ஆரியபட்டர்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது

வரியுள்

11:50, 12 அக்டோபர் 2012 இல் நிலவும் திருத்தம்

இந்தியக் கணிதவியல் வரலாற்றில் இரண்டு ஆரியபட்டாக்கள் புகழ் பெற்றுள்ளார்கள். இவர்களுள் ஐந்தாம் நூற்றாண்டின் இறுதிப்பகுதியிலும், ஆறாம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்திலும் வாழ்ந்த ஆரியபட்டாவைப் பற்றியது இக் கட்டுரை. பிற்காலத்தில் வாழ்ந்த இரண்டாம் ஆரியபட்டா என்பவரிடம் இருந்து வேறுபடுத்துவதற்காக இவரை முதலாம் ஆரியபட்டா அல்லது மூத்த ஆரியபட்டா எனவும் அழைப்பது உண்டு.

ஆரியபட்டா (Āryabhaṭa; வடமொழி: आर्यभटः, கிபி 476 ~ 550) என்பவர் இந்தியக் கணிதவியலின் செந்நெறிக் காலத்தைச் சேர்ந்த புகழ் பெற்ற கணிதவியலாளரும், இந்திய வானியலாளர்களுள் முதன்மையானவரும் ஆவார். அவருடைய மிகவும் புகழ் பெற்ற பணிகள் ஆர்யபட்டீய (கிபி 499, 23 வயதில்) மற்றும் ஆரிய-சித்தாந்தம் ஆகும்.

முதலாம் ஆரியபட்டாவின் பிறப்பிடத்தைச் சரியாகத் தீர்மானிக்கத்தக்க வகையில் சான்றுகள் எதுவும் அகப்படவில்லை. எனினும் இவர் குசுமபுர என்னும் இடத்துக்குச் சென்று அங்கே உயர்கல்வி கற்றதாகவும், அங்கே வாழ்ந்ததாகவும் அறியப்படுகின்றது. இவருடைய நூலுக்கு உரையெழுதிய பாஸ்கரர், இவ்விடம், இன்றைய பாட்னாவான பாடலிபுத்திரமே என்கிறார். ஆரியபட்டா எழுதிய நூல்களுள், ஆரியபட்டீயம், ஆரியபட்ட சித்தாந்தம் என்பவை முக்கியமானவை.

இயற்கணிதத்தைச் சார்ந்து முதன்முதலில் உலகில் எழுதப்பட்ட நூல் இந்தியாவில் ஆரியபட்டாவால் 5ம் நூற்றாண்டில் எழுதப்பட்டது. இது பீஜகணிதம் என்று பெயர்கொண்டது. பாடல் வடிவில் அமைந்துள்ள ஆரியபட்டீயம், கணிதவியல், வானியல் என்பன தொடர்பான கண்டுபிடிப்புக்கள் பலவற்றைக் கொண்டுள்ளது. தொடர்ந்த பல நூற்றாண்டுகளிலும் இந்தியக் கணிதவியலில் இந்நூல் செல்வாக்குச் செலுத்தியது. மிகச் சுருக்க வடிவில் இருந்த இந்நூலுக்கு, விரிவான உரைகளை இவரது மாணவரான முதலாம் பாஸ்கரரும்; 15 ஆம் நூற்றாண்டில், ஆரியபட்டீய பாஷ்யம் என்ற பெயரில் நீலகண்ட சோமயாஜி என்பவரும் எழுதியுள்ளனர்.

வாழ்க்கை வரலாறு

ஆர்யபட்டா பிறந்த வருடத்தைப் பற்றி தெளிவாக ஆர்யபட்டியாவில் கூறி இருந்தாலும், அவர் எந்த இடத்தில் பிறந்தார் என்பது அறிஞர்களுக்கு இடையே ஒரு புரியாத புதிராக இன்றும் இருந்து வருகிறது. சிலர் அவர் நர்மதா மற்றும் கோதாவரி நதிகளுக்கிடையே இருந்த அஷமாக என்ற ஆந்திரப் பிரதேசத்தில் உள்ள தெலுங்கானா வட்டாரத்தில் பிறந்ததாகவும், ஆனால் முந்திய புத்தமத உரைகள் அஷ்மாகவை இன்னும் தெற்கு வசமாக தக்ஷிணபதத்தில் அதாவது தக்காணப் பீடபூமியிலும், மற்றும் இதர உரைகள் அஷமாக -வில் அலெக்சாந்தருடன் போர் புரிந்ததாகவும் விளக்கி உள்ளன, அப்படி இருந்தால் அது இன்னும் வடக்கு நோக்கி இருந்து இருக்கும்.^[1]

சமீபத்தில் நடந்த ஒரு ஆய்வு ஆர்யபட்டா கேரளாவில் உள்ள சமரவட்டம் என்ற இடத்தைச் சார்ந்தவர் என்று கூறி உள்ளது. (10N51, 75E45). இந்த ஆய்வு அஷமாக என்பது ஸ்ராவணபெலகோல என்ற ஜெயின் மதத்தினர் வாழ்ந்து வந்த இடமான ஒரே கல்லில் செய்த சிற்பங்கள் பல நிறைந்த சுற்றி இருக்கும் இடங்கள் அஷமாக என்ற பெயர் உள்ள நாடாக அது கற்பிதம் கொண்டுள்ளது. சமரவட்டம் என்ற இடம் ஜெயின் மதத்தினரின் தொன்மை வாய்ந்த ராஜா பரதாவின் பெயரில் நிறுவிய பாரதப்புழா நதியின் அருகாமையில் உள்ள ஒரு ஜெயின் மதத்தினரின் குடியிருப்பின் ஒரு பாகமாக தெளிவு செய்கிறது. ஆர்யபட்டா கூட யுகங்களைக் குறிப்பிடும் போது, ராஜா பரதரை சுட்டிக் காட்டி இருக்கிறார் - தாசகிடிகா என்ற நூலில் ஐந்தாம் கவிதை வரியில் பாரத வருடங்கள்-பாரத ராஜாவிற்குப் பின் எத்தனை வருடங்கள் கழிந்த பிறகு நிகழ்ச்சிகள் நடந்தன என்று. அந்த நாட்களில் குசுமபுர என்ற இடத்தில் ஒரு புகழ் பெற்ற பல்கலைக் கழகம் இருந்தது, ஜெயின் மதத்தினர் இங்கே முடிவுகள் எடுக்கும் செல்வாக்குடன் வாழ்ந்தார்கள் மற்றும் ஆர்யபட்டாவின் பணிகள் குசுமபுராவை சென்றடைந்து நல்ல பாராட்டுக்கள் பெற்றிருக்கலாம்.^[2]^[3]

எனினும், ஏதோ ஒரு நேரத்தில், அவர் மேல் படிப்புக்காக குசுமபுராவிற்கு சென்றார் மற்றும் அங்கே சில நாட்களுக்கு வசித்தார் என்பது ஓரளவு உறுதியாகும்.^[4]பாஸ்கர I (கி பி 629) குசுமபுராவைப் பாடலிபுத்ராவாக அடையாளம் கண்டுள்ளார். (நவீன பட்னா).

குப்தப் பேரரசு, முடிவு பெறும் தறுவாயில் அங்கே அவர் வசித்தார், அந்த சமயமானது இந்தியாவின் பொற்காலமாகக் கருதப்படுகிறது, அப்போது புத்தகுப்தா மற்றும் இதர சிறிய ராஜாக்கள் ஆண்டு வந்த காலம், அதாவது விஷ்ணுகுப்தா என்பவரின் ஆட்சிக்கு முன்னதாக; அப்போது ஏற்கனவே வடகிழக்கு மாகாணங்கள் ஹண் இனத்தினரின் தாக்குதலுக்கு உட்பட்டு இருந்தது.

