சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

16:05, 25 நவம்பர் 2008 இல் நிலவும் திருத்தம்

எண்கோட்பாட்டில் p என்பது ஒரு பகாத்தனி (பகா எண்) என்றால், அதன் இருமடங்கு கூட்டல் ஒன்று (2p + 1) என்னும் எண்ணும் பகாத்தனியாக இருந்தால் அந்த p என்னும் பகா எண் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி என்று அழைக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக 29 என்னும் எண் ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி ஏன் என்றால், 29 என்னும் எண் ஒரு பகாத்தனியாக இருப்பது மட்டுமல்லாமல் 2 × 29 + 1 = 59 என்று கணக்கிடும் பொழுது 59 என்னும் எண்ணும் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கின்றது. ஆகவே 29 என்பது ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி. இவ்வ்வகை பகாத்தனிகளுக்கு இப்பெயர் பிரான்சிய கணிதவியலாளர் மாரி-சோஃவி ஜெர்மேன் (Marie-Sophie Germain) (1776–1831)என்பவரின் பெயரை ஒட்டி சூட்டப்பட்டது.

ஒரு பகா எண்னை 2p+1 என்று எழுத முடிந்தால், அந்த p என்பதும் பகா எண்ணாக இருந்தால், 2p+1 என்று எழுதத்தக்க எண்ணைப் பாதுகாப்பான பகாத்தனி அல்லது உறுதிப் பகாத்தனி (safe prime) என்பர். இதில் p என்பது சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி என்பதால் உறுதிப் பகாத்தனியும் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியும் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. 2p+1 என்று எழுதத்தக்க எல்லா எண்களும் பகாத்தனிகள் அல்ல. எ.கா: 2 ×4 + 1 = 9 என்பது ஒரு கலப்பெண் (வகுபடும் எண்) (3 ×3 = 9)

ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி p > 3 என்பது 6k−1 என்னும் வடிவில் உள்ள எண், மாற்று வழியில் கூறுவதென்றால் p ≡ 5 (mod 6) - இது 2p+1 என்று எழுதப்பெறும் உறுதிப் பகாத்தனியுடன் ஒத்துள்ளது. இன்னும் வேறு ஒரு வடிவில், பகாத்தனி p > 3 என்றால் 6k+1 என்பதும் p ≡ 1 (mod 6), 3|(2p+1) - இப்படியாக சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி புலத்தில் சேராத p விலக்கிவிடுகின்றது. இதனை மாடுலோ கணிதத்துறை வழி நிறுவலாம்.

இந்த சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் எண்ணிக்கையில் முடிவிலியாக இருக்க வேண்டும் என்பது ஒரு நிறுவப்படாத ஊகம். முதல் சில சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, … (OEIS-இல் வரிசை A005384)

.

அறிந்தவற்றுள் மிகப்பெரிய சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி: 48047305725 × 2¹⁷²⁴⁰³−1. இதில் 51910 பதின்ம (தசம) இலக்கங்கள் உள்ளன.. இதனை டேவிட் அண்டர்பக்கெ (David Underbakke) ஜனவரி 25, 2007 இல், டுவின்ஜென் (TwinGen ) மற்றும் எல் எல் ஆர் (LLR) என்னும் நிரலிகளைக் கொண்டு நிறுவினார் [1] இதற்கு முன் இருந்த பெரிய எண் பதிவு 137211941292195 × 2¹⁷¹⁹⁶⁰−1; இது 51780 பதின்ம இலக்கங்களைக் கொண்டிருந்தது. இதனை யராய் என்பவரும் மற்றவர்களும் மே 3, 2006இல் கண்டுபிடித்தனர் [2].

மேற்கோள்கள்

Maximally Periodic Reciprocals, R.A.J. Matthews (1992). Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications; vol 28 pp 147-148.

வெளி இணைப்புகள்

The Top Twenty Sophie Germain Primes — from the Prime Pages.

