சூழ்வு (கணிதம்)

ஒரு வளைவரைக் குடும்பத்தின் சூழ்வினை வரைதல்

வடிவவியலில் தள வளவரைக் குடும்பமொன்றின் சூழ்வு (envelope) என்பது அக்குடும்பத்தின் உறுப்பாகவுள்ள ஒவ்வொரு வளைவரை ஏதாவதொரு புள்ளியில் தொடுகின்ற ஒரு வளைவரையாகும். இத்தொடு புள்ளிகள் அனைத்தும் சேர்ந்து சூழ்வாக அமையும் வளைரையை உருவாக்கும். சூழ்வின் மீதமையும் ஒரு புள்ளியை, அடுத்தடுத்து நுண்ணளவிலமையும் இரு வளைவரைகளின் (அதாவது அருகருகே அமையும் இரு வளைவரைகளின் வெட்டுப்புள்ளியின் எல்லையாக) வெட்டும் புள்ளியாக கருதலாம். சூழ்வின் இக்கருத்தை வெளியிலமைந்த மேற்பரப்புகளுக்கும் உயர்பரிமாணங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

வளைவரைக் குடும்பத்தின் சூழ்வு

C_t என்ற வளைவரைக் குடும்பத்தைச் சேர்ந்த ஒவ்வொரு வளைவரையும் f_t(x, y)=0 (t ஒரு துணையலகு) சமன்பாட்டின் தீர்வாகவும், F(t, x, y)=f_t(x, y); மேலும் F வகையிடத்தக்கது எனவும் எடுத்துக்கொள்க.

இப்பொழுது C_t இன் சூழ்வானது,

$F(t,x,y)=0~~{\mathsf {and}}~~{\partial F \over \partial t}(t,x,y)=0$ (t இன் ஏதாவது சில மதிப்புகளுக்கு) என்ற இரண்டும் நிறைவுபெறுமாறுள்ள (x,y) புள்ளிகளடங்கிய கணம் ${\mathcal {D}}$ ஆக வரையறுக்கப்படுகிறது.

இதிலுள்ள $\partial F/\partial t$ ஆனது t ஐப் பொறுத்த F இன் பகுதிவகைக்கெழு..

t, u இரண்டும் (t≠u) துணையலகின் மதிப்புகளெனில் C_t, C_u ஆகிய இரு வளைவரைகளின் வெட்டு பின்னுள்ளவாறு இருக்கும்:

$F(t,x,y)=F(u,x,y)=0\,$

அல்லது சமானமாக,

$F(t,x,y)=0~~{\mathsf {and}}~~{\frac {F(u,x,y)-F(t,x,y)}{u-t}}=0.$

u → t எனும்போது மேலுள்ள வரையறை கிடைக்கும்.

மாற்று வரையறைகள்

1. சூழ்வு E₁ ஆனது C_t இன் அருகருகே அமையும் வளைவரைகளின் வெட்டும்புள்ளிகளின் எல்லையாகும்.
2. சூழ்வு E₂ ஆனது, C_t இலுள்ள அனைத்து வளைவரைகளுக்கும் தொடுவரையாக அமையும் வளைவரயாகும்.
3. சூழ்வு E₃ ஆனது, C_t வளைவரைகள் அனைத்தும் அமைந்துள்ள பகுதியின் வரம்பாகும்..

$E_{1}\subseteq {\mathcal {D}}$, $E_{2}\subseteq {\mathcal {D}},$ $E_{3}\subseteq {\mathcal {D}}$ (${\mathcal {D}}$ என்பது முதன்மை வரையறையில் தரப்பட்டுள்ள கணம்)

எடுத்துக்காட்டுகள்

• 
  (t,0), (0,k - t) புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுக்குடும்பத்தின் சூழ்வு (k = 1)
• 
  (s,0), (0,t) புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுக்குடும்பத்தின் சூழ்வாக உடுவுரு (s² + t² = 1)
• 
  மாறா துவக்க வேகங்கொண்ட எறியங்களின் சூழ்வு ஒரு குவிவுப் பரவளைவு. (துவக்க வேகம்:10 m/s. g = 10 m/s²)
• 
  வட்டம் மற்றும் இணை ஒளிக்கதிர்களால் உருவான எதிரொளிப்பு எரிநிலைமேற்பரப்பு

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Envelope", MathWorld.
• "Envelope of a family of plane curves" at MathCurve.