ஆரம், வடிவியல்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
No edit summary |
சிNo edit summary |
||
| வரிசை 1: | வரிசை 1: | ||
[[ |
[[படிமம்:Rusty Cart Wheel 2000px.jpg|thumb|right|வண்டிச் சக்கரத்தின் ஆரைக்கால்]] |
||
[[படிமம்:Circle-1.png|right|thumb|ஆரம் என்னும் ஆரை]] |
[[படிமம்:Circle-1 (ta).png|right|thumb|ஆரம் என்னும் ஆரை]] |
||
[[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]], '''ஆரம்''' அல்லது '''ஆரை''' (''radius'') என்பது [[வட்டம்]] அல்லது [[கோளம்]] ஒன்றின் [[சுற்றளவு|சுற்றளவில்]] உள்ள எந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்தும் அதன் மையப் புள்ளிக்கு வரையப்படும் [[கோட்டுத்துண்டு|நேர்கோட்டுத் துண்டின்]] நீளத்தைக் குறிக்கும்.<ref name="radic">[http://dictionary.reference.com/browse/Radius Definition of Radius] at dictionary.reference.com. Accessed on 2009-08-08.</ref> ஒரு வட்டத்தில் எண்ணற்ற ஆரங்களை வரையறுக்க இயலும். அவை ஒத்த அளவுடையதாக இருக்கும். |
[[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]], '''ஆரம்''' அல்லது '''ஆரை''' (''radius'') என்பது [[வட்டம்]] அல்லது [[கோளம்]] ஒன்றின் [[சுற்றளவு|சுற்றளவில்]] உள்ள எந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்தும் அதன் மையப் புள்ளிக்கு வரையப்படும் [[கோட்டுத்துண்டு|நேர்கோட்டுத் துண்டின்]] நீளத்தைக் குறிக்கும்.<ref name="radic">[http://dictionary.reference.com/browse/Radius Definition of Radius] at dictionary.reference.com. Accessed on 2009-08-08.</ref> ஒரு வட்டத்தில் எண்ணற்ற ஆரங்களை வரையறுக்க இயலும். அவை ஒத்த அளவுடையதாக இருக்கும். |
||
மாட்டு வண்டியில் இருக்கும் மரத்தால் செய்யப்பட்ட சக்கரத்தில் அதன் மையப்பகுதியாகிய குடத்திலிருந்து சக்கர விளிம்பிலுள்ள வட்டையை தாங்கி நிற்கும்படி நிறுத்தப்பட்டுள்ள கால்-மரத்தை ஆரை என்பர். |
மாட்டு வண்டியில் இருக்கும் மரத்தால் செய்யப்பட்ட சக்கரத்தில் அதன் மையப்பகுதியாகிய குடத்திலிருந்து சக்கர விளிம்பிலுள்ள வட்டையை தாங்கி நிற்கும்படி நிறுத்தப்பட்டுள்ள கால்-மரத்தை ஆரை என்பர்.<ref>ஆரை வேய்ந்த அரைவாய் சகடம் (பெருமாணாற்றுப்படை 50), (அகநானூறு 301),</ref><ref>ஆரைச் சாகாட்டு ஆழ்ச்சி போக்கும்<br />உரனுடை நோன் பகட்டு அன்ன எம் கோன் (புறநானூறு 60)</ref> |
||
ஆரை பொதுவாக '''r''' என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும். இது [[விட்டம்|விட்டத்தின்]] ('''d''') அளவில் பாதியாக இருக்கும்.:<ref name="mwd1">[http://www.mathwords.com/r/radius_of_a_circle_or_sphere.htm Definition of radius] at mathwords.com. Accessed on 2009-08-08.</ref> |
ஆரை பொதுவாக '''r''' என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும். இது [[விட்டம்|விட்டத்தின்]] ('''d''') அளவில் பாதியாக இருக்கும்.:<ref name="mwd1">[http://www.mathwords.com/r/radius_of_a_circle_or_sphere.htm Definition of radius] at mathwords.com. Accessed on 2009-08-08.</ref> |
||
| வரிசை 9: | வரிசை 9: | ||
