சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி

எண்கோட்பாட்டில் p என்பது ஒரு பகாத்தனி (பகா எண்) என்றால், அதன் இருமடங்கு கூட்டல் ஒன்று (2p + 1) என்னும் எண்ணும் பகாத்தனியாக இருந்தால் அந்த p என்னும் பகா எண் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி (Sophie Germain prime) என்று அழைக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக 29 என்னும் எண் ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி; ஏன் என்றால், 29 என்னும் எண் ஒரு பகாத்தனியாக இருப்பது மட்டுமல்லாமல் 2 × 29 + 1 = 59 என்று கணக்கிடும் பொழுது 59 என்னும் எண்ணும் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கின்றது. ஆகவே 29 என்பது ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி. இவ்வகை பகாத்தனிகளுக்கு இப்பெயர் பிரான்சிய பெண்பால் கணிதவியலாளர் மாரி-சோஃவி ஜெர்மேன் (Marie-Sophie Germain) (1776–1831)என்பவரின் பெயரை ஒட்டி சூட்டப்பட்டது.

ஒரு பகா எண்னை 2p+1 என்று எழுத முடிந்தால், அந்த p என்பதும் பகா எண்ணாக இருந்தால், 2p+1 என்று எழுதத்தக்க எண்ணைப் பாதுகாப்பான பகாத்தனி அல்லது உறுதிப் பகாத்தனி (safe prime) என்பர். இதில் p என்பது சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி என்பதால் உறுதிப் பகாத்தனியும் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியும் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. 2p+1 என்று எழுதத்தக்க எல்லா எண்களும் பகாத்தனிகள் அல்ல. எ.கா: 2 ×4 + 1 = 9 என்பது ஒரு கலப்பெண் (வகுபடும் எண்) (3 ×3 = 9)

ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி p > 3 என்பது 6k−1 என்னும் வடிவில் உள்ள எண், மாற்று வழியில் கூறுவதென்றால் p ≡ 5 (mod 6) - இது 2p+1 என்று எழுதப்பெறும் உறுதிப் பகாத்தனியுடன் ஒத்துள்ளது. இன்னும் வேறு ஒரு வடிவில், பகாத்தனி p > 3 என்றால் 6k+1 என்பதும் p ≡ 1 (mod 6), 3|(2p+1) - இப்படியாக சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி புலத்தில் சேராத p விலக்கிவிடுகின்றது. இதனை மாடுலோ கணிதத்துறை வழி நிறுவலாம்.

இந்த சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் எண்ணிக்கையில் முடிவிலியாக இருக்க வேண்டும் என்பது ஒரு நிறுவப்படாத ஊகம். முதல் சில சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, … (OEIS-இல் வரிசை A005384)

.

அறிந்தவற்றுள் மிகப்பெரிய சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி: 48047305725 × 2¹⁷²⁴⁰³−1. இதில் 51910 பதின்ம (தசம) இலக்கங்கள் உள்ளன.. இதனை டேவிட் அண்டர்பக்கெ (David Underbakke) ஜனவரி 25, 2007 இல், டுவின்ஜென் (TwinGen ) மற்றும் எல் எல் ஆர் (LLR) என்னும் நிரலிகளைக் கொண்டு நிறுவினார் [1] இதற்கு முன் இருந்த பெரிய எண் பதிவு 137211941292195 × 2¹⁷¹⁹⁶⁰−1; இது 51780 பதின்ம இலக்கங்களைக் கொண்டிருந்தது. இதனை யராய் என்பவரும் மற்றவர்களும் மே 3, 2006இல் கண்டுபிடித்தனர் [2].

n  என்னும் எண்ணைவிட சிறியனவாக உள்ள எண்களில் எத்தனை எண்கள் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகளாக இருக்கும் என்று ஒரு தோராயக் கணக்கீட்டை ஜி. எச். ஹார்டி மற்றும் [[ஜே. இ. லிட்டில்வுட் (G. H. Hardy and J. E. Littlewood) ஆகியோர் அளித்தனர். அவ் மதிப்ப்பீடு, 2C2 n / (ln n)2 என்பதாகும் இதில்  C2 என்பது இரட்டைப் பகாத்தனி நிலைஎண், சற்றேறக்குறைய  0.660161.  n = 104 என்றால், இந்த தோராய மதிப்பீடு 156 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் இருப்பதாகக் கூறுகின்றது, ஆனால் உண்மையில் மொத்தம் 190 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் உள்ளன. எனவே இதன் பிழையளவு 20%. n = 107 என்று எடுத்துக்கொண்டால். இந்த தோராய மதிப்பீடு 50822 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் இருக்க வேண்டும் என்று கூறுகின்றது, ஆனால் உண்மையில் 56032 எண்கள் உள்ளன. எனவே பிழை 10%.

மேற்கோள்கள்

• Maximally Periodic Reciprocals, R.A.J. Matthews (1992). Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications; vol 28 pp 147-148.

வெளி இணைப்புகள்

• The Top Twenty Sophie Germain Primes — from the Prime Pages.