கணித நிறுவல்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

13:46, 19 ஆகத்து 2017 இல் நிலவும் திருத்தம்

கணிதத்தில் கணித நிறுவல் என்பது, அத்துறையின் வரையறைகளுக்கு உட்பட்ட வகையில், கணிதவியல் கூற்று ஒன்றை ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்க வகையில் நிறுவதாகும். இங்கு, நிறுவல் என்பது தருக்க அடிப்படையில் உய்த்தறியும் ஒரு முறை யே. ஓர்வுகள் அல்லது செய்முறைகள் வழியாகப் பெறப்படுவது அல்ல. அதாவது, ஓர் எடுகோள், ஒரு விதிவிலக்குக் கூட இல்லாமல் அது பயன்படுத்தப்படும் எல்லாச் சூழல்களுக்கும் உண்மை என்பதை, நிறுவல் விளக்கவேண்டும். இதற்கு விவாதத்தின்போது முன்பே நிறுவிய கூற்றுகளான தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தலாம். கொள்கையளவில், எந்தவொரு நிறுவலையும் நுண்மையாகத் தொடர்ந்து சென்றால் , அது முடிவில் அடிப்படை நடைமுறை உண்மைகளான அடிக்கோள்களில் முடிவதைக் காணலாம். ,^[2]^[3]^[4] இது ஆனால் ஏற்கெனவே ஏற்ற உய்த்தரியும் விதிகளைப் பின்பற்ரி அமையும். சரியாக இருக்கக்கூடும் என நம்பப்படும் ஆனால் நிறுவப்படாத ஒரு கூற்று, ஊகம் எனப்படும்.

நிறுவல் தருக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது எனினும், வழமையாக இயல்பான மொழியும் பயன்படுத்தப்படுகின்ற காரணத்தால் நிறுவலில் ஓரளவு மயக்க நிலையும் (ambiguity) காணப்படுவதுண்டு. உண்மையில் எழுத்துமூலக் கணிதத்தில் பெரும்பாலான நிறுவல்கள் முறைசாராத் தருக்கத்தைப் (informal logic) பயன்படுத்துகின்றன. தூய முறைசார் நிறுவல்கள் நிறுவல் கோட்பாட்டில் கையாளப்படுகின்றன. முறைசார்ந்த நிறுவலுக்கும், முறைசாரா நிறுவலுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு தற்காலத்திலும், முன்னரும் கைக்கொள்ளப்பட்ட கணிதச் செயல்முறைகள் பற்றிய பல ஆய்வுகளுக்கு வித்திட்டுள்ளது. கணித மெய்யியல், நிறுவல்களில் மொழியினதும், தருக்கத்தினதுமான பங்களிப்புகளைக் கருத்தில் எடுத்துக்கொள்கிறது.

உண்மை என நிறுவப்பட்ட ஒரு கூற்று தேற்றம் (theorem) எனப்படும். நிறுவப்பட்ட ஒரு தேற்றத்தை வேறு கூற்றுக்களை நிறுவுவதற்குப் பயன்படுத்தலாம். பிற தேற்றங்களை நிறுவுவதற்கு அடிப்படையாகப் பயன்படும் தேற்றங்களை கிளைத்தேற்றங்கள் (lemma) எனக் குறிப்பிடுவர். அடிக்கோள்கள் என்பன ஒருவரால் நிறுவப்படத் தேவையற்ற அடிப்படை உண்மையை வெளிப்படுத்தும் கூற்றுக்கள் ஆகும்.

நிறுவல் முறைகள்

நேரடி நிறுவல்

நேரடி நிறுவலில், அடிப்படை உண்மைகள், வரைவிலக்கணங்கள், நிறுவப்பட்ட தேற்றங்கள் என்பன தருக்க முறையில் ஒன்றிணைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு இரட்டை முழுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை எப்பொழுதும் இரட்டை எண்ணே என நிறுவுவதற்கு நேரடி நிறுவல் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

எதிர்மறுப்பு நிறுவல்

எதிர்மறுப்பு நிறுவல் முறையில், ஒரு கூற்று உண்மையானது என்பதை நிறுவ, அக்கூற்று உண்மையில்லை என எடுத்துக்கொண்டு, அதன் விளைவாக ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட வேறு கூற்றுகளில் முரண்பாடு ஏற்படுவதைச் சுட்டிக்காட்டுவதன் மூலம் கூற்று உண்மையாகத்தான் இருக்க வேண்டும் என நிறுவப்படுகிறது. இது மறைமுக நிறுவல் அல்லது முரண்பாட்டு நிறுவல் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

உய்த்தறி முறை நிறுவல்

இடமாற்ற முறை நிறுவல்

மேற்கோள்கள்

↑ Bill Casselman. "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid". University of British Columbia. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2008-09-26. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)
↑ Clapham, C. & Nicholson, JN.. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. "A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained."
↑ Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3.
↑ Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7

தகவல் வாயில்கள்

Pólya, G. (1954), Mathematics and Plausible Reasoning, Princeton University Press.
Fallis, Don (2002), "What Do Mathematicians Want? Probabilistic Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians", Logique et Analyse, 45: 373–388.
Franklin, J.; Daoud, A. (2011), Proof in Mathematics: An Introduction, Kew Books, ISBN 0-646-54509-4.
Solow, D. (2004), How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes, Wiley, ISBN 0-471-68058-3.
Velleman, D. (2006), How to Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press, ISBN 0-521-67599-5.