ஆர்யபட்டியத்தில் ஆர்யபட்டா "லங்கா "என்று பல முறை குறிப்பிட்டுள்ளார், ஆனால் அவருடைய "லங்கா" என்பது ஒரு கற்பனை வாதமாகும், அது பூமத்திய ரேகையில் உஜ்ஜையனி நாட்டின் நிலநிரைக்கோடிற்கு சமமாக உள்ள ஒரு புள்ளியிடத்தை குறிப்பது ஆகும்.^{[மேற்கோள் தேவை]}

படைப்புகள்

ஆர்யபட்டா கணிதம் மற்றும் வானவியல் சார்ந்த பல ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகளை எழுதியுள்ளார், அவையில் சில தொலைந்து போயின. அவருடைய பெரும் பணியான, ஆர்யபட்டீய, கணிதம் மற்றும் வானவியலுக்கான ஒரு பெரியநூற்சுருக்கம். இந்திய கணித இலக்கியத்தில் பல முறை பயன்படுத்திய, மேலும் நவீன காலத்திலும் பயன்பெறக் கூடியதாக விளங்குகிறது. ஆர்யபட்டீயவின் கணித பாகம் எண்கணிதம், அட்சரகணிதம், தல கோணவியல் மற்றும் உருண்ட கோணவியல் அடங்கியது. மேலும் அவற்றில் தொடரும் பின்னங்கள், இருபடிச்சமன்பாடு, அடுக்குத் தொடர்களின் கூட்டும் முறை மற்றும் சைன் கோணங்களுக்கான அட்டவணை அடங்கும்.

ஆர்யா -சித்தாந்த, என்ற தொலைந்து போன வானியல் கணிதம் கொண்ட படைப்பு, ஆர்யபட்டாவுடன் வாழ்ந்தவரான வராஹமிஹிரா, என்பவரின் படைப்புக்களில் இருந்தும், மற்றும் அதற்குப் பின்னால் வந்த கணிதயியலாளர்கள் மற்றும் தொடர்விளக்க உரையாளர்களின் படைப்புகளில் இருந்தும், அவற்றில் பிரம்மகுப்தா மற்றும் பாஸ்கரா I ஆகியோர் அடங்குவர், தெரிய வருகிறது. இந்தப் படைப்பானது பழமை வாய்ந்த சூரிய சித்தாந்தத்தை தழுவியதாக தெரிகிறது, மேலும் அது நள்ளிரவை-நாளை-கணக்கில் கொள்கிறது, ஆனால் அதற்கு எதிர்மறையாக ஆர்யபட்டீயவில் சூரிய உதயம் கணக்கில் கொண்டுள்ளது. இதில் பலவகையான வானவியல் ஆராய்ச்சிக்கான கருவிகளைப் பற்றி விவரித்துள்ளது, அவை க்னோமொன் என்ற கருவி (சங்கு -யந்திரம்{ /1}), ஒரு நிழற்க் கருவியான (சாயா -யந்திரம்), கோணங்களை அளக்கும் கருவிகளாக இருக்கலாம், அரை வட்டம் மற்றும் வட்டமான (தனுர் -யந்திரம் / சக்ர -யந்திரம்), ஒரு உருளை வடிவம் கொண்ட வடி யஸ்தி -யந்திரம், ஒரு குடை போன்ற கருவியான சத்ர -யந்திரம், மற்றும் தண்ணீர் கடிகாரங்கள் இரு விதமானவை, அம்பு போன்றதும் மற்றும் உருளை வடிவத்தில்.^[1] போன்றவை

அரபு மொழி பெயர்ப்பின் காரணமாக மூன்றாவதான ஒரு ஆர்யபட்டாவின் உரையும் கிடைத்துள்ளது, அது அல் ந்த்ப் அல்லது அல்-நந்ப், என்ற தலைப்புடன் கூடியது, ஆனால் அதன் சமஸ்க்ரி்த பெயர் தெரிய வரவில்லை. இது ஒன்பதாம் நூற்றாண்டை சார்ந்ததாக இருந்திருக்கலாம். இதைப் பற்றி பெர்சியன் நாட்டு அறிஞர் மற்றும் இந்தியத் தொடர்வரலாறுகளை எழுதிய அபூ ரெஹான் அல்-பிரூனி^[1] குறிப்பிட்டு இருக்கிறார்.

ஆர்யபட்டீயம்

ஆர்யபட்டாவின் படைப்பைப் பற்றி நேரடி விவரங்களை ஆர்யபட்டீயத்தில் இருந்து தான் அறிந்து கொள்ள முடியும். ஆர்யபட்டீயம் என்ற பெயர் அமைந்ததற்கு காரணம் பின்னர் வந்த தொடர் விளக்க உரையாளர்கள் தான், ஆர்யபட்டா அவராகவே அதற்கு பெயர் சூடி இருக்க வாய்ப்பில்லை; அவர் சீடன் பாஸ்கர I அதை அஷ்மகதந்த்ரா அல்லது அஷ்மகா எழுதிய உரை என்று பரிந்து உரைத்திருக்கிறார். எப்பொழுதாவது அதை ஆர்ய-ஷடாஸ் -அஷ்டா{/0} என்றும் கூறுவர், இல, ஆர்யபட்டாவின் 108, அவை உரையில் உள்ள கவிதை வரிகளை குறிக்கும். அது மிகவும் சொற்செறிவு நிறைந்த சூத்ரா இலக்கிய நடையில் எழுதியது, அதன் ஒவ்வொரு வரியும் ஒரு சிக்கலான முறையை எளிதில் மனப் பாடம் செய்யும் வகையில் அமைந்துள்ளது. அதனால், அதன் உட்பொருளை விளக்கம் செய்தது தொடர் விளக்க உரையாளர்களே. அதன் முழு உரையும் 108 கவிதை வரிகளைக் கொண்டுள்ளது மேலும் கூடுதலாக அறிமுகவுரையாக 13 வரிகளும், இவை அனைத்தும் நான்கு பதங்கள் அல்லது அத்தியாயங்கள் கொண்டதாகும்.

கிடிகபதம் : (13 கவிதை வரிகள்) பெரிய அளவில் காலத்தைக் குறிப்பவை - கல்ப, மன்வந்தர, யுகா, இவை யாவும் ஒரு தற்கால அண்டவியலை அறிமுகப்படுத்துகிறது அது அதற்கு முன்னர் எழுதிய உரைகளான லகாதாவின் வேதாங்க ஜ்யோதிசத்தை வேறுபடுத்தி உள்ளது. (சி ஏ . முதல் நூற்றாண்டு கி.மு). இதில் சைன் கோணங்களின் (ஜ்யா), அட்டவணை ஒரே வரியில் அடங்கி உள்ளது. ஒரு மகாயுகத்தில், ஏற்படக்கூடிய கிரகங்களைச் சார்ந்த சுழற்சிகளுக்கு 4.32 மில்லியன் ஆண்டுகள் என்று வரையறுக்கப் பெற்றது.

கணிதபதம் (33 கவிதை வரிகள்), அளவை இயலைச் சார்ந்தது (க்ஷேத்திர வ்யவஹாரா), எண்கணிதம் மற்றும் கேத்திரகணிதத்துக்குரிய விருத்தி, க்னோமொன் / நிழல்கள் (ஷங்கு -சாயா ), எளிதான , இருபடிச் சமன்பாடு (இருபடிய), ஒருங்கமைச் சமன்பாடுகள் (ஒருங்கமை) மற்றும் டையோபாண்டைனின் சமன்பாடுகள் (தேறப்பெறாத சமன்பாடுகள் (குட்டக)

காலக்ரியப்பதம் (25 வரிகள்): காலத்தின் வெவ்வேறு அளவுகோல்கள் தொகுதி அலகு போன்ற பிரிவுகள் மற்றும் கிரகங்களின் இருப்பிட நிலைகளை ஒரு குறிப்பிட்ட நாள் அன்று அறிந்து கொள்ளும் விதம். இடைப்படு மாதங்களை கணித்தலுக்கான (அதிகமாக ), க்ஷய-திதி முறைகள். ஏழு நாட்கள் கொண்ட வாரத்தையும், வாரத்தின் பெயர்களையும் விவரிக்கிறது.