: <math>d \doteq 2r \quad \Rightarrow \quad r = \frac{d}{2}.</math> |
: <math>d \doteq 2r \quad \Rightarrow \quad r = \frac{d}{2}.</math> |
||
==சுற்றளவில் இருந்து ஆரை== |
== சுற்றளவில் இருந்து ஆரை == |
||
வட்டம் ஒன்றின் [[சுற்றளவு]] ''C'' எனின், அதன் ஆரை பின்வரும் சமன்பாட்டினால் தரப்படும்: |
வட்டம் ஒன்றின் [[சுற்றளவு]] ''C'' எனின், அதன் ஆரை பின்வரும் சமன்பாட்டினால் தரப்படும்: |
||
: <math>r = \frac{C}{2\pi}.</math> |
: <math>r = \frac{C}{2\pi}.</math> |
||
==பரப்பளவில் இருந்து ஆரை== |
== பரப்பளவில் இருந்து ஆரை == |
||
வட்டம் ஒன்றின் [[பரப்பளவு]] ''A'' எனின், அதன் ஆரை: |
வட்டம் ஒன்றின் [[பரப்பளவு]] ''A'' எனின், அதன் ஆரை: |
||
: <math>r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}</math>. |
: <math>r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}</math>. |
||
==மூன்று புள்ளிகளில் இருந்து ஆரை== |
== மூன்று புள்ளிகளில் இருந்து ஆரை == |
||
''P''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>, ''P''<sub>3</sub> எனும் மூன்று புள்ளிகளூடாகச் செல்லும் வட்டம் ஒன்றின் ஆரை பின்வருமாறு தரப்படும்: |
''P''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>, ''P''<sub>3</sub> எனும் மூன்று புள்ளிகளூடாகச் செல்லும் வட்டம் ஒன்றின் ஆரை பின்வருமாறு தரப்படும்: |
||
| வரிசை 25: | வரிசை 25: | ||
இங்கு ''θ'' என்பது கோணம் <math> \angle P_1 P_2 P_3.</math> ஆகும். |
இங்கு ''θ'' என்பது கோணம் <math> \angle P_1 P_2 P_3.</math> ஆகும். |
||
இச்சமன்பாடு [[சைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்துகிறது. மூன்று புள்ளிகளும் <math> (x_1,y_1) </math>, |
இச்சமன்பாடு [[சைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்துகிறது. மூன்று புள்ளிகளும் <math> (x_1,y_1) </math>, |
||
<math> (x_2,y_2) </math>, <math> (x_3,y_3) </math> ஆகிய ஆள்கூறுகளால் தரப்படின், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்: |
<math> (x_2,y_2) </math>, <math> (x_3,y_3) </math> ஆகிய ஆள்கூறுகளால் தரப்படின், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்: |
||
: <math> r={\frac {\sqrt{ \left( \left( {\it x_2}-{\it x_1} \right) ^{2}+ \left( {\it y_2}-{\it y_1} \right) ^{2} \right) \left( \left( {\it x_2}-{\it x_3} \right) ^{2}+ \left( {\it y_2}-{\it y_3} \right) ^{2} \right) \left( \left( {\it x_3}-{\it x_1} \right) ^{2}+ \left( {\it y_3}-{\it y_1} \right) ^{2} \right)} }{ 2 \left| {\it x_1}\,{\it y_2}+{\it x_2}\,{\it y_3}+{\it x_3}\,{\it y_1}-{\it x_1}\,{\it y_3}-{\it x_2}\,{\it y_1}-{\it x_3}\,{\it y_2} \right| }}</math> |
: <math> r={\frac {\sqrt{ \left( \left( {\it x_2}-{\it x_1} \right) ^{2}+ \left( {\it y_2}-{\it y_1} \right) ^{2} \right) \left( \left( {\it x_2}-{\it x_3} \right) ^{2}+ \left( {\it y_2}-{\it y_3} \right) ^{2} \right) \left( \left( {\it x_3}-{\it x_1} \right) ^{2}+ \left( {\it y_3}-{\it y_1} \right) ^{2} \right)} }{ 2 \left| {\it x_1}\,{\it y_2}+{\it x_2}\,{\it y_3}+{\it x_3}\,{\it y_1}-{\it x_1}\,{\it y_3}-{\it x_2}\,{\it y_1}-{\it x_3}\,{\it y_2} \right| }}</math> |
||
==சீரான பல்கோணங்களுக்கான சமன்பாடுகள்== |
== சீரான பல்கோணங்களுக்கான சமன்பாடுகள் == |
||
பின்வரும் சமன்பாடுகள் ''n'' பக்கங்களைக் கொண்ட சீரான [[பல்கோணம்|பல்கோணங்களுக்கானது]]. |
பின்வரும் சமன்பாடுகள் ''n'' பக்கங்களைக் கொண்ட சீரான [[பல்கோணம்|பல்கோணங்களுக்கானது]]. |
||
''s'' பக்கத்தைக் கொண்ட பல்கோணம் ஒன்றின் ஆரை: |
''s'' பக்கத்தைக் கொண்ட பல்கோணம் ஒன்றின் ஆரை: |
||
: <math>r = R_n\, s</math> இங்கு <math> R_n = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{n}} \quad\quad |
: <math>r = R_n\, s</math> இங்கு <math> R_n = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{n}} \quad\quad |
||
\begin{array}{r|ccr|c} |
\begin{array}{r|ccr|c} |
||
n & R_n & & n & R_n\\ |
n & R_n & & n & R_n\\ |
||
| வரிசை 49: | வரிசை 49: | ||
</math> |
</math> |
||
==மேற்கோள்களும் குறிப்புகளும்== |
== மேற்கோள்களும் குறிப்புகளும் == |
||
{{reflist}} |
{{reflist}} |
||
03:54, 8 அக்டோபர் 2015 இல் நிலவும் திருத்தம்
.png)
வடிவவியலில், ஆரம் அல்லது ஆரை (radius) என்பது வட்டம் அல்லது கோளம் ஒன்றின் சுற்றளவில் உள்ள எந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்தும் அதன் மையப் புள்ளிக்கு வரையப்படும் நேர்கோட்டுத் துண்டின் நீளத்தைக் குறிக்கும்.[1] ஒரு வட்டத்தில் எண்ணற்ற ஆரங்களை வரையறுக்க இயலும். அவை ஒத்த அளவுடையதாக இருக்கும்.
மாட்டு வண்டியில் இருக்கும் மரத்தால் செய்யப்பட்ட சக்கரத்தில் அதன் மையப்பகுதியாகிய குடத்திலிருந்து சக்கர விளிம்பிலுள்ள வட்டையை தாங்கி நிற்கும்படி நிறுத்தப்பட்டுள்ள கால்-மரத்தை ஆரை என்பர்.[2][3]
ஆரை பொதுவாக r என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும். இது விட்டத்தின் (d) அளவில் பாதியாக இருக்கும்.:[4]
சுற்றளவில் இருந்து ஆரை
வட்டம் ஒன்றின் சுற்றளவு C எனின், அதன் ஆரை பின்வரும் சமன்பாட்டினால் தரப்படும்:
பரப்பளவில் இருந்து ஆரை
வட்டம் ஒன்றின் பரப்பளவு A எனின், அதன் ஆரை:
- .
மூன்று புள்ளிகளில் இருந்து ஆரை
P1, P2, P3 எனும் மூன்று புள்ளிகளூடாகச் செல்லும் வட்டம் ஒன்றின் ஆரை பின்வருமாறு தரப்படும்:
இங்கு θ என்பது கோணம் ஆகும்.
இச்சமன்பாடு சைன் விதியைப் பயன்படுத்துகிறது. மூன்று புள்ளிகளும் , , ஆகிய ஆள்கூறுகளால் தரப்படின், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்:
சீரான பல்கோணங்களுக்கான சமன்பாடுகள்
பின்வரும் சமன்பாடுகள் n பக்கங்களைக் கொண்ட சீரான பல்கோணங்களுக்கானது.
s பக்கத்தைக் கொண்ட பல்கோணம் ஒன்றின் ஆரை:
- இங்கு
மேற்கோள்களும் குறிப்புகளும்
- ↑ Definition of Radius at dictionary.reference.com. Accessed on 2009-08-08.
- ↑ ஆரை வேய்ந்த அரைவாய் சகடம் (பெருமாணாற்றுப்படை 50), (அகநானூறு 301),
- ↑ ஆரைச் சாகாட்டு ஆழ்ச்சி போக்கும்
உரனுடை நோன் பகட்டு அன்ன எம் கோன் (புறநானூறு 60) - ↑ Definition of radius at mathwords.com. Accessed on 2009-08-08.