சூழ்வு

கட்டுமான சூழ்வும் ஒரு வளைவு குடும்பமாகும்.

வடிவியலில், ஒரு குடும்ப வளைவரைகளின் சூழ்வானது ஒரு குடும்பத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினர்களால் தொடுகோட்டுப்புள்ளியில் ஏற்படுத்தபடும் வளைவாகும். சூழ்வின் மீது ஒரு புள்ளியானயது, வெட்டிக்கொள்ளும் இரண்டு "அருகில் உள்ள" வளைவுகளாக  கருதப்படுகிறது, அதாவது, வரம்பிற்கு உட்பட்டு வெட்டிகொள்ளும் அருகிலுள்ள வளைவுகள் ஆகும் . ஒரு சூழ்வானது, விண்வெளியின் பரப்புகளில்  மற்றும் உயர் பரிமாணங்களுக்கு பொதுமையாக்கப்படுகிறது.

ஒரு குடும்ப வளைவரைகளின் சூழ்வு

குடும்பத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு வளைவு Ct இன்  சமன்பாட்டின்  தீர்வு ft(x, y)=0  (பார்க்க உள்ளார்ந்த வளைவு), இங்கே t ஒரு அளவுரு.  F(t, x, y)=f_t(x, y) எனவும் மற்றும்  F உள்ளது வகையிடத்தக்கது என கருதுக.

ஒரு குடும்ப வளைவரைகளின் சூழ்வு Ct என்பது புள்ளிகளின் தொகுப்பாக (x, y) வரையறுக்கப்படுகிறது

${\displaystyle }$

சில மதிப்பு t, இங்கே ${\displaystyle }$ என்பது F ஆனது t யை பொறுத்து.பகுதி வகைக்கெழுவாகும் ,

 T மற்றும் u ( t ≠ u என்றால்)அளவுருவின் இரண்டு மதிப்புகள் எனில் வெட்டும்  வளைவுகள் Ct மற்றும் Cu ஆகியவற்றை

${\displaystyle }$

அல்லது, இதற்கு சமமாக

${\displaystyle }$

எல்லை u→t . மேலே உள்ள வரையறையை கொடுக்கிறது 

 F (t, x, y) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை t ல் இருக்கும் போது ஒரு முக்கியமான சிறப்புப்பாகும். இதில், வகுத்திகளை அழிப்பதன் மூலம், F (t, x, y) என்பது ஒரு t யை பொறுத்து விகிதமுறு சார்புஆகும்.   வரையறையில், t ஆனது F (t, x, y) இன் இரட்டை வர்க்க மூலமாக இருப்பதால், F இன் தன்மைகாட்டி 0  அமைப்பதன் மூலம் சூழ்வின் சமன்பாடு கண்டுபிடிக்கலாம் (ஏனென்றால் வரையறை சில t களுக்கு F = 0  மற்றும் முதல் வகைப்பாடு = 0 அதாவது அதன் மதிப்பு 0 மற்றும் அதன் min / max  t களுக்கு).

உதாரணமாக, Ct, என்ற கோட்டை x மற்றும் y இன் வெட்டும் புள்ளிகள்  t மற்றும் 1-t  என்பது மேலே உள்ள அனிமேஷனில் காட்டப்பட்டுள்ளது. Ct இன் சமன்பாடு

${\displaystyle }$

அல்லது அதன் பின்னங்கள்,

${\displaystyle }$

 சூழ்வு சமன்பாடு என்பது

${\displaystyle }$

பெரும்பாலும் F ஆனது அளவுருவின் விகிதமுறு சார்பு  அல்ல, அது ஒரு பொருத்தமான பதிலீடாக இங்கு குறைக்கப்படலாம்.உதாரணமாக குடும்பம் Cθ ஆல் சமன்பாட்டின் மூலம் வழங்கப்படுகிறது u(x, y)cosθ+v(x, y)sinθ=w(x, y),இங்கு

t=eiθ, cosθ=(t+1/t)/2, sinθ=(t-1/t)/2i என பிரதியிட்டால்,வளைவின் சமன்பாடு

${\displaystyle }$

அல்லது

${\displaystyle }$

சூழ்வு சமன்பாடு , தன்மைகாட்டி 0 என்பதை கொடுக்கிறது.

${\displaystyle }$

அல்லது

${\displaystyle }$

மாற்று வரையறைகள்

1. சூழ்வு E1, அருகிலுள்ள Ct வளைவுகளின் குறுக்குவெட்டியின் எல்லைகள்.
2. சூழ்வு E2 என்பது Ct  அனைத்துக்கும்  தொடு வளைவு ஆகும்.
3. சூழ்வு E₃ என்பது எல்லை பகுதியை பூர்த்தி செய்யும் வளைவுகள் Ct.

எனவே ${\displaystyle }$, ${\displaystyle }$ மற்றும் ${\displaystyle }$இங்கு ${\displaystyle }$ என்பது இந்த ஆவணத்தின் தொடக்கத்தில் முதல் வரையறையால் கொடுக்கப்பட்ட வளைவுகளின் தொகுப்பு.