கோலபதம் (50 வரிகள் ): வானக் கோளத்தின் கேத்திரகணித /திரிகோணகணித பாங்குகள், ஞாயிற்றின் தோற்றப்பாதை (நீள்வட்டம்) , வானநடுவரை, கணு, புவியின் ஆகாரம், பகல் மற்றும் இரவுகளுக்கான காரணங்கள், இராசியின் அடையாளங்களை கீழ்வானத்தில் எழுதல் போன்றவை மற்றும் அவற்றின் சிறப்புக்கூறுகள். கூடுதலாக, சில பதிப்புகளின் கடைசியில் சில கோலோபோன் (அச்சகம்) (பிற இணைப்புகளைச்) சேர்த்துள்ளனர், அவை படைப்பின் குணாதிசயங்களை மெச்சுபவையாக இருக்கும்.

ஆர்யபட்டீயா கணிதவியல் மற்றும் வானவியலில் பல புதுமைகளை கவிதை நயத்துடன் புகுத்தியது, அவை பல நூற்றாண்டுகளாக பயனுள்ளதாக செல்வாக்குடன் அமைந்துள்ளன. மிக சுருக்கமாக இருக்கும் இந்த உரையினை அவரது சீடரான பாஸ்கரா I தனது தொடர்விளக்க விளக்க உரையாடல்களிலும்,(பாஷயா, பா. 600) மேலும் நீலகந்த சோமையாஜி தனது உரையான ஆர்யபட்டீய பாஷ்யாவிலும், விவரமாக எடுத்து உரைத்துள்ளனர்.(1465).

கணிதம்

இடப்பெறுமான முறை மற்றும் சூன்யம்.

எண்கள் சார்ந்த இடப்பெறுமான முறை, முதன் முதலாக மூன்றாம் நூற்றாண்டின் பக்ஷலி கையெழுத்துப்படியில் எழுதியது, அவருடைய பணியில் தெளிவாக படுத்தினார்.^[5]; அவர் அதற்கான குறியீடுகளைப் பயன் படுத்தவில்லை என்றாலும், ஆனால் பிரான்ஸ் நாட்டு கணிதயியலாளர் ஆன ஜியோர்ஜாஸ் ஈப்ராஹ் ஆர்யபட்டாவின் படைப்பில் சூன்யத்தை பற்றியதான அறிவாற்றல் உள்ளடக்கமாக காணப் படுவதாகவும், அதை இடப் பெறுமான முறையில் இதை பத்து என்ற எண்ணின் அதிக மதிப்பீடுகளாக சக்தியாக கொண்டு அதற்கான குணகம் சூன்யமாகவும் கருதப்பட்டிருந்தது அதன் படியாகும் என்று விளக்கி உள்ளார்.^[6]

எனினும், ஆர்யபட்டா பிராஹ்மி எண்களைப் பயன்படுத்தவில்லை; வேதிக சமயத்தில் இருந்து , நிலவிய சமஸ்க்ரி்த பாரம்பரிய முறையில், அட்சரங்களைப் பயன்படுத்தினார், மற்றும் அளவுகளைப் பெறுவதற்கு (சைன் அட்டவணைகளைப் போல) நினைவுக்குறியீட்டு வடிவங்களைப் பயன்படுத்தினார்.^[7].

பை என்பது ஒரு விகிதமுறா எண்

ஆர்யபட்டா பை $\pi$ என்ற எழுத்தினை தோராயமாக மதிப்பிட்டார், மேலும் பை $\pi$ என்பது ஒரு விகிதமுறா எண் என்ற முடிவிற்கு வந்தார். ஆர்யபட்டீயம் (gaṇitapāda 10) இரண்டாம் பாகத்தில், அவர் எழுதுகிறார் :

chaturadhikam śatamaśṭaguṇam dvāśaśṭistathā sahasrāṇām
' Ayutadvayaviśkambhasyāsanno vrîttapariṇahaḥ.
'' "நூறோடு நாலைக் கூட்டு , அதை எட்டால் பெருக்கு மேலும் பிறகு 62,000 த்தை அதனுடன் கூட்டு. இந்த விதி முறையில் 20000 விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கண்டறியலாம்."

இது என்ன சொல்கிறது என்றால், ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் அதன் விட்டத்தின் விகிதாச்சாரம் ((4+100)×8+62000)/20000 = 3.1416, இந்த விடை ஆனது ஐந்து பொருளுடைய இலக்கங்களுக்கு துல்லியமாக பொருந்தும்.

ஆர்யபட்டா ஆசன்ன (நெருங்குகிறது) என்ற வார்த்தையை பயன் படுத்தினார், அது கடைசி வார்த்தைக்கு முன்னால் இடம் பெற்றிருக்கும், அதன் மூலம் இது தோராயமானதாகவும், ஆனால் அதன் மதிப்பு அளவுக்கிணங்காததும் ஆகும் (அல்லது விகிதமுறாத எண்). இது சரியானால் , அது மிகவும் மதிநுட்பமிகு உளநிலையைக் காட்டுகிறது, ஏன் என்றால் யூரோப்பில் பை என்ற எண்ணின் அளவுக்கிணங்கா தன்மையை 1761 ஆண்டில் தான் ஜோதன்ன் ஹென்றிச் லம்பேர்ட் (லம்பேர்ட்)) என்பவர் கண்டறிந்தார்.^[8].

ஆர்யபட்டீயா அரபு மொழி பெயர்பிற்குப் பிறகு (சிஏ. 820 கி.பி.) இந்த தோராயத்தை பற்றி அல்-க்வாரிழ்மி யின் அட்சரக்கணிதம் புத்தகத்தில் குறிப்பிட்டு உள்ளது.^[1].

அளவியல் மற்றும் கோணவியல்

கணிதபதம் 6 -ல் , ஆர்யபட்டா ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை இவ்வாறு அளக்கிறார்

த்ரிபுஜாச்ய பலஷரிரம் சமதளகோடி புஜர்தசம்வர்க

அதன் பொருளானது : ஒரு முக்கோணத்திற்கு, அதன் செங்குத்துடன் அரைப் பக்கத்தை பெருக்கினால் அதன் பரப்பளவு கிட்டும்.^[9]

ஆர்யபட்டா சைன் என்ற கருத்துப்படிவத்தை தனது படைப்பான அர்த-ஜ்யவில் விளக்கி இருக்கிறார். நேர்ச்சரியாக, அது "பாதி-நாண்" என்ற பொருள் படும். எளிதாக இருப்பதற்கு , மக்கள் அதை ' ஜ்யா' என்று கூற தொடங்கினர். அரபிக் எழுத்தாளர்கள் அவருடைய படைப்புகளை சம்ச்க்ரி்தத்தில் இருந்து அரபு மொழி பெயர்த்த போது, அவர்கள் அதை ஜிபா என்றழைத்தனர் (ஒலிப்புமுறையில் ஒப்புமை கொண்டதால்). எனினும், அரபு மொழி எழுத்துக்களில், உயிரெழுத்துக்கள் மருவியதால் அது ஜப் என்று சுருங்கியது. பிறகு வந்த எழுத்தாளர்கள் ஜப் என்பது ஜிபா என்ற சொல்லின் சுருக்கம் என்று அறிந்து கொண்டு, அதை ஜியாப், என்று திரும்ப பதிலிடுத்தார்கள், அதன் பொருளானது "சிறுகுடா" அல்லது "விரிகுடா" ஆகும் (அரபு மொழி, வெறும் நுட்பச்சொல்லாக அது இருக்கிறது, ஜிபா என்பது ஒரு பொருளும் இல்லாத சொல்லாகும்). பிறகு 12 ஆம் நூற்றாண்டில், க்றேமொனா நகரத்து க்தேரர்டோ இப்பகுப்புகளை அரபு மொழியிலிருந்து லத்தீன் மொழிக்கு மொழி பெயர்த்த போது, அவர் அரபு மொழி சொல்லான ஜியாப் பை அதன் எதிப்பிரதி லத்தீன் சொல்லான, சைனஸ் என்ற சொல்லை மாற்றி புகுத்தினார். (அதன் பொருளும் "சிறு குடா" அல்லது "விரிகுடா"வை குறிப்பதாகும்). அதற்கு பிறகு,சைனஸ் என்பது "சைன் ஆக ஆங்கிலத்தில் மாறி அமைந்தது.^[10]

தேறப்பெறாத சமன்பாடுகள்

பண்டைய காலத்தில் இருந்தே இந்திய கணிதயியலாளர்களுக்கு அதிக ஆர்வத்தைத் தூண்டியது ax + b =cy போன்ற சம்னபாடுகளுக்கு விடைகளைக் கண்டுபிடிப்பது ஆகும், இதனை டையோபாண்டைனின் சமன்பாடுகள் என்று கூறுவர்.

