சைன் விதி

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.

சைன் விதி எனப்படுவது திரிகோண கணிதத்திலும் ஏனைய முக்கிய கணிப்புக்களிலும் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு விதியாகும். இது முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களுக்கும், அதன் கோணங்களின் சைன் பெறுமதிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் காட்டுகிறது.

விதி[தொகு]

சைன் விதியை விளக்கும் முக்கோணி

யாதுமொரு முக்கோணி ABCயில்,

ஆகும்.

நிறுவல்[தொகு]

கூர்ங்கோண முக்கோணி[தொகு]

கூர்ங்கோண முக்கோணியில் சைன் விதி

இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரம் hஐச் சமப்படுத்தினால்,

ஆகவே,

A உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்

ஆகவே,

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்

என முழுமையான சைன் விதி நிறுவப்படும்.

விரிகோண முக்கோணி[தொகு]

விரிகோண முக்கோணியில் சைன் விதி

இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரத்தைச் சமப்படுத்தினால்,

ஆகவே,

A உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்

எனக் கிடைக்கும்.

ஆகவே,

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்

என முழுமையான சைன் விதி விரிகோண முக்கோணத்துக்கும் நிறுவப்படும்.

சுற்றுவட்டத்துடன் தொடர்பு[தொகு]

சைன் விதியின் விகிதங்களின் பொதுமதிப்பு சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமென வருவித்தலுக்கான படம்.

என்ற முற்றொருமையின் மூன்று சமவிகிதங்களின் பொதுமதிப்பு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவு கணிதவியலாளர் தொலெமி காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்தது.[1][2]

நிறுவல்[தொகு]

இன் சுற்றுவட்டம் வரையப்பட்டுள்ளது. சுற்றுவட்ட மையம் O வழிச் செல்லும் முக்கோணம் இன் சுற்றுவட்டமாகவும் இதே வட்டம் உள்ளது.

(அரைவட்டக் கோணம்)

இப்போது முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். எனவே

= சுற்றுவட்ட ஆரம்[2]
(ஒரே வட்ட வில் தாங்கும் கோணங்கள் சமம்) என்பதால்

இதனை மாற்றியமைக்க:

முக்கோணத்தைப்போல மற்ற இரு முக்கோண உச்சிகளைக் கொண்டு கண்டுபிடித்தால் சைன் விதியின் மூன்று விகிதங்களும் க்குச் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே:

முக்கோணத்தின் பரப்பளவுடன் தொடர்பு[தொகு]

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு

; a, b முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு பக்கங்கள்; அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் .

இன் மதிப்பை சைன் விதியின் சுற்றுவட்ட ஆரம் உடனுள்ள[3] தொடர்பு வாய்பாட்டிலிருந்து பதிலிட:

இதிலிருந்து மேலும் பெறக்கூடிய வாய்பாடுகள்:

; T = முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, s = முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு

இரண்டாவது வாய்பாட்டை முக்கோணப் பரப்பளவுக்கான ஈரோனின் வாய்பாடாக சுருக்கலாம்.

சைன் விதியைக் கொண்டு கீழ்வரும் முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாட்டைப் பெறலாம்: = முக்கோணத்தின் கோணங்களின் சைன்மதிப்புகளின் அரைக்கூட்டுத்தொகை என்க. இப்பொழுது முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாடு:[4]

. ( முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம்; .)

கோள சைன் விதி[தொகு]

ஒரு கோளத்தின் பெருவட்டங்களின் விற்களைப் பக்கங்களாகக் கொண்டு அக்கோளத்தின் மீதமையும் முக்கோணங்கள் கோள முக்கோணங்களாகும்.

