எண்

எண் என்பது கணக்கிடப் பயன்படும் ஒரு அடிப்படையான நுண் கருத்துரு. கணிதத்துறையில் பலவகையான எண்கள் உள்ளன. மனிதன் தோன்றியகாலத்திலேயே அவன் கைவிரல்களை எண்ண எப்பொழுது தானே கற்றுக்கொண்டானோ அன்றே 'எண்' என்ற கருத்து உண்டானதாகக் கொள்ளலாம். எண்களின் கருத்து வளர்ச்சியே கணிதவியலின் தோன்றல்.

எண் என்ற கருத்துரு தொன்ம காலம் தொட்டு தமிழர்களிடம் முக்கியத்துவம் பெற்றிருக்கின்றது. "எண்ணென்ப ஏனை எழுத்தென்ப; இவ்விரண்டும் கண்ணென்ப வாழும் உயிர்க்கு" என்ற திருவள்ளுவர் குறளும், "எண் எழுத்து இகழேல்" என்ற ஒளவையார் கூற்றும் பழந்தமிழர் சிந்தனையில் எண்ணுக்கும், எழுத்துக்கும் தொன்று தொட்டு தந்த முக்கியத்துவத்தை விளக்குகின்றன.

பாமரரும் அறியும் எண்கள்

நடைமுறையில் மிகவும் பழக்கமான எண்கள், எண்ணுவதற்குப் பயன்படும் எண்கள் இயற்கை எண்களாகும். இவைகளை இயல்பெண்கள் அல்லது இயலெண்கள் என்றும் குறிப்பிடலாம். இவை 1, 2, ... என்பன. இவ்வெண் தொகுதியை (= கணத்தைக்) $\mathbf {N}$ என்னும் சிறப்பெழுத்தால் கணிதத்தில் குறிக்கப்படுகின்றது. இவற்றுடன் எதிர்ம எண்களையும் (-1, -2, -3, ...) சேர்த்து, முழு எண்கள் (integers) தொகுதி (= கணம்) என அழைக்கப்படுகின்றது. இதன் குறியீடு $\mathbf {Z}$.

ஆக, முழு எண்கள் மூன்று வகைப்படும்:

• மிகை எண்கள் அல்லது நேர்ம எண்கள்: 1, 2, 3, ...

• பூச்சியம் அல்லது சூனியம்: 0

• குறை எண்கள் அல்லது எதிர்ம எண்கள்: -1, -2, -3, ...

இம்முழு எண்களின் கணம் $\mathbf {Z}$ இயல்பெண்களின் கணமான $\mathbf {N}$ஐ உள்ளடக்கியது. அதாவது $\mathbf {N} \subset \mathbf {Z} .$

அரை, கால், ஒன்றேமுக்கால் என்பன போன்று முழு எண்களால் ஆன விகிதங்களால் குறிப்பிடப்படுவன ஒரு வகுகோட்டின் மேலும் கீழுமாக முழு எண்களால் குறிப்பிடப்படும் வகுனி எண்கள் அல்லது விகிதமுறு எண்கள் (rational numbers) எனப்படும். இவை அரை கால், வீசம் போன்ற கீழ்வாய் எண்களாக அல்லது குறைஎண்களாக (பின்னங்கள், பிள்வங்கள்) இருக்கலாம், அல்லது 7/3, 21/6 என்பன போன்று ஒன்றின் மிகையான எண் அளவைக்குறிக்கும் எண்களாகவும் இருக்கலாம். இவ் வகுனி எண்கள் கணம் $\mathbf {Q}$ என்னும் எழுத்தால் குறிக்கப்படுகின்றது.

இந்த விகிதமுறு கணம் $\mathbf {Q}$ முழு எண்களின் கணமான $\mathbf {Z}$ ஐ உள்ளடக்கியது. அதாவது $\mathbf {Z} \subset \mathbf {Q}$.