இதோ ஒரு எடுத்துக்காட்டு பாஸ்கராவின் ஆர்யபட்டீயவைப் பற்றிக் கூறிய விளக்க உரை :

எட்டால் வகுத்தால் மீதி 5 வரக்கூடியதும்; ஒன்பதால் வகுத்தால் 4 வரக்கூடியதும்; மற்றும் ஏழால் வகுத்தால் மீதி 1 வரக்கூடியதுமான எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பது.

அதாவது N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1 என்று வரும் எண்ணைக் கண்டு பிடி. N என்ற பதத்திற்கு மிகக் குறைவான மதிப்பீடு 85 ஆகும். பொதுவாக, டையோபாண்டைனின் சமன்பாடுகள் கடினமானதாகக் காணப்படும். இது போன்ற சமன்பாடுகள் பண்டைய வேதிக் இலக்கிய உரையான சுலப சூத்திரங்களில் விரிவாக உரைக்கப்பெற்றது, மிகவும் பழைமையான பாகங்கள் கிமு 800 ஆண்டுகளாக இருக்கலாம்.

இதற்கு விடை காணும் ஆர்யபட்டாவின் முறையானது kuṭṭaka (कुट्टक) குட்டக் முறை என்று அழைக்கப்பெற்றது. குட்டக் என்றால் பொடியாக்குவது, அதாவது சிறு துண்டுகளாக அதை உடைப்பது மேலும் அதற்கான அசல் காரணிகளை எழுதுவதற்கு ஒரு மீள்சுருள் நெறி முறை தேவைப்பட்டது. இன்று இந்த மீள்சுருள் நெறிமுறை, பாஸ்கர கிபி 621 ஆம் ஆண்டில் காண்பித்தது போல முதல்வரிசை டையோபாண்டைனின் சமன்பாடுகளின் விடையைக் கண்டுபிடிக்க உதவும் நியம முறையாகும், மேலும் இதனை ஆர்யபட்டா நெறிமுறை (ஆர்யபட்டா அல்கோரிதம்) என்று அழைக்கிறார்கள்.^[11] டையோபாண்டைனின் சமன்பாடு கிர்ப்டோலோஜி, இரகசிய தகவல் பரிமாற்றம், ரகசியமாக வைத்தல் தொழிலுக்கு பயன்பாடுள்ளதாகும், மேலும் 2006 ஆர் எஸ் ஏ மாநாடு கூட்டத்தில் குட்டக முறை மற்றும் பண்டைய முறைகள் சுலப சூத்திரங்கள் பரிசீலிக்கப்பட்டன.

அட்ச்சர கணிதம்

ஆர்யபட்டீய வில் ஆர்யபட்டா சதுர மற்றும் கனசதுர தொடர் கணிதம் சார்ந்த தொடருக்கான கூட்டு விடையை மிக நளினமாக வடிவமைத்தார்: }^[12]

1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}

மற்றும்

1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}

வானியல்

ஆர்யபட்டாவின் வானியல் முறையானது அவுதயகா முறை என்று அழைக்கப்பெற்றது. (நாட்களின் கணக்கெடுப்பானது காலை உதயம், லங்காவில், நிலநடுக்கோட்டில் விடியல் ஏற்படும் போது). அவர் வானவியல் பற்றி பின்னர் எழுதிய நூல்கள், அவர் இரண்டாவது ஒரு மாதிரியை முன்மொழிந்தார், அந்த மாதிரியான (அர்த-ராத்ரிக, நள்ளிரவு சார்ந்த), தொலைந்து விட்டது, ஆனால் அவற்றில் சில பாகங்களைப் பிராமகுப்தாவின் காந்தகாட்யகா வை பற்றிய கலந்துரையாடல் மூலம் திரும்பவும் புனரமைக்கலாம். சில பதிவேடுகளில் அவர் வானுலக நகர்வினைப் புவியின் சுழற்சியின் காரணமாக ஏற்படுவதாக குறித்துக் காட்டுகிறார்.மேலும் இவர் கோள்களின் சுற்றுப்பாதையை நீள்வட்ட வடிவம் என்று கணித்தார்

சூரிய மண்டல இயக்கம்.

ஆர்யபட்டா புவி தன் அச்சினை ஒட்டி சுழன்று வருவதாக நம்பினார். இதனை ஒரு கருத்தை வெளியிடும் பொழுது காணலாம், லங்காவை குறிப்பிடும் போது, நட்சத்திரங்களின் நகற்சியை புவி சுழற்சியால் ஏற்படும் சார்பு இயக்கம் என்று விவரித்துள்ளார்:

ஒரு மனிதன் தனது படகில் முன்னோக்கி செல்லும் போது, அவனைச் சுற்றி இருக்கும் அசையாத பொருட்கள் பின் நோக்கி நகருவதைப் போல தோற்றம் அளிக்கும், அதைப் போலவே அசையாமல் இருக்கும் நட்சத்திரங்கள் லங்காவில் இருந்து பார்க்கும் போது, (அதாவது பூ மத்திய ரேகை) நுண்மையான மேற்கு நோக்கி செல்வது போல காட்சி அளிக்கும். [அச்சலாணி பாணி சமபஷ்சிமகாணி - கோலபதம்.9]'

ஆனால் அதற்குப் பின் வரும் வரிகள் நட்சத்திரங்கள் மற்றும் கிரகங்களின் உண்மையான, நகர்ச்சியைப் பற்றி விவரிக்கிறது: “அவை எழுவதற்கும் மறைவதற்கும் ஆன காரணம் அவற்றின் கதிர்வம் அடங்கிய வட்டமானது மேலும் அதனுடன் கிரகங்களின் சலனம், திசையன் சார்பான காற்றால் இயக்கப் படுவதால், லங்காவில் தொடர்ந்து மேற்கு நோக்கி நகர்ந்து கொண்டே இருக்கும்”.

லங்கா (இல. ஸ்ரீ லங்கா) ஆனது இங்கே பூ மத்திய ரேகையில் உள்ள ஒரு அடையாள புள்ளி ஆகும், அதனை அடையாள உச்ச நெடுங்கோடுக்கு சமமாக வானியல் கணிப்புகளுக்காக எடுத்துக் கொண்டதாகும்.

ஆர்யபட்டா சூரிய மண்டலத்தின் புவிமையத் தோற்றம் கொண்ட மாதிரியை விளக்கி உள்ளார். அதில் சூரியன் மற்றும் சந்திரன் இரண்டுமே மேல்வட்டம், நீள்வட்டங்களில் தாங்கி செல்லப்படுகிறது, மேலும் அவை முறைப்படி வரும் போது புவியைச் சுற்றி வருகிறது. இந்த மாதிரியில், இது பைதாமகாசித்தாந்தாவிலும் (சி ஏ. கிபி 425), கிரகங்களின் நகர்ச்சி ஒவ்வொன்றும் இரு நீள்வட்டங்களால் முறைப் படுகிறது, ஒரு சின்ன மந்த (மெல்ல செல்லும்) நீள்வட்டம் மற்றும் ஒரு சீக்ர (விரைவான) நீள்வட்டம்.^[13] புவியில் இருந்து கிரகங்களுக்கான தூரத்தை வைத்து கிரகங்களை வரிசைப் படுத்தினால், அவை: சந்திரன், புதன், வெள்ளி, சூரியன், செவ்வாய்., வியாழன் , சனி மற்றும் கதிர்வங்கள் ^[1].