16:04, 25 நவம்பர் 2008 இல் நிலவும் திருத்தம் தொகு செல்வா (பேச்சு \| பங்களிப்புகள்) நிர்வாகிகள் 21,621 தொகுப்புகள் No edit summary ← முந்தைய வேறுபாடு		16:05, 25 நவம்பர் 2008 இல் நிலவும் திருத்தம் தொகு மீளமை செல்வா (பேச்சு \| பங்களிப்புகள்) நிர்வாகிகள் 21,621 தொகுப்புகள் No edit summary அடுத்த வேறுபாடு →
வரிசை 1:		வரிசை 1:
	[[எண் கோட்பாடு\|எண்கோட்பாட்டில்]] ''p'' ~~என்னும்~~ ஒரு [[பகாத்தனி]] ([[பகா எண்]]) என்றால், அதன் ~~இருபடங்கு~~ கூட்டல் ஒன்று (2''p'' + 1) என்னும் எண்ணும் பகாத்தனியாக இருந்தால் அந்த ''p'' என்னும் பகா எண் '''சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி''' என்று அழைக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக 29 என்னும் எண் ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி ஏன் என்றால், 29 என்னும் எண் ஒரு பகாத்தனியாக இருப்பது மட்டுமல்லாமல் 2 × 29 + 1 = 59 என்று கணக்கிடும் பொழுது 59 என்னும் எண்ணும் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கின்றது. ஆகவே 29 என்பது ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி. இவ்வ்வகை பகாத்தனிகளுக்கு இப்பெயர் [[பிரான்சு\|பிரான்சிய]] [[கணிதவியலாளர்]] [[மாரி-சோஃவி ஜெர்மேன்]] (Marie-Sophie Germain) ([[1776]]–[[1831]])என்பவரின் பெயரை ஒட்டி சூட்டப்பட்டது.		[[எண் கோட்பாடு\|எண்கோட்பாட்டில்]] ''p'' என்பது ஒரு [[பகாத்தனி]] ([[பகா எண்]]) என்றால், அதன் இருமடங்கு கூட்டல் ஒன்று (2''p'' + 1) என்னும் எண்ணும் பகாத்தனியாக இருந்தால் அந்த ''p'' என்னும் பகா எண் '''சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி''' என்று அழைக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக 29 என்னும் எண் ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி ஏன் என்றால், 29 என்னும் எண் ஒரு பகாத்தனியாக இருப்பது மட்டுமல்லாமல் 2 × 29 + 1 = 59 என்று கணக்கிடும் பொழுது 59 என்னும் எண்ணும் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கின்றது. ஆகவே 29 என்பது ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி. இவ்வ்வகை பகாத்தனிகளுக்கு இப்பெயர் [[பிரான்சு\|பிரான்சிய]] [[கணிதவியலாளர்]] [[மாரி-சோஃவி ஜெர்மேன்]] (Marie-Sophie Germain) ([[1776]]–[[1831]])என்பவரின் பெயரை ஒட்டி சூட்டப்பட்டது.

	ஒரு பகா எண்னை 2''p''+1 என்று எழுத முடிந்தால், அந்த ''p'' என்பதும் பகா எண்ணாக இருந்தால், 2''p''+1 என்று எழுதத்தக்க எண்ணைப் ''பாதுகாப்பான பகாத்தனி'' அல்லது ''உறுதிப் பகாத்தனி'' (safe prime) என்பர். இதில் ''p'' என்பது சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி என்பதால் உறுதிப் பகாத்தனியும் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியும் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. 2''p''+1 என்று எழுதத்தக்க எல்லா எண்களும் பகாத்தனிகள் அல்ல. எ.கா: 2 ×4 + 1 = 9 என்பது ஒரு கலப்பெண் (வகுபடும் எண்) (3 ×3 = 9)		ஒரு பகா எண்னை 2''p''+1 என்று எழுத முடிந்தால், அந்த ''p'' என்பதும் பகா எண்ணாக இருந்தால், 2''p''+1 என்று எழுதத்தக்க எண்ணைப் ''பாதுகாப்பான பகாத்தனி'' அல்லது ''உறுதிப் பகாத்தனி'' (safe prime) என்பர். இதில் ''p'' என்பது சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி என்பதால் உறுதிப் பகாத்தனியும் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியும் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. 2''p''+1 என்று எழுதத்தக்க எல்லா எண்களும் பகாத்தனிகள் அல்ல. எ.கா: 2 ×4 + 1 = 9 என்பது ஒரு கலப்பெண் (வகுபடும் எண்) (3 ×3 = 9)