மெய்யெண்கள்

எல்லா எண்களும் விகிதமுறு எண்களல்ல என்பது $\surd {2}$ முதலிய எண்களின் உதாரணம் கொண்டு கணித ஆய்வாளர்கள் கிரேக்க கணிதகாலத்திலிருந்தும், இந்துக்களின் சுல்வசூத்திரங்களிலிருந்தும் தெரிந்து வைத்திருந்தனர். ஆனால் $\mathbf {Q}$ என்ற விகிதமுறு எண்கள் கணத்தையும் உள்ளடக்கி ஒரு மிகப்பெரிய எண்கணம் $\mathbf {R}$ என்பதொன்று உண்டென்றும் அதுதான் நாம் வாழ்க்கையில் சந்திக்கும் எல்லா எண்களையும் உள்ளடக்கியது என்றும் மனிதன் ஐயமறத் தெரிந்துகொள்வதற்கு 19வதுநூற்றாண்டு வரையில் காத்திருக்கவேண்டியதாயிற்று.

$\mathbf {R}$ என்றகணத்தின் உறுப்புகளுக்கு மெய் எண்கள் என்றும், உள்ளது உள்ளபடி இருப்பதால் உள்ளக எண்கள் என்றும் பெயர்கள் உண்டு. இதனில், விகிதமுறு எண்களை எடுத்துவிட்டால், இதர எண்கள் விகிதமுறா எண்கள் எனப்படும். விகிதமுறா எண்கள் இரண்டு வகைப்படும்: இயற்கணித எண்கள், விஞ்சிய எண்கள்.

சிக்கலெண்கள்

இதற்குமேலுள்ள எண்கணங்களெல்லாம் கணித இயலர்களின் படைப்புகளே. எடுத்துக்காட்டாக, செறிவெண்கள் (பலக்கெண், அல்லது சிக்கலெண்(complex numbers) என்னும் ஒரு வகை எண்களுக்கு கணிதத்திலும் அதன் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் முக்கிய இடமுண்டு. இந்த கணத்தை $\mathbf {C}$ என்று குறிப்பது வழக்கம். ஒவ்வொரு சிக்கலெண்ணிலும் ஒரு உள்ளகப் பகுதியும் (Real part) ஒரு அமைகணப் பகுதியும் (Imaginary part)உண்டு. $\mathbf {C}$ இலுள்ள ஒவ்வொரு எண் z ம் a + ib என்ற உருவத்தில் இருக்கும். இங்கு a யும் b யும் உள்ளக எண்கள். a க்கு z இன் உள்ளகப் பகுதி என்றும் b க்கு z இன் அமைகணப் பகுதி என்றும் பெயர்.

எனவே இவ்வெண் வகைகளின் தொடர்பு கீழே காட்டிய வாறு உள்ளது:

$\mathbf {N} \subset \mathbf {Z} \subset \mathbf {Q} \subset \mathbf {R} \subset \mathbf {C}$

இலக்கங்கள்

எண்கள், இலக்கங்களிலிருந்து வேறுபட்டவை. இலக்கங்கள் எண்களைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் குறியீடுகளாகும். தொடரான தானங்களாக அமையும் எண்குறியீட்டு முறை, இலக்க முறைமைகள் என்னும் தலைப்பின் கீழ் ஆராயப்படுகின்றது. மக்கள் சிலசமயம் பொருட்களுக்கு, எண்கள் மூலம் தனித்துவமான பெயர்களை வழங்க விரும்புகிறார்கள். பல வகையான எண்களிடும் முறைகள் புழக்கத்தில் உள்ளன.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• எண் அமைப்பு
• எண்களின் பட்டியல்
• கணித மாறிலிகள்
• ஒற்றை, இரட்டை எண்கள்
• பகா எண்கள்
• சிறிய எண்கள்
• பெரிய எண்கள்
• அளவு (எண்கள்) அடிப்படையிலான வரிசை
• பதினறும எண்கள்
• பல்வேறு மொழிகளில் எண்கள்
• எண்ணுருக்கள் (Numerals)
• விகிதமுறு எண்கள்
• விகிதமுறா எண்கள்
• hyperreal numbers
• surreal numbers
• p-adic numbers

சொல்லாக்கத்தைப்பற்றிய குறிப்புகள்