கிரகங்களின் இடம் மற்றும் காலம் ஒரே சீராக நகரும் ஒப்புடன் நோக்கத்தக்க புள்ளியுடன் கணிக்கப்பெற்றது, அவை புதன் மற்றும் வெள்ளியைப் பொறுத்தவரை, சூரியனின் சராசரி வேகத்தைப் போல புவியை சுற்றி வருவதாகவும் செவ்வாய், வியாழன் மற்றும் சனி அவை குறிப்பிட்ட வேகத்தில் புவியைச் சுற்றி வருகின்றன, ஒவ்வொரு கிரகமும் தனிப்பிரதியாக வான வீதியில் சலித்துக் கொண்டே இருக்கின்றன. வானியல் சார்ந்த மிக்க வரலாற்றாசிரியர்கள் இந்த இரு நீள்வட்ட மாதிரியினை ப்டோளேமிக்கு முன் ஆன கிரேக்க வானியலாக கருதுகின்றனர்..^[14] ஆர்யபட்டாவின் இன்னொரு மாதிரியில், அதாவது சீக்த்ரோக்கா, சூரியனுடன் ஒத்த அதன் அடிப்படை காலமானது, சில வரலாற்றாசிரியர்களால் ஞாயிற்றுமையமான மாதிரியாக காணலாம்.^[15]

கிரகணங்கள்.

சந்திரன் மற்றும் கிரகங்கள் சூரிய ஒளியை பிரதிபலிக்கும் போது மின்னுகிறதாக அவர் சொல்கிறார். அண்டப் பிறப்பியலில் கிரகணங்களைப் பற்றி நிலவி வந்த போலி ராகு கேது கிரகங்களால் கிரகணம் ஏற்படுகிறது என்ற நிலைக்கு பதிலாக, அவர் கிரகணங்கள் புவியாலும், புவியின் மேலும் விழும் நிழல்களால் ஏற்படுவதாக விளக்குகிறார். அப்படியாக சந்திர கிரகணம் சந்திரன் பூமியின் நிழலில் வரும் பொழுது ஏற்படுகிறது (வரி கோல.37), மேலும் பூமியின் நிழலின் அளவு மற்றும் அதன் ஆதிக்கத்தில் வரும் பரப்பளவு ஆகியவற்றைப் பற்றி விரிவாக விவரிக்கிறார். (வரிகள் கோல 38-48), மேலும் அதற்கான கணிப்பு மற்றும் கிரகணத்தில் அடங்கிய பாகத்தின் அளவையும் தெரிவிக்கிறார். அவருக்குப் பின் வந்த இந்திய விஞ்ஞானிகள் இந்த கணிப்பு முறையை மேலும் மேம்பாடு செய்தனர், ஆனால் அவருடைய முறைகளே அதன் கருவாக திகழ்கிறது. இந்த கணிப்புக்கான மேற்கோள் சூத்திரம் மிகவும் துல்லியமாக இருந்தது, மேலும் 18 ஆம் நூற்றாண்டின் விஞ்ஞானியான குயில்லாமே லே ஜென்டில், பாண்டிச்சேரிக்கு வந்த பொது, 1765-08-30 அன்று நடந்த சந்திர கிரகணத்தின் கால அளவு, இந்திய கணிப்பு முறைப்படி சோதித்துப் பார்த்த போது 41 நொடிகள் குறைவாகவும், அவருடைய அட்டவணை முறைப்படி (அறிவியல் அறிஞர்|டோபியாஸ் மேயர், 1752) பார்க்கையில் 68 நொடிகள் அதிகமாகவும் ஆக கண்டது.^[1].

ஆர்யபட்டாவின் கணிப்பின் படி புவியின் பரி்தி் அல்லது வட்டத்தின் சுற்றளவு, பரிதி|சுற்றளவு 39,968.0582 கிலோ மீட்டர்கள் ஆக கணக்கிட்டது, இது உண்மையான நீளமான 40,075.0167 கிலோ மீட்டர்களை விட 0.2% விழுக்காடு மட்டுமே குறைவாக இருந்தது. இந்த கணிப்பின் தோராயமானது குறிப்பிடத்தக்க மேம்பாட்டுடன் கூடியது, ஏன் என்றால் அதற்கு முந்தைய கிரேக்க கணிதயியலாளர் ஆன, ஏரதொஸ்தெநெஸ் (சி. 200 கி.மு.), அவருடைய கணிப்பில் நவீன அளவுகொல்களின் அலகு பயன் படுத்தப் படவில்லை ஆனால் அவருடைய மதிப்பீடு 5-10% வரை பிழை உள்ளதாக இருந்தது.^[16]^[17]

மீன்வழிக் காலவட்டம்

நூதன ஆங்கில நேரத்தின் அலகுகளைக் கொண்டு கணக்கிட்டுப் பார்த்தால், ஆர்யபட்டாவின் மீன்வழி் சுழற்சிக்கான கணிப்பு (நட்சத்திரங்களின் இடத்தை பொருத்தியதாக கொண்டு புவியின் சுழற்சியை கணக்கிடுதல்) 23 மணிகள் 56 நிமிடங்கள் மற்றும் 4.1 நொடிகள் ஆக இருந்தது; தற்போதைய நவீன பெறுமதி ஆனது 23:56:4.091. அதே போல், மின்வழி ஆண்டு (மீன்வழி் வருடத்திற்கான) அவருடைய மதிப்பீடு 365 நாட்கள் 6 மணிகள் 12 நிமிடங்கள் 30 நொடிகள், அதில் உள்ள பிழையானது ஆண்டொன்றிற்கு 3 நிமிடங்கள் 20 நொடிகள் மட்டுமே. மீன்வழிக் காலவட்டத்தைப் பற்றி மிக்கவாறும் அன்றைய அனைத்து இதர வானியல் முறைகளிலும் தெரிந்தே இருந்தது, ஆனால் அந்த கால கட்டத்தில் அவருடைய கணிப்பே மிகவும் துல்லியமாக இருந்தது.

ஞாயிற்றுமை மையம்

ஆர்யபட்டா புவி தனது அச்சினை மையமாக கொண்டு சுழன்று கொண்டிருப்பதாகவும், மேலும் அவருடைய கிரகங்களின் மேல்வட்டங்களுடன் கூடிய மாதிரி் தனிமங்கள்,அதே வேகத்தில் சூரியனை சுற்றி வருகிறது என்றும் உரிமைப் படுத்தியுள்ளார். அதனால் ஆர்யபட்டாவின் கணிப்புகள் அவருடைய ஞாயிற்றுமை மையம் கொண்ட மாதிரியின் அடிப்படையில் கிரகங்கள் சூரியனை மையமாக கொண்டு சுற்றி வருவதை கருத்தில் கொண்டு இயக்கியதாக இருக்கலாம்.^[18]^[19] இந்த ஞாயிற்றுமை மைய மொழி பெயர்ப்புக்கு எதிர்ப்புரைத் தெரிவித்து வெளி வந்த ஒரு விமர்சனம் பி. எல்.வான் தேர் வேர்டேன் அவர்களின் புத்தகம் "இந்தியாவின் கிரகங்கள் கோட்பாட்டினை முழுதும் தவறாக புரிந்து கொண்டு, [அது] ஆர்யபட்டாவின் விளக்கங்களின் ஒவ்வொரு வரியையும் சுவையற்ற மறுப்புகளை தெரிவிக்கிறது,"^[20] இருந்தாலும் சிலர் ஆர்யபட்டாவின் முறை அதற்கு முன்னதாக தெரியப்படாத ஒருவரின் ஞாயிற்றுமை மைய முறையைச் சார்ந்திருக்கலாம் என்று ஏற்றுக் கொண்டும் இருக்கிறார்கள்.^[21] அவர் கிரகங்களின் பாதை நீள்வட்டத்துக்கு உரியதாக ஆராய்ந்து இருக்கலாம், இதற்கான முக்கிய ஆதாரங்கள் எதுவும் குறிப்பிடப் படவில்லை.^[22]சமோஸ் நாட்டின் அரிஸ்டர்சுஸ் (கி.மு 3 ஆம் நூற்றாண்டு ) மேலும் பொண்ட்ச நகரத்து ஹெரச்ளிதேஸ் (4 ஆம் நூற்றாண்டு கி.மு.) இருவரும் ஞாயிற்றுமை மைய தத்துவத்தினை அறிந்து செயல்பட்டதாக கூறினாலும், பண்டைய இந்திய நாட்டில் அறிந்த கிரேக்க வானியல் ஆன பாலிச சித்தாந்த தில் (அலேக்சாந்திரியாவின் பால் என்பவராக இருந்து இருக்கலாம்) ஞாயிற்றுமை மைய தத்துவத்தைக் குறிப்பிடவில்லை.

