பிழிவுத் தேற்றம்

பிழிவுத் தேற்றத்தின் விளக்கம்

ஒரே எல்லையைக் கொண்ட இரு ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகளுக்கு இடையே ஒரு தொடர்வரிசை அமைந்தால் அத்தொடர்வரிசையும் அதே எல்லைக்கே ஒருங்கும்.

நுண்கணிதத்தில் பிழிவுத் தேற்றம் (squeeze theorem) என்பது சார்பின் எல்லை குறித்த தேற்றமாகும். இத்தேற்றம் நுண்கணிதத்திலும் பகுவியலிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இத்தேற்றத்தில், எல்லைமதிப்புகள் அறியப்பட்ட அல்லது எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய இரு சார்புகளுடன் ஒப்பிட்டுத் தேவையான சார்பின் எல்லை கண்டுபிடிக்கப்படுகிறது. π இன் மதிப்பைக் கணக்கிடும்போது இத்தேற்றமானது வடிவவியலாகக் கணிதவியலாளர்கள் ஆர்க்கிமிடீசு மற்றும் யூடாக்சசால் பயன்படுத்தப்பட்டது. இதன் தற்கால வடிவமானது கணிதவியலாளர் காசால் வடிவமைக்கப்பட்டது.

தேற்றத்தின் கூற்று

பிழிவுத் தேற்றம் முறையாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.

a ஐ எல்லைப் புள்ளியாகக் கொண்ட இடைவெளி I. இந்த இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மூன்று சார்புகள் g, f, h ( a புள்ளியைத் தவிர்த்தும் வரையறுக்கப்படலாம்).

I இடைவெளியில் a க்குச் சமமில்லாத ஒவ்வொரு x க்கும்

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

$\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.$ எனில்:

$\lim _{x\to a}f(x)=L.$

• ${\textstyle g}$ , ${\textstyle h}$ ஆகிய இரு சார்புகளும் முறையே ${\textstyle f}$ இன் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகளென அழைக்கப்படுகின்றன.
• ${\textstyle a}$ ஆனது ${\textstyle I}$ இடைவெளியின் உட்புறப் புள்ளியாகத்தான் இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. ${\textstyle I}$ இடைவெளியின் ஓரப்புள்ளியாக (இட/வலது ஓரப்புள்ளி) ${\textstyle a}$ இருக்குமானால் மேலுள்ள எல்லைகள் இடக்கை/வலக்கை எல்லைகளெனப்படுகின்றன.
• முடிவிலா இடைவெளிகளுக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்:

${\textstyle I=(0,\infty )}$ எனில், ${\textstyle x\rightarrow \infty }$ என எடுத்துக்கொண்டு தேற்றத்தின் கூற்று அமைகிறது.

இத்தேற்றம் தொடர்வரிசைகளுக்கும் பொருந்தும்:

$(a_{n}),(c_{n})$ என்ற இரு தொடர்வரிசைகளும் $\ell$ க்கு ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகள்; $(b_{n})$ மற்றொரு தொடர்வரிசை என்றால் இத்தேற்றத்தின்படி:

$\forall n\geqslant N,N\in \mathbb {N}$ மற்றும் $a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$ எனில் $(b_{n})$ தொடர்வரிசையும் $\ell$ க்கு ஒருங்கும்.

நிறுவல்

உயர் மற்றும் தாழ் எல்லைகளை எடுத்துக்கொள்ள:

$L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,$

இத்தேற்றத்தை நிறுவ, ${\textstyle \epsilon >0}$ என்ற அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் $|x-a|<\delta$ ($x$ இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும்) எனில் $|f(x)-L|<\epsilon$ என இருக்கக்கூடியவாறு $\delta >0$ என்றவொரு மெய்யெண் இருக்கும் என்பதை நிறுவ வேண்டும்.

இதனையே குறியீட்டில்

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon .$ எனலாம்.

