மடக்கை முற்றொருமைகள் பட்டியல்

கணிதத்தில் கணக்கீடுகளுக்குப் பயன்படும் மடக்கை முற்றொருமைகள் பட்டியல் (List of logarithmic identities) இக்கட்டுரையில் தரப்படுகிறது.

எளிய முற்றொருமைகள்

• b ≠ 0 எனில், $b^{0}=1\Rightarrow$ $\log _{b}(1)=0$
• $b^{1}=b\Rightarrow$ $\log _{b}(b)=1$

அடுக்குக்குறிகளை நீக்கல்

கூட்டலும் கழித்தலும் மற்றும் பெருக்கலும் வகுத்தலும் ஒன்றுக்கொன்று எதிர்ச்செயல்களாக அமைவதுபோல ஒரே அடிமானமுடைய மடக்கையும் அடுக்குக்குறிகளும் எதிர்ச்செயல்களாக அமையும்.

$b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ because }}{\mbox{antilog}}_{b}(\log _{b}(x))=x$

$\log _{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log _{b}({\mbox{antilog}}_{b}(x))=x$

இவ்விரு முடிவுகளும் $b^{c}=x\iff \log _{b}(x)=c$ என்ற மடக்கை வரையறையிலிருந்து பெறப்படுகின்றன.

விளக்கம்:

• இடப்புறச் சமன்பாடான $b^{c}=x$ இல் வலப்பக்க சமன்பாட்டிலிருந்து கிடைக்கும் c இன் மதிப்பைப் பதிலிட

b^log_b(x) = x

• வலப்பக்கச் சமன்பாடான $\log _{b}(x)=c$ இல் இடப்புறச் சமன்பாடுதரும் x இன் மதிப்பைப் பதிலிட

log_b(b^c) = c.

c க்குப் பதில் x ஐப் பதிலிட

log_b(b^x) = x

எளிய செயல்களைப் பயன்படுத்திப்பெறும் முற்றொருமைகள்

கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த மடக்கைகள் பயன்படுகின்றன. இரு எண்களின் பெருக்கலை அவற்றின் மடக்கைகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் எளிமையாக்கலாம். இதற்கு பயன்படும் மடக்கைகளின் பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.

பெருக்கல் முற்றொருமை

இரு எண்களின் பெருக்கத்துக்கான மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாகும்:

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.\,$

வகுத்தல் முற்றொருமை

இரு எண்களின் விகிதங்களுக்கான (வகுத்தலுக்கான) மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாகும்:

$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}x-\log _{b}y.\,$

அடுக்கு காணல் முற்றொருமை

ஒரு எண்ணின் p அடுக்கின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை p தடவைகள் பெருக்குவதற்குச் சமன்:

$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}x.\,$

அடுக்கு காணல் முற்றொருமை

ஒரு எண்ணின் p மூலத்தின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை p யினால் வகுப்பதற்குச் சமன் :

$\log _{b}({\sqrt[{p}]{x}}\,)={\frac {\log _{b}x}{p}}.\,$

அடிமானங்களை மாற்றுதல்

log_b(x) எனும் x , b உடன் தொடர்புடைய மடக்கையை எழுமாற்றான அடிமானமான k க்கு மாற்றுவதாயின்:

$\log _{b}{x}={\frac {\log _{k}{x}}{\log _{k}{b}}}.\,$

இவ்வாறே கணிப்பான்களில் அடிமானம் 10, கணித மாறிலி e என்பவற்றுக்கு மாற்றப்படுகிறது.:

$\log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.\,$

அதாவது தரப்பட்ட எண் x மற்றும் அதன் மடக்கை log_b(x) தெரிந்த அடிமானம் b க்கு பின்வருமாறு தரப்படும்:

$b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.$

கூட்டல்/கழித்தல் முற்றொருமைகள்

$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)$	because	$\left(a+c\right)=a\times \left(1+{\frac {c}{a}}\right)$
$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)$	because	$\left(a-c\right)=a\times \left(1-{\frac {c}{a}}\right)$

பூச்சியத்தின் மடக்கை வரையறுக்கப்படாததால் $a=c$ எனும்போது கழித்தல் முற்றொருமையை வரையறுக்க முடியாது.

பொதுவாக:

$\log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)$

அடுக்குக்குறிகள்

$x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)$

அல்லது பொதுவாக:

$x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a$

பிற முற்றொருமைகள்

${\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}+{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{xy}(a)$

${\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}-{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{\frac {x}{y}}(a)$

சமனின்மைகள்

மடக்கை சமனின்மைகள்

${\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ for all }}-1<x$

${\begin{aligned}{\frac {2x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\&{\mbox{ for }}0\leq x{\mbox{, reverse for }}-1<x\leq 0\end{aligned}}$

$x=0$ மதிப்புக்கு அருகில் இச்சமனின்மைகள் துல்லியமானவையாக இருக்கும். பெரிய மதிப்புகளுக்குத் துல்லியமாக இருக்காது.

நுண்கணித முற்றொருமைகள்

சார்புகள்

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}(x)=0\quad {\mbox{if }}b>0$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0$

மடக்கை சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

${d \over dx}\ln x={1 \over x},$

${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},$

இதில் $x>0$, $b>0$, $b\neq 1$.

மடக்கையின் தொகையீடு

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

மடக்கை சார்புகளின் தொகையீடுகள்

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

இதில் $H_{n}$ என்பது n^th இசை எண்:

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}$

எனில்:

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$

வெளியிணைப்புகள்

• Logarithm in Mathwords