வெளி இணைப்புகள்

விக்சனரியில் proof என்னும் சொல்லைப் பார்க்கவும்.

Proofs in Mathematics: Simple, Charming and Fallacious
A lesson about proofs, in a course from Wikiversity

[1] Bill Casselman. "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid". University of British Columbia. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2008-09-26. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (help)

[2] Clapham, C. & Nicholson, JN.. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. "A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained."

[nutsandbolts-3] Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3.

[4] Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ வரிசை 11: / வரிசை 11: @@
 }}</ref>]]
-கணிதத்தில் '''கணித நிறுவல்''' என்பது, அத்துறையின் வரையறைகளுக்கு உட்பட்ட வகையில், [[கணிதவியல் கூற்று]] ஒன்றை ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்க வகையில் விளக்குவதாகும். நிறுவல் என்பது தருக்க அடிப்படையில் உய்த்தறியும் ஒரு முறை. சோதனைகள் மூலம் பெறப்படுவது அல்ல. அதாவது, எடுகோள், ஒரு விதிவிலக்குக் கூட இல்லாமல் அது பயன்படுத்தப்படும் எல்லாச் சூழல்களுக்கும் உண்மை என்பதை, நிறுவல் விளக்கவேண்டும். சரியாக இருக்கக்கூடும் என நம்பப்படும் ஆனால் நிறுவப்படாத ஒரு கூற்று, [[ஊகம்]] எனப்படும்.
+கணிதத்தில் '''கணித நிறுவல்''' என்பது, அத்துறையின் வரையறைகளுக்கு உட்பட்ட வகையில், [[கணிதவியல் கூற்று]] ஒன்றை ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்க வகையில் நிறுவதாகும். இங்கு, நிறுவல் என்பது தருக்க அடிப்படையில் உய்த்தறியும் ஒரு முறை யே. ஓர்வுகள் அல்லது செய்முறைகள் வழியாகப் பெறப்படுவது அல்ல. அதாவது, ஓர் எடுகோள், ஒரு விதிவிலக்குக் கூட இல்லாமல் அது பயன்படுத்தப்படும் எல்லாச் சூழல்களுக்கும் உண்மை என்பதை, நிறுவல் விளக்கவேண்டும். இதற்கு விவாதத்தின்போது முன்பே நிறுவிய கூற்றுகளான தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தலாம். கொள்கையளவில், எந்தவொரு நிறுவலையும் நுண்மையாகத் தொடர்ந்து சென்றால் , அது முடிவில் அடிப்படை நடைமுறை உண்மைகளான அடிக்கோள்களில் முடிவதைக் காணலாம். ,<ref>{{cite book |author1=Clapham, C.  |author2=Nicholson, JN.  |lastauthoramp=yes | title = The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition |quote = A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.}}</ref><ref name="nutsandbolts">Cupillari, Antonella. ''The Nuts and Bolts of Proofs''. Academic Press, 2001. Page 3.</ref><ref>Gossett, Eric. ''Discrete Mathematics with Proof''. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. {{isbn|0-470-45793-7}}</ref>  இது ஆனால் ஏற்கெனவே ஏற்ற உய்த்தரியும் விதிகளைப் பின்பற்ரி அமையும். சரியாக இருக்கக்கூடும் என நம்பப்படும் ஆனால் நிறுவப்படாத ஒரு கூற்று, [[ஊகம்]] எனப்படும்.
 நிறுவல் தருக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது எனினும், வழமையாக இயல்பான மொழியும் பயன்படுத்தப்படுகின்ற காரணத்தால் நிறுவலில் ஓரளவு மயக்க நிலையும் (ambiguity) காணப்படுவதுண்டு. உண்மையில் எழுத்துமூலக் கணிதத்தில் பெரும்பாலான நிறுவல்கள் [[முறைசாராத் தருக்கம்|முறைசாராத் தருக்கத்தைப்]] (informal logic) பயன்படுத்துகின்றன. தூய [[முறைசார் நிறுவல்]]கள் [[நிறுவல் கோட்பாடு|நிறுவல் கோட்பாட்டில்]] கையாளப்படுகின்றன. முறைசார்ந்த நிறுவலுக்கும், முறைசாரா நிறுவலுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு தற்காலத்திலும், முன்னரும் கைக்கொள்ளப்பட்ட கணிதச் செயல்முறைகள் பற்றிய பல ஆய்வுகளுக்கு வித்திட்டுள்ளது. [[கணித மெய்யியல்]], நிறுவல்களில் மொழியினதும், தருக்கத்தினதுமான பங்களிப்புகளைக் கருத்தில் எடுத்துக்கொள்கிறது.