
a
)
=
log
x
y
(
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}+{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{xy}(a)}
1
1
log
x
(
a
)
−
1
log
y
(
a
)
=
log
x
y
(
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}-{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{\frac {x}{y}}(a)}
சமனின்மைகள் [ தொகு ] மடக்கை சமனின்மைகள்[4] [5] [6]
x
1
+
x
≤
ln
(
1
+
x
)
≤
x
(
6
+
x
)
6
+
4
x
≤
x
for all
−
1
<
x
{\displaystyle {\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ for all }}-1<x}
2
x
2
+
x
≤
3
−
27
3
+
2
x
≤
x
1
+
x
+
x
2
/
12
≤
ln
(
1
+
x
)
≤
x
1
+
x
≤
x
2
2
+
x
1
+
x
for
0
≤
x
, reverse for
−
1
<
x
≤
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\&{\mbox{ for }}0\leq x{\mbox{, reverse for }}-1<x\leq 0\end{aligned}}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
நுண்கணித முற்றொருமைகள் [ தொகு ]
lim
x
→
0
+
log
a
(
x
)
=
−
∞
if
a
>
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}
lim
x
→
0
+
log
a
(
x
)
=
∞
if
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}
lim
x
→
∞
log
a
(
x
)
=
∞
if
a
>
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}
lim
x
→
∞
log
a
(
x
)
=
−
∞
if
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}
lim
x
→
0
+
x
b
log
a
(
x
)
=
0
if
b
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}(x)=0\quad {\mbox{if }}b>0}
lim
x
→
∞
log
a
(
x
)
x
b
=
0
if
b
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0}
d
d
x
ln
x
=
1
x
,
{\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},}
d
d
x
log
b
x
=
1
x
ln
b
,
{\displaystyle {d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},}
இதில்
x
>
0
{\displaystyle x>0}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
b
≠
1
{\displaystyle b\neq 1}
மடக்கையின் தொகையீடு [ தொகு ]
ln
x
=
∫
1
x
1
t
d
t
{\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}
∫
log
a
x
d
x
=
x
(
log
a
x
−
log
a
e
)
+
C
{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}
x
[
n
]
=
x
n
(
log
(
x
)
−
H
n
)
{\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}
இதில்
H
n
{\displaystyle H_{n}}
n th இசை எண் :
x
[
0
]
=
log
x
{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}
x
[
1
]
=
x
log
(
x
)
−
x
{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}
x
[
2
]
=
x
2
log
(
x
)
−
3
2
x
2
{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}}
x
[
3
]
=
x
3
log
(
x
)
−
11
6
x
3
{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}}
எனில்:
d
d
x
x
[
n
]
=
n
x
[
n
−
1
]
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}}
∫
x
[
n
]
d
x
=
x
[
n
+
1
]
n
+
1
+
C
{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}
மேற்கோள்கள் [ தொகு ] வெளியிணைப்புகள் [ தொகு ] 
![{\displaystyle \log _{b}({\sqrt[{p}]{x}}\,)={\frac {\log _{b}x}{p}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b91cab56b7a3c0f2a9c70995c6856bad7b15972)
![{\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be26aeae0c7b88d50e760d2ce40df2af4c44b0bb)
![{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078fe3653cf35a30aea1b7f03ea554ae7670b967)
![{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12b6bda581e741822ed456b8e7c42955525db0)
![{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966e2b00f916c63e7ccb68fd3da3908597238c66)
![{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f07636bb06f28bbc8fd84ea091e1fb4b6487f1)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee1e2e7dc8cef7f0c3a355fcf254c7650852a12)
![{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92036b7056a0179b00f4d6739640046d2e8553ba)