தங்கக் கோணம்

ஒரு வட்டத்தினை உண்டாக்கும் இரு விற்கள் தங்க விகிதத்தில் இருந்தால் அவையிரண்டில் சிறிய வில்லானது (சிவப்பு) வட்ட மையத்தில் தாங்கும் கோணம், தங்கக் கோணம்.

வடிவவியலில் தங்கக் கோணம் (golden angle) என்பது ஒரு வட்டத்தின் முழுச் சுற்றளவை தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கும்போது கிடைக்கும் இரு விற்களில் சிறிய வில்லானது அந்த வட்ட மையத்தில் தாங்கும் கோணமாகும். அவ்விரு விற்களும் தங்க விகிதத்தில் அமைவதால் பெரிய வில்லின் நீளத்திற்கும் சிறிய வில்லின் நீளத்திற்குமுள்ள விகிதமானது வட்டத்தின் முழுச் சுற்றளவுக்கும் பெரிய வில்லின் நீளத்திற்குமுள்ள விகிதத்திற்குச் சமமாகும்.

வட்டத்தின் சுற்றளவு c -ஆனது இரு விற்களாக தங்க விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்க. இவற்றில் பெரிய வில்லின் நீளம்a மற்றும் சிறிய வில்லின் நீளம் b எனில்:

$c=a+b\,$$c=a+b\,$

${\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}.$${\frac {c}{a}}={\frac {a}{b}}.$

சிறிய வில் தாங்கும் கோணமானது தங்கக் கோணம் எனப்படும். இதன் அளவு தோராயமாக 137.51° அல்லது 2.399963 ரேடியன்.

தங்க விகிதத்துடன் (φ) தொடர்புள்ளதால் இக்கோணம் தங்கக் கோணமென அழைக்கப்படுகிறது.

தங்கக் கோணத்தின் மிகச்சரியான மதிப்பு:

$360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ degrees}}$$360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ degrees}}$

அல்லது

$2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radians}},$$2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radians}},$

வருவித்தல்

தங்க விகிதம்:

$\varphi ={\frac {a}{b}}.$$\varphi ={\frac {a}{b}}.$

$f={\frac {b}{c}}=$$f={\frac {b}{c}}=$ என்க.

$f={\frac {b}{c}}={\frac {b}{b+a}}={\frac {1}{1+\varphi }}.$$f={\frac {b}{c}}={\frac {b}{b+a}}={\frac {1}{1+\varphi }}.$

${1+\varphi }=\varphi ^{2},$${1+\varphi }=\varphi ^{2},$ என்பதால்

$f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}.$$f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}.$

எனவே:

$f\approx 0.381966\,$$f\approx 0.381966\,$

தங்கக் கோணம் g -ன் மதிப்பு தோராயமாக:

$g\approx 360\times 0.381966\approx 137.51^{\circ },\,$$g\approx 360\times 0.381966\approx 137.51^{\circ },\,$ (பாகைகளில்)

$g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.399963.\,$$g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.399963.\,$ (ரேடியன்களில்)

இயற்கையில் காணப்படும் தங்கக் கோணம்

சில பூக்களின் அடுத்தடுத்த சிறுபூக்களுக்கிடையே உள்ள கோணம், தங்கக் கோணம்.

இலையடுக்கு முறைக் கோட்பாட்டில் தங்கக் கோணம் முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது. குறிப்பாக சூரியகாந்திப் பூவின் ஒவ்வொரு சிறுபூவும் பிரிக்கப்படும் கோணம், தங்கக் கோணமாகும்.

மேற்கோள்கள்

• Vogel, H (1979). "A better way to construct the sunflower head". Mathematical Biosciences 44 (44): 179–189. doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4. 
• Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag. பக். 101–107. ISBN 978-0387972978. http://algorithmicbotany.org/papers/#webdocs.