ஓரலகு ஆரமுள்ள கோளத்தின் மீதமைந்த முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் a, b, c எனில் இம்மூன்று அளவுகளும் முக்கோணத்தின் அமையும் மூன்று பெருவட்ட விற்களானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோண அளவுகளாக (ரேடியனில்) இருக்கும். இம்மூன்று பக்கங்களுக்கும் எதிருள்ள உச்சிக்கோணங்கள் முறையே A, B, C எனில் கோள சைன்விதி:

கோள முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் கோளத்தின் ஆரத்தைவிட மிகச் சிறியதாக இருக்கும்போது இவ்விதியானது கிட்டத்தட்ட தள முக்கோணவியலின் சைன் விதியை ஒத்திருக்கும்.

நிறுவல்[தொகு]

சைன் விதியின் நிறுவல் கீழுள்ளவாறு டோதுந்தேரின் நூலில் உள்ளது.[5] (Art.40).

முற்றொருமையில் கோள கொசைன் விதியிலிருந்து பெறப்பட்ட மதிப்பைப் பதிலிட:

இம்முடிவின் வலப்பக்க மதிப்பில் இன் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் எந்தவொரு மாற்றமும் இருக்காது. எனவே

.
.
என நிறுவப்படுகிறது.

திசையன் நிறுவல்[தொகு]

அலகு கோளத்தின் மையம் O இலிருந்து முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கு வரைப்பட்ட திசையன்கள்: OA, OB, OC. BC வில்லானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தின் அளவு a. OAz-அச்சிலும், xz-தளத்தில் OB ஆனது z-அச்சுடன் உருவாக்கும் கோணம் c எனவும் கொண்டு ஒரு கார்ட்டீசியன் அடுக்களத்தை எடுத்துக்கொள்ள, xy- தளத்தில் OC இன் வீழல் ON ஆகவும், ON, x-அச்சுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் A ஆகவும் இருக்கும். எனவே OA, OB, OC திசையன்களின் கூறுகள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:


திசையிலி முப்பெருக்க அணிக்கோவையின் வர்க்கம் காண:

OA ⋅ (OB × OC) திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு, OA, OB, OC திசையன்களை ஒருமுனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மத்தின் கனவளவுக்குச் (V) சமம். மேலும் OA, OB, OC திசையன்களைக் குறிக்க எடுத்துக்கொள்ளும் ஆயமுறையைப் பொறுத்து இந்த கனவளவு மாறாத அளவாக இருக்கும். எனவே

z-அச்சை OB வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையன் முப்பெருக்கம் கண்டுபிடித்தால் (sin c sin a sin B)2 எனவும், z-அச்சை OC வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையிலி முப்பெருக்கம் காண (sin a sin b sin C)2 எனவும் கிடைக்கும். மூன்று விடைகளையும் சமப்படுத்தி, (sin a sin b sin c)2 ஆல் வகுக்க:

இதிலிருந்து சைன்விதியின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.

வடிவவியல் நிறுவல்[தொகு]

  • கோளத்தின் ஆரம் ஓரலகு எனில்,
    :
  • என்றவாறு புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
  • என்றவாறு புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
  • இதிலிருந்து ஆக இருக்கும்.
  • ஆனது, தளத்தில் இன் வீழலாகும். எனவே:
  • முக்கோணவியலின் அடிப்படைப் பண்புகளின்படி:
  • ஆனால்
  • இவற்றை இணைக்க:

  • இதேபோன்று மற்ற உச்சிகளுக்கும் பெறப்படும் முடிவுகளைக் கொண்டு முழுமையான சைன் விதியைப் பெறலாம்:

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967
  2. 2.0 2.1 "Law of Sines". www.pballew.net. Archived from the original on 2018-09-10. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2018-09-18.
  3. Mr. T's Math Videos (2015-06-10), Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle, archived from the original on 2021-12-11, பார்க்கப்பட்ட நாள் 2018-09-18
  4. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
  5. Isaac Todhunter (1886). Spherical Trigonometry (5th ). MacMillan. http://www.gutenberg.org/ebooks/19770. பார்த்த நாள்: 2013-07-28. 

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=சைன்_விதி&oldid=3623962" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது