சமச்சீரற்ற உறவு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் சமச்சீரற்ற உறவு (asymmetric relation) என்பது கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படும் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.

X கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R. சமச்சீரற்ற உறவின் கீழ், X இலுள்ள அனைத்து a , b உறுப்புகளுக்கும்

'a க்கு b உடன் உறவிருந்தால், b க்கு a உடன் உறவிருக்காது.[1]

கணிதக் குறியீட்டில் சமச்சீரற்ற உறவு:

.


எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • x , y இரு மெய்யெண்கள், x < y (விடச்சிறியது) எனில், y, x ஐ விடச் சிறியதாக இருக்காது.
எனவே, மெய்யெண்கள் கணத்தில் (R) வரையறுக்கப்பட்ட < (விடச் சிறியது) என்பது சமச்சீரற்ற உறவு.
  • xx என்பதை திருப்பி எழுதக் கிடைப்பது xx ஆகும். இரு கூற்றுகளுமே உண்மை. எனவே (விடச்சிறியது அல்லது சமன்) என்ற செயலி சமச்சீரற்ற உறவாகாது. பொதுவாக, x R x என்பது சில x களுக்கு உண்மையாகுமானால் அந்த உறவு R சமச்சீரற்ற உறவாக இருக்காது. அதாவது எதிர்வற்ற உறவுகளாக இல்லாதவை சமச்சீரற்றவையாகவும் இருக்க முடியாது.
  • சமச்சீரற்ற உறவுகள், சமச்சீர் உறவாக இருக்கவேண்டியதில்லை. இருவகையாகவும் இல்லாத உறவுகளும் உண்டு.

எடுத்துக்காட்டாக (விடச் சிறியது அல்லது சமம்) சமச்சீரற்ற உறவு. ஆனால் அது சமச்சீர் உறவு இல்லை. (2 ≤ 5 ஆனால் மறுதலை உண்மையில்லை)

பண்புகள்[தொகு]

  • ஒரு உறவு எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும், எதிர்வற்ற உறவாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்ற உறவாக இருக்க முடியும்.[2]
  • கட்டுப்படுத்தப்பட்ட சமச்சீரற்ற உறவுகளும், சமச்சீரற்ற உறவுகளின் நேர்மாறுகளும் சமச்சீரற்றவையாகவே இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு
மெய்யெண்கள் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட < (விடச் சிறியது) என்பது ஒரு சமச்சீரற்ற உறவு.
மெய்யெண்களின் கணத்திலிருந்து முழுஎண்கள் கணத்திற்கு கட்டுப்படுத்தப்படும்போதும் < ஒரு சமச்சீரற்ற உறவாகவே இருக்கும்.
< (விடச் சிறியது) என்பது ஒரு சமச்சீரற்ற உறவு. அதன் நேர்மாறான > (விடப்பெரியது) என்ற உறவும் சமச்சீரற்றது.
  • ஒரு கடப்பு உறவு எதிர்வற்ற உறவாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்ற உறவு:[3]
கடப்பாகவும் எதிர்வற்றதாகவும் உள்ள ஒரு உறவு ஒருவேளை சமச்சீர் உறவாக இருந்தால்:
a R b எனில், b R a
கடப்புத்தன்மையின்படி,
a R b , b R a இலிருந்து, a R a என்பது உண்மையாகும். இது எதிர்வற்ற உறவு என்பதற்கு முரணாகிவிடும்

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. David Gries; Fred B. Schneider (1993), A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag, p. 273 .
  2. Nievergelt, Yves (2002), Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag, p. 158 .
  3. Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Transitive Closures of Binary Relations I. Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. பக். 1. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf.  Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".
"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=சமச்சீரற்ற_உறவு&oldid=1929673" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது