பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தல்

இயற்கணிதத்தில், பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தல் (Partial fraction decomposition) என்பது, ஒரு விகிதமுறு சார்பை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையினதும் ஒன்று அல்லது பல எளிய பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களினதும் கூடுதலாக எழுதும் செயலாகும். சில சமயங்களில், அவ்வாறு பிரித்து எழுதுவதில் இருக்கக்கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவை பூச்சியமாகவும் இருக்கக் கூடும். இச்செயல் பகுதிப் பின்னங்களாக விரித்தல் (partial fraction expansion) எனவும் அழைக்கப்படும். விகிதமுறு சார்புகளின் எதிர்வகைக்கெழு காண்பதற்குப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

ƒ , g பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட விகிதமுறு சார்பு ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ எனில் அதனைப் பின்வருமாறு பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கலாம்:

$\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}$ இதில் g_j (x) என்பவை g(x) இன் காரணிகளாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும். எனவே அவற்றின் படி g(x) இன் படியை விடச் சிறியதாக இருக்கும்.

ஒரு விகிதமுறு பின்னத்தைப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதும்போது அதிலுள்ள பின்னங்களின் பகுதிகள் காரணிப்படுத்தப்பட முடியாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவும், தொகுதிகள் அவற்றுக்கான பகுதியை விடச் சிறிய படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளாவும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

$f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.$

${\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)$

வழிமுறை

வகை 1

${\frac {P(x)}{Q(x)}},$ இதில் $P(x)$, $Q(x)$ இரண்டும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

$Q(x)$ ஐக் காரணிப்படுத்த:

$Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})$, இதில் α_i வெவ்வேறான மாறிலிகள்; deg P < n

${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}$

இதில், பிரதியிடல் மற்றும் x இன் ஒத்த அடுக்குகொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்தல் மூலமாக c_i களின் மதிப்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு

$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}$

$x^{2}+2x-3$ ஐக் காரணிப்படுத்த:

$q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)$

எனவே பகுதிப்பின்னங்களின் வடிவம்:

$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}$

x² + 2x − 3 ஆல் பெருக்க

$1=A(x-1)+B(x+3)$

x = −3 எனப் பதிலிட A = −1/4; x = 1 எனப் பதிலிட B = 1/4 எனக் கிடைக்கிறது.

$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)$

வகை 2

சுருக்கவியலாக் காரணிகளால் ஆனதாக Q(x) அமையுமானால், ஒவ்வொரு பகுதிப் பின்னத்தின் தொகுதியும் அப்பின்னத்தின் பகுதியின் படியைவிடக் குறைந்த படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.

${\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.$

வகை 3

${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ இல் Q(x) = (x − α)^rS(x) , S(α) ≠ 0. எனில், Q(x) இன் மூலம் α இன் மடங்கெண் r. ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ ஐப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கும்போது அதில் r பின்னங்களின் பகுதிகள் (x − α) இன் அடுக்குகளாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டாக S(x) = 1 எனக் கொண்டால்:

${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.$

எடுத்துக்காட்டு

${\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.$

3x + 5 = A + B(1 − 2x).

x இன் அடுக்குகளின் குணகங்களைச் சமப்படுத்த:

5 = A + B , 3x = −2Bx

இச்சமன்பாடுகளிலிருந்து A , B இன் மதிப்புகள்: A = 13/2 and B = −3/2.

எனவே ${\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}$ இன் பகுதிப்பின்ன விரிவு:

${\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.$

வகை 4

deg P  $\geq$  deg Q எனில், பல்லுறுப்புக்கோவை நீள்வகுத்தல் முறையில் P ஐ Q ஆல் வகுத்துக்கொள்ள வேண்டும். இந்த வகுத்தலில் கிடைக்கும் மீதிச் சார்பின் படி வகுக்கும் சார்பின் படியை விடச் சிறியதாக இருக்கும். எனவே மீதிச் சார்பைப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கலாம்.

${\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},$ (deg R < n)

இதில் deg R < deg Q என்பதால் ${\frac {R(x)}{Q(x)}},$ ஐப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு

$f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}$

$x^{3}+16$ ஐ $x^{3}-4x^{2}+8x$ ஆல் வகுக்க:

$f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}$

(−4)² − 4×8 = −16 < 0, என்பதால் x² − 4x + 8 ஒரு சுருக்கவியலாக் காரணியாகும். எனவே,

${\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}$

இருபுறமும் x³ − 4x² + 8x ஆல் பெருக்க,

$4x^{2}-8x+16=A(x^{2}-4x+8)+(Bx+C)x$

இதில்,

x = 0 எனப் பதிலிட, 16 = 8A, A = 2 எனக் கிடைக்கிறது.

x² இன் குணகங்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த, 4 = A + B = 2 + B, B = 2 ஆகும்.

x இன் குணகங்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த, −8 = −4A + C = −8 + C, C = 0.

