தீக்குச்சிக் கோட்டுரு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தனித்த மிகச்சிறிய முப்படி தீக்குச்சிக் கோட்டுரு

வடிவவியல் கோட்டுரு கோட்பாடுவில் தீக்குச்சிக் கோட்டுரு (matchstick graph) என்பது ஒன்றையொன்று சந்திக்காத, ஓரலகு நீளமுள்ள விளிம்புகளுடன் ஒரு தளத்தில் வரையக்கூடிய கோட்டுருவாகும். அலகு தொலைவு கோட்டுரு மற்றும் சமதளப்படுத்தக்கூடிய கோட்டுருவாக உட்பொதிவு செய்யப்படக்கூடிய கோட்டுரு எனவும் தீக்குச்சிக் கோட்டுருவை வரையறுக்கலாம். சாதாரணமாக தீக்குச்சிக் கோட்டுருவானது, ஒரு தட்டையான மேற்பரப்பில் ஒன்றையொன்று சந்திக்காத தீக்குச்சிகளைக் கொண்டு அமைக்கப்படும் கோட்டுரு எனலாம்.[1]

ஒவ்வொரு தீக்குச்சிக் கோட்டுருவும் ஒரு அலகு தொலைவு கோட்டுருவாக இருக்கும். ஒவ்வொரு பென்னி கோட்டுருவும் ஒரு தீக்குச்சிக் கோட்டுருவாகும். ஆனால் எல்லா தீக்குச்சிக் கோட்டுருக்களும் பென்னி கோட்டுருக்கள் அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, எட்டு-முனை முப்படி தீக்குச்சிக் கோட்டுரு ஒரு பென்னி கோட்டுருவாகாது.

ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுருக்கள்[தொகு]

3-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுரு
Winkler 3-reg girth5 54.svg
முனைகள்54
விளிம்பு81
சுற்றளவு5
அர்போர்த் கோட்டுரு
(Harborth graph)
Harborth graph vector.svg
முனைகள்52
விளிம்பு104
ஆரை6
விட்டம்9
சுற்றளவு3

தீக்குச்சிக் கோட்டுருக்கள் குறித்த அபெரும்பான்மை ஆய்வுகள் ஒழுங்கு கோட்டுருக்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு ஒழுங்கு கோட்டுருவின் அனைத்து முனைகளும் சம எண்ணிக்கையிலான அண்மை முனைகளைக் கொண்டிருக்கும். இந்த எண்ணிக்கை கோட்டுருவின் படி எனப்படுகிறது.

தீக்குச்சிக் கோட்டுருக்கள், நான்கு படிவரைக் கொண்ட ஒழுங்கு கோட்டுருக்களாக இருக்கின்றன. ஒன்று, இரண்டு, மூன்று முனைகள் கொண்ட முழுக்கோட்டுருக்கள் (ஒற்றை முனை, ஒற்றை விளிம்பு, முக்கோணம்) முறையே 0-, 1- மற்றும் 2- ஒழுங்கு கோட்டுருக்களாகும்.

ஒரு ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுருவின் படி நான்கை விட அதிகமாக இருக்க முடியாது.[2] முக்கோணமற்ற மிகச்சிறிய தீக்குச்சிக் கோட்டுரு (சுற்றளவு ≥ 4) 20 முனைகள் கொண்டிருக்கும்.[3]

3-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுரு[தொகு]

மிகச்சிறிய 3-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுருவானது இரு வைரவடிவக் கோட்டுருவின் இரு நகல்களைக் கொண்டு உருவாக்கப்படுகிறது. இவ்வுருவாக்கத்தின்போது இரு நகல்களின் ஒத்த முனைகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு ஓரலகாக இருக்குமாறு கொள்ளப்படுகிறது.[1]

2019 இல் மைக் வின்கிலேர் (Mike Winkler) 54 முனைகளும் 5 சுற்றளவும் கொண்ட மிகச்சிறிய 3-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுருவை வெளியிட்டார்.[4]

4-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுரு[தொகு]

1986 இல், ஏய்க்கோ அர்போர்த் (Heiko Harborth) என்ற செருமானிய அறிஞர் அவரது பெயரால் ஒரு கோட்டுருவை அறிமுகப்படுத்தினார். அர்போர்த் கோட்டுரு என அழைக்கபட்ட அந்தக் கோட்டுரு 52 முனைகள் மற்றும் 104 விளிம்புகளுடன் அமைந்த மிகச்சிறிய 4-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுருவிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டாகும்.[5][6]

ஒவ்வொரு 4-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுருவுக்கும் குறைந்தபட்சம் 20 முனைகள் இருக்கும்.[2] 53, 55, 56, 58, 59, 61, 62 தவிர இதர ≥ 52 முனைகளுக்கான 4-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுருக்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. முதன்முதலாக 2016 இல் 54, 57, 65, 67, 73, 74, 77, 85 முனைகளுடைய 4-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுருக்கள் வெளியிடப்பட்டன. 52, 54, 57, 60, 64 முனைகளுடைய 4-ஒழுங்கு தீக்குச்சிக் கோட்டுருக்களுக்கு ஒரேயொரு எடுத்துக்காட்டு மட்டுமே அறியப்பட்டுள்ளது. இந்த ஐந்து கோட்டுருக்களில் 60 முனைகள் கொண்டது மட்டுமே இளக்கமானது; மற்ற நான்கும் திண்மமானவை.[7]

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. 1.0 1.1 Eric W. Weisstein, தீக்குச்சிக் கோட்டுரு MathWorld இல்.
  2. 2.0 2.1 Kurz, Sascha; Pinchasi, Rom (2011), "Regular matchstick graphs", American Mathematical Monthly, 118 (3): 264–267, arXiv:1401.4372, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.03.264, MR 2800336.
  3. Kurz, Sascha; Mazzuoccolo, Giuseppe (2010), "3-regular matchstick graphs with given girth", Geombinatorics, 19: 156–175, arXiv:1401.4360.
  4. Winkler, Mike; Dinkelacker, Peter; Vogel, Stefan (2020), "A 3-regular matchstick graph of girth 5 consisting of 54 vertices", Geombinatorics, 29: 116–121, arXiv:1903.04304.
  5. Harborth, Heiko (1994), "Match sticks in the plane", in Guy, R. K.; Woodrow, R. E. (eds.), The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugéne Strens Memorial Conference of Recreational Mathematics and its History, Calgary, Canada, 1986, Washington, D.C.: அமெரிக்கக் கணிதவியல் சங்கம், pp. 281–288. As cited in: Eric W. Weisstein, தீக்குச்சிக் கோட்டுரு MathWorld இல்.
  6. Gerbracht, Eberhard H.-A. (2011), "Symbol-crunching the Harborth graph", Advances in Applied Mathematics, 47 (2): 276–281, doi:10.1016/j.aam.2010.09.003, MR 2803803. For additional details see Gerbracht's earlier preprint "Minimal Polynomials for the Coordinates of the Harborth Graph" (2006), arXiv:math/0609360.
  7. Winkler, Mike; Dinkelacker, Peter; Vogel, Stefan (2017), "New minimal (4; n)-regular matchstick graphs", Geombinatorics, 27: 26–44, arXiv:1604.07134.