வெற்றுக் கணம்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

16:09, 29 சூன் 2011 இல் நிலவும் திருத்தம்

கணக்கோட்பாட்டில், வெற்றுக் கணம் (empty set) என்பது உறுப்புகளே இல்லாத தனித்ததொரு(unique) கணமாகும். அடிக்கோள் சார்ந்த கணக்கோட்பாட்டில் வெற்றுக்கணமானது, வெற்றுக் கண அடிக்கோள் மூலம் தரப்பட்டுள்ளது. ஏனைய கோட்பாடுகளில் வெற்றுக் கணம் இருப்பதை உய்த்தறிந்து தெரிந்து கொள்ளலாம். கணங்களுக்குரிய பண்புகள் எல்லாம் வெற்றுக் கணத்திற்கும் பொருந்தும் என்பதை எளிதாகக் காணலாம்.

குறியீடு

வெற்றுக் கணத்தின் சில குறியீடுகள்: "{}," " $\varnothing$ " மற்றும் " $\emptyset$ ". கடைசி இரு குறியீடுகளும் டேனிய மற்றும் நார்வீஜிய எழுத்தான Ø ன் அடையாளமாக 1939ல் பூர்பாக்கி குழுவால் (Bourbaki group) அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. (இந்த எழுத்துக்கும் கிரேக்க எழுத்தானΦ (phi) க்கும் எந்தவொரு தொடர்பு இல்லை). ^[1]

வெற்றுக் கணத்தின் பிற குறியீடுகள்: "Λ" மற்றும் "0". ^[2]

பண்புகள்

இரு கணங்கள் சமமானதாக இருக்க வேண்டுமெனில் அவற்றிலுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் சமமாக இருக்க வேண்டும். எந்தவொரு உறுப்பும் இல்லாமல் ஒரேயொரு கணம் மட்டும் தான் இருக்க முடியும். எனவே வெற்றுக் கணம் தனித்தன்மை கொண்டதாகும்.

A என்பது ஏதாவது ஒரு கணம் எனில்,

வெற்றுக் கணம் A ன் உட்கணமாகும்.
$\forall A:\varnothing \subseteq A\,.$
A மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் சேர்ப்பு A கணமாகும்.
$\forall A:A\cup \varnothing =A\,.$

A மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் வெட்டு வெற்றுக் கணமாகும்.

$\forall A:A\cap \varnothing =\varnothing \,.$
A மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் கார்டீசியன் பெருக்கற்பலன் வெற்றுக் கணமாகும்.
$\forall A:A\times \varnothing =\varnothing \,.$

வெற்றுக் கணத்தின் பண்புகள்:

வெற்றுக் கணத்தின் ஒரேயொரு உட்கணம் வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.
$\forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing \,.$
வெற்றுக் கணத்தின் அடுக்குக் கணத்திலுள்ள ஒரேயொரு உறுப்பு வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.
$2^{\varnothing }=\{\varnothing \}\,.$
வெற்றுக் கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை பூச்சியமாகும். அதாவது வெற்றுக் கணத்தின் அளவெண் 0.
$|\varnothing |=0\,.$

மேற்கோள்கள்

↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.
↑ John B. Conway, Functions of One Complex Variable, 2nd ed. P. 12.

[1] Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.

[2] John B. Conway, Functions of One Complex Variable, 2nd ed. P. 12.

[1]

[2]

@@ வரிசை 9: / வரிசை 9: @@
 == பண்புகள்==
-இரு கணங்கள் சமமானதாக இருக்க வேண்டுமெனில் அவற்றிலுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் சமமாக இருக்க வேண்டும்.  எந்தவொரு உறுப்பும் இல்லாமல் ஒரேயொரு கணம் மட்டும் தான் இருக்க முடியும். எனவே வெற்றுக் கணம் தனித்தன்மை(uniqueness) கொண்டதாகும்.
+இரு கணங்கள் சமமானதாக இருக்க வேண்டுமெனில் அவற்றிலுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் சமமாக இருக்க வேண்டும்.  எந்தவொரு உறுப்பும் இல்லாமல் ஒரேயொரு கணம் மட்டும் தான் இருக்க முடியும். எனவே வெற்றுக் கணம் தனித்தன்மை கொண்டதாகும்.
 ''A'' என்பது ஏதாவது ஒரு கணம் எனில்,
 * வெற்றுக் கணம் ''A'' ன் உட்கணமாகும்.
 *:<math>\forall A: \varnothing \subseteq A\, .</math>
-*''A'' மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் சேர்ப்பு ''A'' கணமாகும்.
+*''A'' மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் [[சேர்ப்பு (கணக் கோட்பாடு)|சேர்ப்பு]] ''A'' கணமாகும்.
 *:<math>\forall A: A \cup \varnothing = A\, .</math>
 ''A''  மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் வெட்டு வெற்றுக் கணமாகும்.
 *:<math>\forall A: A \cap \varnothing = \varnothing\, .</math>
-*''A'' மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் கார்டீசியன் பெருக்கற்பலன் வெற்றுக் கணமாகும்.
+*''A'' மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் [[கார்டீசியன் பெருக்கற்பலன்]] வெற்றுக் கணமாகும்.
 *:<math>\forall A: A \times \varnothing = \varnothing\, .</math>
@@ வரிசை 24: / வரிசை 24: @@
 *வெற்றுக் கணத்தின் ஒரேயொரு உட்கணம் வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.
 *:<math>\forall A: A \subseteq \varnothing \Rightarrow A = \varnothing\, .</math>
-* வெற்றுக் கணத்தின் அடுக்குக் கணத்திலுள்ள ஒரேயொரு உறுப்பு வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.
+* வெற்றுக் கணத்தின் [[அடுக்கு கணம்|அடுக்குக் கணத்திலுள்ள]] ஒரேயொரு உறுப்பு வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.
 *:<math>2^{\varnothing} = \{\varnothing\}\, .</math>
 *வெற்றுக் கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை பூச்சியமாகும். அதாவது வெற்றுக் கணத்தின் அளவெண் 0.