சார்பு எல்லையின் வரையறைப்படி,

$\lim _{x\to a}g(x)=L$

$\lim _{x\to a}h(x)=L$ ஆகிய இரு முடிவுகளிலிருந்து பெறப்படுபவை:

$\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon ).\qquad (1)$

$\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon ),\qquad (2)$

மேலும் $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$. எனவே

$g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L$

${\displaystyle \delta$ :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}} எனத் தேர்வு செய்து கொள்ளலாம். இப்போது முடிவுகள் (1) , (2) இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறப்படுவது:

$|x-a|<\delta$ எனில்,

$-\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,$

$-\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon$,

எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. $\blacksquare$

தொடர்வரிசைக்கான தேற்றக்கூற்று

$\sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$ இரண்டும் ஒருங்கும் தொடர்கள். மேலும் $\forall n>N,a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$ என்றவாறு $\exists N\in \mathbb {N}$ எனில், $\sum _{n}b_{n}$ தொடரும் ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்.

நிறுவல்

$\sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$ இரண்டும் ஒருங்கு தொடர்கள் என்பதால் $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty },\left(\sum _{k=1}^{n}c_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ ஆகிய இரண்டும் கோசித் தொடர்களாக இருக்கும்.

இவை கோசித் தொடர்களாக இருப்பதனால் பின்வரும் இரு முடிவுகள் கிடைக்கின்றன:

$\epsilon >0$ எனில்,

$\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ such that $\forall n>m>N_{1},\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}<\epsilon$ (1)

$\exists N_{2}\in \mathbb {N}$ such that $\forall n>m>N_{2},\left|\sum _{k=1}^{n}c_{k}-\sum _{k=1}^{m}c_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}<\epsilon$ (2).

மேலும் தேற்றத் தரவின்படி,

$\exists N\in \mathbb {N}$ $\forall n>N,a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$ என்பதால்:

$\exists N_{3}\in \mathbb {N}$ such that $\forall n>N_{3},a_{k}\leqslant b_{k}\leqslant c_{k}$ (3).

$\forall n>m>\max\{N_{1},N_{2},N_{3}\}$ என எடுத்துக்கொண்டு (1) , (2) முடிவுகளை இணைக்கக் கிடைப்பது:

$a_{k}\leqslant b_{k}\leqslant c_{k}\Longrightarrow \sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{m}b_{k}\right|<\epsilon$.

இதிலிருந்து $\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n=1}^{\infty }$ தொடரும் ஒரு கோசி தொடராக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே $\sum _{n}b_{n}$ ஒருங்கும் தொடராகும்.

எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. $\blacksquare$

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

x இன் மதிப்பு 0 ஐ நெருங்கும் எல்லையில் சார்பு x² sin(1/x) பிழியப்படல்

$\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$

$\lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})$ - இந்த எல்லைக்கு மதிப்பு கிடையாது என்பதால் எல்லைகளின பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி ($\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),$) எடுத்துக்காட்டில் தரப்பட்டுள்ள சார்பின் எல்லையைக் காண முடியாது. எனவே பிழிவுத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சைன் சார்பின் வரையறைப்படி,

$-1\leq \sin({\tfrac {1}{x}})\leq 1.$

$\implies -x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})\leq x^{2}$

ஆனால் $\lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0$

எனவே பிழிவுத் தேற்றத்தின்படி,

$\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})=0$

எடுத்துக்காட்டு 2

Comparing areas:
${\begin{aligned}&\,A(\triangle ADF)\geq A({\text{sector}}\,ADB)\geq A(\triangle ADB)\\\Rightarrow &\,{\frac {1}{2}}\cdot \tan(x)\cdot 1\geq {\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi \geq {\frac {1}{2}}\cdot \sin(x)\cdot 1\\\Rightarrow &\,{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\geq x\geq \sin(x)\\\Rightarrow &\,{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\leq {\frac {1}{x}}\leq {\frac {1}{\sin(x)}}\\\Rightarrow &\,\cos(x)\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1\end{aligned}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

x இன் மதிப்பு 0 க்கு நெருக்கமாக இருக்கும்போது கீழுள்ள சமனிலி உண்மையாக இருக்கும்.

$\cos x\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1$ அருகிலுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளதைக் கொண்டு இச்சமனிலி x இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு உண்மையென்பதை எளிதாக வடிவவியல் முறையில் விளக்கலாம். அத்தோடு சமனிலியை x இன் எதிர்ம மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.

$\lim _{x\to 0}\cos x\leq \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}\leq \lim _{x\to 0}1$

மேலும் $\lim _{x\to 0}\cos(x)=1$ என்பதால்,

$1\leq \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1$

$\implies \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Squeezing Theorem", MathWorld.
• Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.
• Squeeze Theorem on ProofWiki.