தனிமதிப்புச் சார்பு

கணிதத்தில் தனிமதிப்புச் சார்பு (Absolute value function) என்பது தரப்படும் உள்ளீடுகளுக்கு அவற்றின் தனி மதிப்புகளை வெளியீடாகத் தருகின்ற சார்பு. தனி மதிப்பு அல்லது மட்டு அல்லது எண்ணளவு என்ற கருத்துரு மெய்யெண்களுக்கு வரையறுக்கப்பட்டு, சிக்கலெண்கள், வளையங்கள், களங்கள் மற்றும் திசையன் வெளிகளுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது.

ஏதேனுமொரு மெய்யெண் x இன் தனிமதிப்பு:

$|x|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}$

ஏதேனுமொரு சிக்கலெண் $z=x+iy,$ (x, y மெய்யெண்கள்) இன் தனிமதிப்பு:

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

தனிமதிப்புச் சார்பு

மெய்யெண்களின் தனிமதிப்புச் சார்பின் வரைபடம்.

முப்படிச் சார்புடன் தனிமதிப்புச் சார்பின் இணைப்பு

மெய்யெண்களின் தனிமதிப்புச் சார்பு எங்கும் ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு. பூச்சியம் தவிர்த்த அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் இச்சார்பு வகையிடத்தக்கது. (−∞, 0] இடைவெளியில் ஓரியல்பாகக் குறையும் சார்பாகவும் [0, ∞) இடைவெளியில் ஓரியல்பாகக் கூடும் சார்பாகவும் அமையும். ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பும் அம்மெய்யெண்ணின் எதிர் மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பும் சமம் என்பதால் மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்புச் சார்பு ஓர் இரட்டைச் சார்பு. எனவே இச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதல்ல. மேலும் இச்சார்பு துண்டுவாரி நேரியல் சார்பு மற்றும் குவிவுச் சார்பு.

மெய் மற்றும் சிக்கலெண் தனிமதிப்புச் சார்புகள் தன்னடுக்கானவை. ($f\!\left(f\!\left(x\right)\right)=f\!\left(x\right)$)

குறிச்சார்புடன் தொடர்பு

தனிச் சார்பு ஒரு மெய்யெண்ணின் மதிப்பை மட்டுமே தருகிறது; குறியினை விட்டுவிடுகிறது. ஆனால் குறிச் சார்பு மதிப்பை விட்டுவிட்டு குறியை மட்டுமே தருகிறது. இவ்விரு சார்புகளுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:

$|x|=x\operatorname {sgn}(x),$

x ≠ 0 எனில்,

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}.$

வகைக்கெழு

x ≠ 0 ஐத்தவிர மற்ற அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் தனிமதிப்புச் சார்பு வகையிடத்தக்கது. x ≠ 0 இல் இதன் வகைக்கெழு படிச்சார்பாக கிடைக்கும்.

${\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}$

 |x| இன் x ஐப் பொறுத்த இரண்டாம் வகைக்கெழு எங்கும் (பூச்சியத்தைத் தவிர) பூச்சியமாக இருக்கும்.

எதிர்வகைக்கெழு

தனிமதிப்புச் சார்பின் எதிர்வகைக்கெழு:

$\int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,$

இங்கு C, தொகையீட்டுக் காரணி.

மேற்கோள்கள்

• Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-471-43331-6.
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-07-148754-2.