A , B ,C இன் மதிப்புகளைப் பதிலிட,

$f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)$

கலப்பு வகை

மேலே தரப்பட்ட அனைத்து வகைகளும் கலந்த ஒரு விகிதமுறு பின்னத்தை பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தலுக்கான ஓர் எடுத்துக்காட்டு:

$f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}$

இப்பின்னத்தில் தொகுதியின் படியானது பகுதியின் படியை விடப் பெரியதாக இருப்பதால், முதலில் நீள்வகுத்தல் மூலம் கீழுள்ள வடிவிற்கு மாற்றப்படுகிறது.

$f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}$

மீதிச் சார்பைப் பகுதிப் பின்னமாக்க,

${\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}$

இருபுறமும் (x − 1)³(x² + 1)² ஆல் பெருக்க,

${\begin{aligned}&{}\quad 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2}+1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{aligned}}$

இதில்,

x = 1 எனப் பதிலிட, 4 = 4C, C = 1.

x = i எனப் பதிலிட, 2 + 2i = (Fi + G)(2 + 2i), Fi + G = 1. இதிலுள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த, F = 0 , G = 1 எனக் கிடைக்கிறது.

x = 0 எனப் பதிலிட, A − B + 1 − E − 1 = 0, E = A − B.

${\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)^{2}+(Dx+(A-B))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\&=A((x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+(x-1)^{3}(x^{2}+1))+B((x-1)(x^{2}+1)-(x-1)^{3}(x^{2}+1))+(x^{2}+1)^{2}+Dx(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\end{aligned}}$ ஐ விரித்து x இன் அடுக்குகளின் படி பிரித்தெழுத,

${\begin{aligned}&{}2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\&=(A+D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(-A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{aligned}}$

x இன் சம அடுக்கு உறுப்புகளின் குணகங்களைச் சமப்படுத்த,

${\begin{aligned}A+D&=&2\\-A-3D&=&-4\\2B+4D+1&=&5\\-2B-4D+1&=&-3\\-A+2B+3D-1&=&1\\A-2B-D+3&=&3,\end{aligned}}$

A = 2 − D , −A −3 D =−4 இரண்டையும் தீர்க்க, A = D = 1 எனக் கிடைக்கிறது.

2B + 4D + 1 &=& 5 இல் D = 1 எனப் பதிலிட, B = 0 ஆகும்.

E = A − B = 1

A , B C D, E F G இன் மதிப்புகளைப் பதிலிட,

$f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.$

உசாத்துணை

• Rao, K. R.; Ahmed, N. (1968). "Recursive techniques for obtaining the partial fraction expansion of a rational function". IEEE Trans. Educ. 11 (2): pp. 152–154. doi:10.1109/TE.1968.4320370. 
• Henrici, Peter (1971). "An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractions". Z. f. Angew. Mathem. Physik 22 (4): pp. 751–755. doi:10.1007/BF01587772. 
• Chang, Feng-Cheng (1973). "Recursive formulas for the partial fraction expansion of a rational function with multiple poles". Proc. IEEE 61 (8): pp. 1139–1140. doi:10.1109/PROC.1973.9216. https://archive.org/details/sim_institution-of-electrical-engineers-the-procee_proceedings-of-the-ieee_1973-08_61_8/page/1138. 
• Kung, H. T.; Tong, D. M. (1977). "Fast Algorithms for Partial Fraction Decomposition". SIAM Journal on Computing 6 (3): 582. doi:10.1137/0206042. 
• Eustice, Dan; Klamkin, M. S. (1979). "On the coefficients of a partial fraction decomposition". American Mathematical Monthly 86 (6): pp. 478–480. 
• Mahoney, J. J.; Sivazlian, B. D. (1983). "Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency". J. Comp. Appl. Math. 9: pp. 247–269. doi:10.1016/0377-0427(83)90018-3. 
• Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd ed.). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc. pp. 364–370. ISBN 0-673-38638-4.
• Westreich, David (1991). "partial fraction expansion without derivative evaluation". IEEE Trans. Circ. Syst. 38 (6): pp. 658–660. doi:10.1109/31.81863. 
• Kudryavtsev, L. D. (2001), "Undetermined coefficients, method of", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Velleman, Daniel J. (2002). "Partial fractions, binomial coefficients and the integral of an odd power of sec theta". Am. Math. Monthly 109 (8): pp. 746–749. 
• Slota, Damian; Witula, Roman (2005). "Three brick method of the partial fraction decomposition of some type of rational expression". 33516. pp. 659–662. doi:10.1007/11428862_89. 
• Kung, Sidney H. (2006). "Partial fraction decomposition by division". Coll. Math. J. 37 (2): 132–134. 
• Witula, Roman; Slota, Damian (2008). "Partial fractions decompositions of some rational functions". Appl. Math. Comput. 197: pp. 328–336. doi:10.1016/j.amc.2007.07.048. 

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Partial Fraction Decomposition", MathWorld.
• Blake, Sam. "Step-by-Step Partial Fractions".
• [1] Make partial fraction decompositions with Scilab.