மரபுரிமைப் பேறு

இந்திய மரபு சார்ந்த ஆர்யபட்டாவின் படைப்புகள் மிகவும் செல்வாக்குடையது, மேலும் அவை மொழிபயர்ப்புகள் மூலம் பல அண்டை நாடுகளின் கலாசாரத்தைப் பிரதீபலித்தது. இஸ்லாமிய பொற்காலத்தில் இதன் அரபு மொழி மொழி பெயர்ப்பு (ப. 820), மிகவும் செல்வாக்குடன் கூடியது. அவர் படைப்புகளால் ஏற்பட்ட விளைவுகளைப் பற்றி அல்- க்வரிழ்மி மேற்கோள் காட்டி உள்ளார், மேலும் அவரைப் பற்றி பத்தாம் நூற்றாண்டின் அரபு அறிஞர் ஆன அல்-பிருனி கூறி உள்ளார், ஆர்யபட்டாவின் சீடர்கள் புவியானது அதன் அச்சை மையமாக கொண்டு சுற்றிக் கொண்டிருக்கிறது என்று நம்பி வந்தனர்.

அவர் சைன்(ஜ்ய) மற்றும் கோசைன் (கோஜ்ய), வெர்சைன் (உக்ரமஜ்ய) மற்றும் தலை கீழான சைன் (ஒட்க்ரம் ஜய), போன்ற வைகளை வரையறுத்தார், மேலும் அவற்றின் அடிப்படையில் கோணவியல் கணிதம் பிறந்தது. அவர் தான் முதன் முதலாக சைன் மற்றும் வெர்சைன் (1 - கோஸ் எக்ஸ்) அட்டவணைகளை, சுட்டிக் குறிப்பிடு செய்தவர்; 0°இருந்து 90° வரை, 3.75° இடை வேளைகளைக் கொண்டு, நான்கு பதின்பகுப்பு வரை மிகச்சரியாக குறித்து வைத்தார்.

நிஜம் என்ன என்றால், புதிதாக சூட்டிய பெயர்களான "சைன் " மற்றும் "கோசைன் ", ஆர்யபட்டா அறிமுகப்படுத்திய சொற்களான ஜ்ய மற்றும் கொஜ்யவுடன் சற்றும் பொருந்தவில்லை. அவற்றை ஜிபா மற்றும் கொஜிபா என்று அரபு மொழி மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு இருந்தது. அவற்றை கிரேமோன நாட்டு கேரர்து என்பவர் அரபு வடிவவியல் உரையை லத்தீன் மொழிக்கு மொழிபெயர்த்த போது; அவர் ஜிபா என்ற சொல்லை அரபு சொல்லான ஜைப் எனத் தவறாகப் புரிந்துகொண்டார், அதன் அர்த்தம் "துணியில் ஒரு மடிப்பு" என்பதாகும், ல.சினுஸ் (சி .1150)^[23].

ஆர்யபட்டாவின் வானவியல் கணித முறைகளும் மிகவும் செல்வாக்கு பெற்றவை ஆகும். கோணவியல் பட்டியல்கள்களுடன், இஸ்லாமியர் உலகமும் இவற்றை பரவலாக பயன்படுத்தி வந்தனர்,மேலும் அவற்றை (ஜிஜ் எனப்படும்) பல அரபு மொழி வானியல் அட்டவணைகளில் பயன் படுத்தினர். குறிப்பாக, அல்-அண்டளுஸ் (ஸ்பெயின் நாட்டு அரபு) விஞ்ஞானி அல்- சர்கலி (11 ஆம் நூற்றாண்டு), தனது பணிகளில் பயன்படுத்திய வானியல் அட்டவணைகள் லத்தீன் மொழியில் டோலேடோவின் அட்டவணைகளாக மொழி பெயர்க்கப் பட்டன (12 ஆம் நூற்றாண்டு), மற்றும் அவை பிரித்தானியர்களால் பல நூற்றாண்டுகளுக்கு பயன்படுத்தப்பட்ட மிகவும் துல்லியமான இடை வெளிக்கால அட்டவணைகளாக அமைந்தது.

ஆர்யபட்டா மற்றும் அவர் சீடர்கள் பயன்படுத்திய நாள்காட்டி கணிப்புகளை இந்தியாவில் தொடர்சியாக பஞ்சாங்கம் கணிப்பதற்காக , அதாவது ஹிந்துக்களின் நாள்காட்டி அல்லது காலண்டர் பயன்படுத்தி வந்தனர். இவை இஸ்லாமிய உலகத்தினரும் பயன்படுத்தினர் மற்றும் இதை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஜலாலி நாள்காட்டியை, 1073 ஆண்டில் ஒமர் கய்யாம் ^[24] மற்றும் பலர் அடங்கிய வானியல் வல்லுனர்கள் அறிமுகப்படுத்தினர், இவற்றின் பதிப்புகளை (1925 ஆம் ஆண்டில் சிறு திருத்தங்கள் செய்தது) அடிப்படையாகக் கொண்ட தேசீய நாட்காட்டிகள் இன்றும் ஈரான் மற்றும் ஆப்கானிஸ்தான் போன்ற நாடுகளில் பயன்பட்டு வருகின்றன. ஜலாலி நாட்காட்டி ஆனது ஆர்யபட்டா உரைந்த முறையைப் போலவே(மற்றும் முந்திய சித்தாந்த முறை நாட்காட்டிகளைப் போல) சூரியனின் நிஜமான இடைவழியைப் பொறுத்தே தேதிகளை முடிவு செய்கிறது. இது போன்ற நாட்குறிப்புகளுக்கு இடைவெளிக் காலம் தேதிகளைக் கணக்கிடுவதற்காக தேவைப்படுகிறது. தேதிகளைக் கணிப்பது கொஞ்சம் கடினமாக இருந்தாலும், கிரெகோரியன் நாட்க்காட்டி முறையை விட ஜலாலி நாட்காட்டி முறையில் பருவ மாற்றங்களால் ஏற்பட்ட தவறுகள் குறைவாகக் காணப்படுகின்றன.

இந்தியாவின் முதல் செயற்கைக்கோள் அவர் பெயரில் ஆர்யபட்டா என அழைக்கப்பட்டது. சந்திரனில் காணப்படும் ஒரு கிண்னக்குழி அவரை கௌரவிக்கும் முறையில் ஆர்யபட்டா என்று பெயரிடப்பட்டது. வானியல், வான்பௌதிகவியல் மற்றும் வளிமண்டலத்திற்குரிய அறிவியல் ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொள்வதற்காக, ஒரு நிறுவனம் இந்தியாவில் நைனிதால் அருகே ஆர்யபட்டா ரிசெர்ச் இன்ஸ்டிடுட் ஒப் ஒப்செர்வேஷனல் சைன்செஸ் (ஏ அற ஐ ஈ எஸ் ) நிறுவப் பட்டுள்ளது.

