முக்கோணவியல்

முக்கோணங்களின் பக்க நீள, கோண விகிதங்கிடையே உள்ள தொடர்பை விளக்கும் இயல் திரிகோணமிதி அல்லது முக்கோணவியல் (Trignometry) ஆகும். நேரடியாக கணிக்க முடியாத சில சூழ்நிலைகளில் வடிவொத்த முக்கோணங்களின் துணைகொண்டு கணிக்க முக்கோணவியல் உதவுகின்றது. முக்கோணவியல் பல கணித கேள்விகளை தீர்ப்பதற்கு ஒரு கருவியாக உதவுகின்றது. முக்கோணவியலின் அடிப்படைகளை கண்டுபிடித்ததில், நிறுவியதில் இந்தியக் கணிதவியலாளர்களான ஆரியபட்டர், பிரம்ம குப்தன், மாதவன், நீலகண்டன் ஆகியவர்களின் பங்களிப்பு அடித்தளமானது.

வரலாறு

படிமம்:Hipparchos 1.jpeg

முக்கோணவியலின் தந்தை-ஹிப்பார்க்கஸ்

சுமேரிய வானியிலாளர்கள் வட்டத்தை 360 பாகைகளாகப் பிரித்து கோணங்களின் அளவுகளை அறிமுகப்படுத்தினர். அவர்களும் அவர்களைத் தொடர்ந்த பாபிலோனியர்களும் முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் விகிதங்களைப் பற்றி அறிய முற்பட்டு அவற்றின் பண்புகளைக் கண்டறிந்தனர். எனினும் அவர்கள் கண்டறிந்தவற்றை முறைப்படுத்தவில்லை. கிரேக்கர்கள் தான் முக்கோணவியலை ஒரு முறையான அறிவியலாக வடிவமைத்தனர்.

கிரேக்க அறிவியலாளர் ஹிப்பார்க்கஸ் முக்கோணவியலின் தந்தையென அறியப்படுகிறார். கிரேக்க கணிதவியலார்கள் யூக்ளிடு, ஆர்க்கிமிடீஸ் இருவரும் நாண்கள், வட்டத்தில் வரையப்படும் கோணங்கள் ஆகியவற்றின் பண்புகளை ஆய்வு செய்து தேற்றங்களை நிறுவினர். அவை முக்கோணவியலின் முடிவுகளை ஒத்தமைந்திருதாலும் அவர்கள் தங்கள் முடிவுகளை இயற்கணித முறைமையில் அல்லாது வடிவவியல் ரீதியாகவே அமைத்திருந்தனர். ஹிப்பார்க்கசைத் தொடர்ந்து, தாலெமி ஒரு வட்டத்துக்குள் அமையும் நாண் குறித்த கருத்துக்களைத் தனது கண்டுபிடிப்புகளில் விரிவுபடுத்தினார்.

பிறகு ஆர்யபட்டர் தனது சோதிட நூலான "'சூர்ய சித்தாந்தவில்"' புதிய வழக்கமான சைன் அல்லது ஜ்யாவைக் கண்டுபிடித்தார். ஆர்யாபட்டரின் ஜ்யா வழக்கம்தான் இற்றைய உலக முக்கோணவியலுக்குக் கதவு. 15 ஆம் நூற்றாண்டில் ஜெர்மனியை சார்ந்த ரெஜியோமோந்தானஸ் எனும் அறிஞர் அவரது நூலான "'த திரியாங்குலிஸ்சில்"' முக்கோணவியலின் ஐரோப்பிய பாகத்தை பூர்த்தி செய்தார்.

வேகமாகப் பரவிய கடற்பயணங்களின் தேவைகளும் உலகின் பல புதிய பகுதிகளின் வரைபடங்களின் தேவைகளும் முக்கோணவியலை கணிதத்தின் முக்கியமான தனித்துறையாக வளர்ச்சியடையச் செய்தன. 1595 இல் ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் பார்த்தொலொமியஸ் பிட்டிஸ்கசால் அவரது திரிகோணமெட்ரியா (Trigonometria) இல் திரிகோணமிதி என்ற பெயர் இத்துறைக்கு முதன்முதலாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

லியோனார்டு ஆய்லர் முக்கோணவியலுக்குள் சிக்கலெண்களை முழுவதுமாக ஒருங்கிணைத்தார். 17 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதவியலாளர் கிரெகரி மற்றும் 18 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர் மெக்லாரின் ஆகிய இருவரின் கண்டிபிடிப்புகள் முக்கோணவியல் தொடர்களின் மேம்பாட்டுக்குத் துணை செய்தன. மேலும் 18 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதவியலாளர் டெயிலர், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட டெயிலரின் விரிவைக் கண்டுபிடித்தார்.

அடிப்படை வரைவிலக்கணங்கள்

முதன்மைக் கட்டுரை: முக்கோணவியல் சார்புகள்

முக்கோணவியலில் சைன், கொசைன், டேன்ஜெண்ட், கோசீக்கெண்ட், சீக்கெண்ட், கோடேன்ஜெண்ட் என ஆறு அடிப்படைச் சார்புகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இவற்றை ஒரு செங்கோண முக்கோணம் அல்லது ஓரலகு வட்டம் வாயிலாக வரையறுக்கலாம். இந்த ஆறு சார்புகளில் முதல் மூன்று சார்புகளின் தலைகீழ்ச் சார்புகளாக முறையே அடித்த மூன்று சார்புகளும் அமையும்.

செங்கோண முக்கோணத்தில்

இந்த முக்கோணியில், a=எதிர்ப்பக்கம், b=அயற் பக்கம், c=செம்பக்கம்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் A -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்:

• செம்பக்கம் அல்லது கர்ணம் (hypotenuse):

செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம். இதன் அளவு  h. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கந்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது.

• எதிர்ப்பக்கம் (opposite):

நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் A -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம்  a.

• அடுத்துள்ள பக்கம் அல்லது அயற்பக்கம் (adjacent):

செங்கோணம் மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( A மற்றும் C) பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம்  b.

இச் செங்கோண முக்கோணத்தில் முக்கோணவியல் சார்புகள் பின்வருமாறு வரயறுக்கப்படுகின்றன:

• சைன் A = எதிர்ப்பக்கம் / செம்பக்கம்
• கொஸ் A = அயற்பக்கம் / செம்பக்கம்
• தான் A = எதிர்ப்பக்கம் / அயற்பக்கம்
• கொசீக் A = செம்பக்கம் / எதிர்ப்பக்கம்
• சீக் A = செம்பக்கம் / அயற்பக்கம்
• காட் A = அயற்பக்கம் / எதிர்ப்பக்கம்

$\sin A={\frac {a}{h}}.$

$\cos A={\frac {b}{h}}.$

$\tan A={\frac {a}{b}}.$

$\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {h}{a}}.$

$\sec A={\frac {1}{\cos A}}{\frac {h}{b}}.$

$\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {b}{a}}.$

ஓரலகு வட்டத்தில்

ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தைக் கொண்டு வரையறுக்கலாம். ஓரலகு வட்டம் என்பது ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் ஆரம் 1 அலகும் கொண்ட வட்டமாகும். நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மூலமான வரையறை அவ்வளவாகப் பொருந்தாவிடினும், (0, π/2 ) -ல் அமையும் கோணங்களுக்கு மற்றுமல்லாது அனைத்து மெய்யளவு கோணங்களுக்கும் பொருத்தமாக அமையும். மேலும் ஒரே படத்தின் மூலம் அனைத்து முக்கியமான கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகளையும் காண முடிகிறது.

ஓரலகு வட்டத்தின் மீதமையும் ஒரு புள்ளி (x, y) எனில் அப்புள்ளியை முனையாகக் கொண்ட வட்டத்தின் ஆரத்தைச் செம்பக்கமாகக் கொண்டு வரையப்படும் செங்கோண முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்க நீளங்கள் x, y. செம்பக்கத்தின் அளவு 1 அலகு. எனவே சைன் மற்றும் கொசைனின் வரையறை:

sin θ  =  y / 1 =  y

cos θ  =  x / 1 =  x .

இவ்விரண்டிலிருந்து மற்ற நான்கு சார்புகளையும் காணலாம்.

முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள்

அடிப்படை முற்றொருமைகள்

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\$

$\sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\$

$\csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\$

கோண மாற்று வாய்ப்பாடுகள்

$\sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B$

$\cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B$

$\tan(A\pm B)={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\ \tan B}}$

முக்கோணவியல் விதிகள்

ABC முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள் A,B,C களுக்கு எதிரமையும் மூன்று பக்கங்கள் முறையே a,b,c

ABC முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள் A,B,C களுக்கு எதிரமையும் மூன்று பக்கங்கள் முறையே a,b,c . முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கான பொதுவிதிகளில் முக்கியமான சில:

சைன் விதி

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,$

இங்கு R , முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம்.

$R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.$

${\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}ab\sin C.$

கொசைன் விதி

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,$ (அல்லது)

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\,$

டேன்ஜெண்ட் விதி

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}$

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

இதிலிருந்து சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜெண்ட்ற்கான வாய்ப்பாடுகள்:

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.$

முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளை நிரூபிக்க சில உத்திகள்

1. தரப்பட்டுள்ளவை மற்றும் நிரூபணம் செய்யப்பட உள்ளவை பற்றி கவனமுடன் ஆராய்ந்து ஊன்றி கவனித்தல் அவசியம்.
2. சிக்கல்கள் நிரம்பிய பகுதிகளை எடுத்துக்கொண்டு சுருக்குவதற்கு முன்னுரிமை அளித்தல் நல்லது.
3. ஒருசில வேளைகளில் முற்றொருமையின் இரு புறங்களிலும் சிக்கல்கள் நிறைந்த கோவைகள் காணப்படும். அவற்றைத் தனித்தனிக் கோவைகளாகவே எடுத்துக்கொண்டு சுருக்கித் தீர்வு காணவேண்டும். பின்னர், அவ்விரண்டு கோவைகளையும் மறுபடியும் சுருக்கம் செய்து ஒற்றைக் கோவையாக்கித் தனித்தனியே பெறப்படுதல் சிறந்தது.
4. பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் கூட்டலின்போது மேற்கொள்ளப்படும் இயற்கணித உத்திகளைப் பயன்படுத்திப் பின்னங்களை ஒன்றிணைக்க முயற்சிக்க வேண்டும்.
5. முற்றொருமையின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் தேவை ஏற்படும் பட்சத்தில் அதற்கு சமமாக உள்ள சைன், கொசைன் ஆக மாற்றிப் பின் சுருக்கம் செய்தல் பயனுடையதாக இருக்கும்.

   $\tan ^{2}A$ , $\cot ^{2}A$, $\sec ^{2}A$ $\csc ^{2}A$ஆகிய உறுப்புகளுடன் கூடிய முற்றொருமையினை

$\tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\$

$\cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\$

ஆகிய எளிய வாய்ப்பாடுகளைக் கையாண்டு தீர்க்க முயற்சிக்க வேண்டும்.

உயரங்கள் மற்றும் தூரங்களை அளவிடல்

முக்கோணவியல் விகிதங்களைப் பயன்படுத்தி கோள்களுக்கிடையேயான தொலைவு, சிகரங்களின் உச்சியளவு, சூரியன் மற்றும் சந்திரன் ஆகியவற்றிற்கிடையேயான தூரம் முதலானவை கணக்கிடப்படுகின்றன. மேலும், தேசப்பட உருவாக்கம் மற்றும் அட்ச, தீர்க்க ரேகைகளைக் கொண்டு ஓரிடத்தின் அமைவிடத்தை அறிந்திடும் பயன்கள் இவற்றால் உண்டாகின்றன.

தியோடலைட் கருவி

தியோடலைட் கருவி

இக்கருவியானது ஒரு பொருளை உற்றுநோக்குவோரின் பார்வைக் கிடைக்கோடு மற்றும் அப்பொருளுக்கிடைப்பட்ட கோணம் ஆகியவற்றை அளவிட உதவுகிறது. ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாகக் காணப்படும் இரு சக்கரங்கள் தியோடலைட் கருவியில் உள்ளன. இவ்விரு சக்கரங்களிலும் அளவுகள் குறிக்கப்பட்டிருக்கும். மேலும், இக்கருவியில் ஒரு தொலைநோக்கி அமைப்பும் உள்ளது. இவற்றின் மூலம் கிடைமட்டக் கோணங்கள் மற்றும் நேர்க்குத்துக் கோணங்கள் ஆகியவை அளவிடப்படுகின்றன. தொலைநோக்கியைப் பயன்படுத்தித் தேவையான புள்ளியின் கோண அளவினை அளக்க முடியும்.

பார்வைக்கோடு

பார்வைக் கோடு என்பது ஒரு புள்ளியை உற்றுநோக்கும்போது, பார்வைக்கும் அப்புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட நேர்க்கோடாகும்.

ஏற்றக் கோணம்

கிடைமட்டப் பார்வைக் கோட்டிற்கும் மேலே காணப்படும் பார்வைக் கோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் ஏற்றக் கோணம் (Angle of Elevation) எனப்படும்.

இறக்கக் கோணம்

கிடைமட்டப் பார்வைக் கோட்டிற்கும் கீழேயுள்ள பார்வைக் கோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட கோணத்திற்கு இறக்கக் கோணம் (Angle of Depression) என்று பெயர்.

ஏற்ற,இறக்கக் கோணங்களுக்கிடையேயான தொடர்பு

உற்றுநோக்குபவர் ஒரு பொருளை நோக்கும்போது உண்டாகும் ஏற்றக் கோணமானது,அப்பொருளிலிருந்து உற்றுநோக்குபவரை நோக்கும் போது ஏற்படும் இறக்கக் கோணத்திற்குச் சமமாகும்.

உயரங்கள் மற்றும் தூரங்கள் தொடர்பான கணக்குகளைத் தீர்க்கும் எளிய வழிமுறைகள்

1)இதுகுறித்த கேள்வியினை நன்கு படித்து அதற்கேற்றவாறு ஓர் எளிய துணைப்படம் ஒன்றை வரைந்துகொள்ள வேண்டும்.

2)அப்படத்தில் உரிய அடையாளங்களைக் குறித்துக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள மதிப்புகளை இட்டு நிரப்புதல் இரண்டாவது படியாகும்.

3)கணக்கிடப்பட வேண்டிய உயரத்தின் அளவை h எனவும் தொலைவை x எனவும் கொள்ளுதல் வேண்டும்.

4)தேவையான முக்கோணவியல் விகிதங்களைத் தேர்ந்தெடுத்துக் கணக்கினைத் தீர்க்க முயற்சித்தல் நல்லது.

5)அம்முக்கோணவியல் விகிதங்களில் கணக்கில் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டுக் கணக்குக்குத் தக்க தீர்வு காணுதல் இறுதி நிலையாகும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல்

வெளி இணைப்புக்கள்

• Trigonometric Delights, by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
• கேரளா - தமிழ் வழி கணித புத்தகம் - ஆண்டு 10