நிரப்பு கணம்

கணக் கோட்பாட்டில், ஒரு கணத்தின் நிரப்பு கணம் அல்லது நிரப்பி (complement set, complement) என்பது அக்கணத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் கணமாகும்.

A , B என்ற இரு கணங்களை எடுத்துக் கொண்டால், B ஐப் பொறுத்து A இன் நிரப்பி என்பது, A இல் இல்லாத ஆனால் B இல் உள்ள உறுப்புகளின் கணம். இது சார் நிரப்பு கணம் எனப்படும்.

A மற்றும் தேவைக்காக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட எல்லா கணங்களையும் உட்கணங்களாகக் கொண்ட கணம் U அவற்றின் அனைத்து கணம் எனப்படும். இந்த அனைத்து கணத்தைப் பொறுத்து A இன் நிரப்பு கணம் என்பது, A இல் இல்லாத ஆனால் U இல் உள்ள உறுப்புகளின் கணம் ஆகும். இந்த நிரப்பு கணம் தனி நிரப்பு கணம் (absolute complement) எனப்படும்.

சார் நிரப்பி

A , B இரு கணங்கள் எனில்,B ஐப் பொறுத்து A இன் சார் நிரப்பி என்பது, A இல்லாத ஆனால் B இல் உள்ள உறுப்புகளின் கணம். இக்கணம் B , A இன் கணக் கோட்பாட்டு வித்தியாசம் (set-theoretic difference) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

A (இடது வட்டம்) இன், B (வலது வட்டம்) ஐப் பொறுத்த சார் நிரப்பு கணம்: $B\cap A^{c}~~~~=~~~~B\setminus A$

ISO 31-11 தரப்படி இதன் குறியீடு B ∖ A

$B\setminus A=\{x\in B\,|\,x\notin A\}.$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• {1,2,3} ∖ {2,3,4}   =   {1}
• {2,3,4} ∖ {1,2,3}   =   {4}
• If $\mathbb {R}$ மெய்யெண்களின் கணம்; $\mathbb {Q}$ விகிதமுறு எண்களின் கணம் எனில்:

$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\mathbb {I}$ = விகிதமுறா எண்களின் கணம்.

பண்புகள்

சேர்ப்பு, வெட்டு ஆகிய கணச் செயலிகளுடன் சார் நிரப்பியின் சில பண்புகள்:

A, B, C மூன்று கணங்கள் எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமைகள் உண்மையாகும்:

• C ∖ (A ∩ B)  =  (C ∖ A)∪(C ∖ B)
• C ∖ (A ∪ B)  =  (C ∖ A)∩(C ∖ B)
• C ∖ (B ∖ A)  =  (C ∩ A)∪(C ∖ B)

(மாற்று வழி: A ∖ (B ∖ C)  =  (A ∖ B)∪(A ∩ C) )

• (B ∖ A) ∩ C  =  (B ∩ C) ∖ A  =  B∩(C ∖ A)
• (B ∖ A) ∪ C  =  (B ∪ C) ∖ (A ∖ C)
• A ∖ A  =  Ø
• Ø ∖ A  =  Ø
• A ∖ Ø  =  A

தனி நிரப்பி

U ஐப் பொறுத்த A இன் தனி நிரப்பி : A^c = U \ A

அனைத்து கணம் U வரையறுக்கப்பட்டால், U இல் A இன் சார் நிரப்பி கணம் A இன் தனி நிரப்பி கணம் ஆகும். அதன் குறியீடு A^c அல்லது A′. U நிலையானது எனில், இந்த நிரப்பி கணம் $\complement _{U}A$ அல்லது $\complement A$ எனவும் குறிக்கப்படும்:

A^c  = U ∖ A.

எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண்களின் கணத்தை அனைத்து கணமாகக் கொண்டால், ஒற்றை முழுஎண்கள் கணத்தின் நிரப்பி கணமாக இரட்டை முழுஎண்களின் கணமாகும்.

பண்புகள்

சேர்ப்பு, வெட்டு ஆகிய கணச் செயலிகளுடன் தனி நிரப்பியின் சில பண்புகள்:

U இன் உட்கணங்கள் A, B எனில், கீழ்வரும் முற்றொருமைகள் உண்மையாகும்:

த மோர்கனின் விதி:

• $\left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.$
• $\left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.$

நிரப்பி விதிகள்:

• $A\cup A^{c}=U.$
• $A\cap A^{c}=\emptyset .$
• $\emptyset ^{c}=U.$
• $U^{c}=\emptyset .$
• ${\text{If }}A\subset B{\text{, then }}B^{c}\subset A^{c}.$

சுருள்வு அல்லது இரட்டை நிரப்பி விதி:

• $\left(A^{c}\right)^{c}=A.$

சார் நிரப்பிக்கும் தனி நிரப்பிக்குமுள்ள தொடர்பு:

• $A\setminus B=A\cap B^{c}.$
• $(A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B.$

கண வித்தியாசத்துடன் தொடர்பு:

• $A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.$

முதல் இரண்டு நிரப்பி விதிகளிலிருந்து,

U இன் வெற்றற்ற, முறையான உட்கணமாக A இருந்தால், {A, A^c} என்பது U இன் பிரிவினை ஆகும்.

மேற்கோள்கள்

• Paul Halmos (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. https://archive.org/details/naivesettheory0000halm. 
• Keith Devlin (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-90441-7. https://archive.org/details/fundamentalsofco0000devl. 
• Nicolas Bourbaki (1970) (in french). Théorie des ensembles. Paris: Hermann. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-540-34034-8. 

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Complement", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Complement Set", MathWorld.