பள்ளிக் கூடங்களுக்கை இடையே ஆன ஆர்யபட்டா கணிதப் போட்டி அவர் பெயரில் நடத்தப் படுகிறது.^[25] பசில்லுஸ் ஆர்யபட்டா, என்ற பெயரில் ஐ எஸ் ஆர் ஒ நிறுவன விஞானிகள் 2009 ஆம் ஆண்டில் கண்டு பிடித்த பாக்டீரியாக்களுக்கு (நுண்ணுயிரிகள்) பெயர் வைத்துள்ளனர்.^[26]

கூடுதல் பார்வைக்கு

Āryabhaṭa numeration
ஆர்யபட்டீய

இவற்றையும் பார்க்கவும்

ஆரியபட்டா (செய்மதி)

குறிப்புகள்

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 Ansari, S. M. R. (March 1977). "Aryabhata I, His Life and His Contributions". Bulletin of the Astronomical Society of India 5 (1): 10–18. http://hdl.handle.net/2248/502. பார்த்த நாள்: 2007-07-21.
↑ அர்யபாடா பிறந்த இடத்தை உறுதி செய்யும் உய்ய நிலை அத்தாட்சி, கர்ரெண்ட் சைன்ஸ் வோல் .93, 8, 25 ஒக்ட் 2007
↑ அர்யபாடா இழைத்த தவறு–அவர் பார்வையிட்ட இடத்தைப் பற்றிய தகவல், கர்ரெண்ட் சைன்ஸ் வோல் .93, 12, 25 Dec 2007, பி பி. 1870-73.
↑ Roger Cooke (1997). "The Mathematics of the Hindus". பக். 204. "Aryabhata himself (one of at least two mathematicians bearing that name) lived in the late fifth and the early sixth centuries at Kusumapura (Pataliutra, a village near the city of Patna) and wrote a book called Aryabhatiya."
↑ பி.இசட். இங்கேர்மான் , 'பாணினி -பாக்காச படிவம் ', ஏ சி எம்முடன் ஆன கருத்துப்பரிமாறல்கள் 10 (3)(1967), ப .137
↑ A universal history of numbers: From prehistory to the invention of the computer (1998). G Ifrah. John Wiley & Sons.
↑ வார்ப்புரு:Harvard reference
↑ Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks, (1994/1998). S. Balachandra Rao. Jnana Deep Publications,. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:81-7371-205-0.
↑ Roger Cooke (1997). "The Mathematics of the Hindus". History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0471180823. "Aryabhata gave the correct rule for the area of a triangle and an incorrect rule for the volume of a pyramid. (He claimed that the volume was half the height times the area of the base)."
↑ Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York.
↑ அமர்த்யா கே.தத்தா, டையோபாண்டைனின் சமன்பாடுகள் : குத்தாக , ரேசொனன்சே, அக்டோபர் 2002. மேலும் பாருங்கள் முந்தைய மேலோட்டம்: பண்டைய இந்தியாவில் கணித இயல்,.
↑ Carl Benjamin Boyer (1991). "The Mathematics of the Hindus". A History of Mathematics (Second ). John Wiley & Sons, Inc.. பக். 207. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0471543977. "He gave more elegant rules for the sum of the squares and cubes of an initial segment of the positive integers. The sixth part of the product of three quantities consisting of the number of terms, the number of terms plus one, and twice the number of terms plus one is the sum of the squares. The square of the sum of the series is the sum of the cubes."
↑ வார்ப்புரு:Harvard reference பி பி . 127-9.
↑ ஓட்டோ நியுகேபுஎர், "பண்டைய மற்றும் வரலாற்று இடைக்காலத்து வானியல் வல்லுனர்கள் இடையே இயற்பியல் கோள்விதிகள் பரிமாற்றம்," ச்ச்ரிப்ட மாதெமாடிக , 22(1956): 165-192; மறுபதிப்பு ஓட்டோ நியுகேபுஎர், வானியல் மற்றும் சரித்திரம்: தேர்ந்தெடுக்கப் பட்ட உரைகள், நியூ யார்க்: ச்ப்ரிங்கேர் -வெரலாக், 1983, பிபி. 129-156. ISBN 0-387-90844-7
↑ ஹ்க துர்ச்டன், முந்தைய வானியல், நியூ யார்க்: ச்ப்ரிங்கேர் -வெரலாக், 1996, பிபி. 178-189. ISBN 0-387-94822-8
↑ "ஜெ எஸ் சி என் ஈ எஸ் பள்ளிக் கூடம் எடுத்த நடவடிக்கை ", நாசா , 11 ஏப்ரல், 2006, திரும்பி பெற்றது 24 ஜனவரி , 2008.
↑ "உருண்ட புவி", நாசா , 12 டிசம்பர் , 2004, திரும்பி பெற்றது 24 ஜனவரி , 2008.
↑ இந்திய ஞாயிற்றுமைய கருத்துப் படிவத்தினை பி . எல் . வான் தேர் வேர்டேன் அவர்கள் முன்வைத்துள்ளார் ,தாஸ் ஹெலிஒழெந்த்ரிஸ்செ சிஸ்டம் இன் தேர் க்ரிஎசிச்சேன், பெர்சிச்சேன் உண்ட இங்டிச்சேன் ஆஸ்த்ரொநொமிஎ . ணதுர்பொர்ஸ்செந்டெந் கேசெல்ல்ச்ச்சபிட் இன் ழுறிச் . ழுறிச் :ஒம்மிஸ்ஸிஒந்ஸ்வெர்லக் லீமன் ஆக , 1970.
↑ பி. எல். வான் தேர் வேர்டேன், "கிரேக், பெர்சியன் மற்றும் ஹிந்து வானியல் சாஸ்த்திரத்தில் ஞாயிற்றுமைய முறை", டேவிட் எ. கிங் மற்றும் ஜார்ஜ் சலிப, ஆ ., விட்டுக் கொடுத்தலில் இருந்து சமநிலை முன்னேற்றம்:ஈ.எஸ். கென்னெடியை கௌரவம் செய்யும் வகையில் கிழ்க்கத்து பண்டைய மற்றும் வரலாற்று இடைக்காலத்து அறிவியலின் சரித்திரம் என்ற தலைப்பில் மேற்கொண்ட பாடங்களின் புத்தகதொகுப்பு , Annals of the நியூ யார்க் அகாடமி ஒப் சயின்ஸ் ஆண்டுக் குறிப்பு, 500 (1987), பி பி . 529-534.
↑ நோஎல் வெர்ட்லொவ் , " விமர்சனம் :இந்திய வானியலின் தொலைந்து போன நினைவுச்சின்னம்," இசிஸ், 64 (1973): 239-243.
↑ டென்னிஸ் ட்யுக், "இந்தியாவின் சமநிலை : பண்டைய இந்திய கோள மாதிரிகளுக்கான கணிதவியல் சார்ந்த ஆதாரம்." ஆர்க்கிவ் போர் ஹிச்டோரி ஒப் எக்சாக்ட் சைன்சஸ் 59 (2005): 563–576, ந . 4 http://people.scs.fsu.edu/~dduke/india8.pdf.
↑ ஜ. ஜ. ஒ 'கொன்னோர் மற்றும் ஈ.எப்.ரோபெர்த்சன், மூத்த ஆர்யபட்டா, மேக் டுடோர் ஹிச்டோரி ஒப் மதேமடிக்ஸ் ஆர்க்கிவ்:
"He believes that the Moon and planets shine by reflected sunlight, incredibly he believes that the orbits of the planets are ellipses."
↑ Douglas Harper (2001). "Online Etymology Dictionary". பார்க்கப்பட்ட நாள் 2007-07-14.
↑ "Omar Khayyam". The Columbia Encyclopedia, Sixth Edition.. (2001-05). அணுகப்பட்டது 2007-06-10.
↑ "Maths can be fun". The Hindu. 2006-02-03. http://www.hindu.com/yw/2006/02/03/stories/2006020304520600.htm. பார்த்த நாள்: 2007-07-06.
↑ டிஸ்கவரி ஒப் நியூ மைக்ரோ ஒர்கநிச்ம்ஸ் இன் தி ச்ற்றடோசபியர் . 16 மார்ச் 2009. இஸ்ரோ .

இதர குறிப்புகள்

Roger Cooke (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0471180823.
வால்டேர் ஐகேனே கிளார்க் , Āryabhaṭīya Āryabhaṭa, கணிதம் மற்றும் வானியல் சம்பந்தப் பட்ட ஒரு பண்டைய இந்தியனின் படைப்பு , சிகாகோ பல்கலைக் கழக அச்சகம் (1930); மறுபதிப்பு: கேச்சிங்கேர் பதிப்பகம் (2006), ஐ எஸ் பி என் 978-1425485993.
கக, சுபாஷ் சி . (இரண்டாயிரம்.)'இந்தியன் வானியலின் பிறப்பு மற்றும் முன்னதான மேம்பாடு '. இன் வார்ப்புரு:Harvard reference
சுக்லா , கிருபா ஷங்கர். ஆர்யபட்டா: இந்தியன் கணிதயியலாளர் மற்றும் வானியல் வல்லுநர். புது டெல்லி: இந்திய தேசீய அறிவியல் நிறுவனம், 1976.
வார்ப்புரு:Harvard reference

புற இணைப்புகள்

ஆர்யபட்டா மற்றும் டையோபாண்டச்சின் மகன் , ஹிந்துஸ்தான் டைம்ஸ் கதை சொல்லும் அறிவியல் பத்தி , நவ 2004

[Ansari-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 Ansari, S. M. R. (March 1977). "Aryabhata I, His Life and His Contributions". Bulletin of the Astronomical Society of India 5 (1): 10–18. http://hdl.handle.net/2248/502. பார்த்த நாள்: 2007-07-21.

[2] அர்யபாடா பிறந்த இடத்தை உறுதி செய்யும் உய்ய நிலை அத்தாட்சி, கர்ரெண்ட் சைன்ஸ் வோல் .93, 8, 25 ஒக்ட் 2007

[3] அர்யபாடா இழைத்த தவறு–அவர் பார்வையிட்ட இடத்தைப் பற்றிய தகவல், கர்ரெண்ட் சைன்ஸ் வோல் .93, 12, 25 Dec 2007, பி பி. 1870-73.

[4] Roger Cooke (1997). "The Mathematics of the Hindus". பக். 204. "Aryabhata himself (one of at least two mathematicians bearing that name) lived in the late fifth and the early sixth centuries at Kusumapura (Pataliutra, a village near the city of Patna) and wrote a book called Aryabhatiya."

[5] பி.இசட். இங்கேர்மான் , 'பாணினி -பாக்காச படிவம் ', ஏ சி எம்முடன் ஆன கருத்துப்பரிமாறல்கள் 10 (3)(1967), ப .137

[6] A universal history of numbers: From prehistory to the invention of the computer (1998). G Ifrah. John Wiley & Sons.

[7] வார்ப்புரு:Harvard reference

[8] Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks, (1994/1998). S. Balachandra Rao. Jnana Deep Publications,. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:81-7371-205-0.

[9] Roger Cooke (1997). "The Mathematics of the Hindus". History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0471180823. "Aryabhata gave the correct rule for the area of a triangle and an incorrect rule for the volume of a pyramid. (He claimed that the volume was half the height times the area of the base)."

[10] Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237). Saunders College Publishing House, New York.

[11] அமர்த்யா கே.தத்தா, டையோபாண்டைனின் சமன்பாடுகள் : குத்தாக , ரேசொனன்சே, அக்டோபர் 2002. மேலும் பாருங்கள் முந்தைய மேலோட்டம்: பண்டைய இந்தியாவில் கணித இயல்,.

[12] Carl Benjamin Boyer (1991). "The Mathematics of the Hindus". A History of Mathematics (Second ). John Wiley & Sons, Inc.. பக். 207. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0471543977. "He gave more elegant rules for the sum of the squares and cubes of an initial segment of the positive integers. The sixth part of the product of three quantities consisting of the number of terms, the number of terms plus one, and twice the number of terms plus one is the sum of the squares. The square of the sum of the series is the sum of the cubes."

[13] வார்ப்புரு:Harvard reference பி பி . 127-9.

[14] ஓட்டோ நியுகேபுஎர், "பண்டைய மற்றும் வரலாற்று இடைக்காலத்து வானியல் வல்லுனர்கள் இடையே இயற்பியல் கோள்விதிகள் பரிமாற்றம்," ச்ச்ரிப்ட மாதெமாடிக , 22(1956): 165-192; மறுபதிப்பு ஓட்டோ நியுகேபுஎர், வானியல் மற்றும் சரித்திரம்: தேர்ந்தெடுக்கப் பட்ட உரைகள், நியூ யார்க்: ச்ப்ரிங்கேர் -வெரலாக், 1983, பிபி. 129-156. ISBN 0-387-90844-7

[15] ஹ்க துர்ச்டன், முந்தைய வானியல், நியூ யார்க்: ச்ப்ரிங்கேர் -வெரலாக், 1996, பிபி. 178-189. ISBN 0-387-94822-8

[16] "ஜெ எஸ் சி என் ஈ எஸ் பள்ளிக் கூடம் எடுத்த நடவடிக்கை ", நாசா , 11 ஏப்ரல், 2006, திரும்பி பெற்றது 24 ஜனவரி , 2008.

[17] "உருண்ட புவி", நாசா , 12 டிசம்பர் , 2004, திரும்பி பெற்றது 24 ஜனவரி , 2008.

[18] இந்திய ஞாயிற்றுமைய கருத்துப் படிவத்தினை பி . எல் . வான் தேர் வேர்டேன் அவர்கள் முன்வைத்துள்ளார் ,தாஸ் ஹெலிஒழெந்த்ரிஸ்செ சிஸ்டம் இன் தேர் க்ரிஎசிச்சேன், பெர்சிச்சேன் உண்ட இங்டிச்சேன் ஆஸ்த்ரொநொமிஎ . ணதுர்பொர்ஸ்செந்டெந் கேசெல்ல்ச்ச்சபிட் இன் ழுறிச் . ழுறிச் :ஒம்மிஸ்ஸிஒந்ஸ்வெர்லக் லீமன் ஆக , 1970.

[19] பி. எல். வான் தேர் வேர்டேன், "கிரேக், பெர்சியன் மற்றும் ஹிந்து வானியல் சாஸ்த்திரத்தில் ஞாயிற்றுமைய முறை", டேவிட் எ. கிங் மற்றும் ஜார்ஜ் சலிப, ஆ ., விட்டுக் கொடுத்தலில் இருந்து சமநிலை முன்னேற்றம்:ஈ.எஸ். கென்னெடியை கௌரவம் செய்யும் வகையில் கிழ்க்கத்து பண்டைய மற்றும் வரலாற்று இடைக்காலத்து அறிவியலின் சரித்திரம் என்ற தலைப்பில் மேற்கொண்ட பாடங்களின் புத்தகதொகுப்பு , Annals of the நியூ யார்க் அகாடமி ஒப் சயின்ஸ் ஆண்டுக் குறிப்பு, 500 (1987), பி பி . 529-534.

[20] நோஎல் வெர்ட்லொவ் , " விமர்சனம் :இந்திய வானியலின் தொலைந்து போன நினைவுச்சின்னம்," இசிஸ், 64 (1973): 239-243.

[21] டென்னிஸ் ட்யுக், "இந்தியாவின் சமநிலை : பண்டைய இந்திய கோள மாதிரிகளுக்கான கணிதவியல் சார்ந்த ஆதாரம்." ஆர்க்கிவ் போர் ஹிச்டோரி ஒப் எக்சாக்ட் சைன்சஸ் 59 (2005): 563–576, ந . 4 http://people.scs.fsu.edu/~dduke/india8.pdf.

[22] ஜ. ஜ. ஒ 'கொன்னோர் மற்றும் ஈ.எப்.ரோபெர்த்சன், மூத்த ஆர்யபட்டா, மேக் டுடோர் ஹிச்டோரி ஒப் மதேமடிக்ஸ் ஆர்க்கிவ்:
"He believes that the Moon and planets shine by reflected sunlight, incredibly he believes that the orbits of the planets are ellipses."

[23] Douglas Harper (2001). "Online Etymology Dictionary". பார்க்கப்பட்ட நாள் 2007-07-14.

[24] "Omar Khayyam". The Columbia Encyclopedia, Sixth Edition.. (2001-05). அணுகப்பட்டது 2007-06-10.

[25] "Maths can be fun". The Hindu. 2006-02-03. http://www.hindu.com/yw/2006/02/03/stories/2006020304520600.htm. பார்த்த நாள்: 2007-07-06.

[26] டிஸ்கவரி ஒப் நியூ மைக்ரோ ஒர்கநிச்ம்ஸ் இன் தி ச்ற்றடோசபியர் . 16 மார்ச் 2009. இஸ்ரோ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

@@ வரிசை 315: / வரிசை 315: @@
 [[ur:آریہ بھٹ]]
 [[war:Aryabhata]]
+[[zh:阿耶波多]]