ஏது மூலம், மாடுலோ p
கணிதத்தில், முதன்மை மூலம், மட்டு p அல்லது ஏது மூலம், மாடுலோ p (primitive root, modulo p) என்பது எண் கோட்பாட்டில் வரும் ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும். எண் கோட்பாட்டிற்குள் உள்ள பயன்பாடுகளைத்தவிர இது குறியாக்கவியல், வழுதிருத்தும் குறியீடுகள் போன்ற துறைகளுக்குத் தேவைப்படும் கருத்து.[1][2][3]
அறிமுகம்
[தொகு]எல்லா முழு எண்களின் வளையம் என்று குறிக்கப்படும். ஒரு பகா எண் ஆனால் , தாய்வளையம் இன் ஒரு உள்வளையம். எச்சவகைகளின் கூட்டல், பெருக்கலுக்கு ஒரு களமாகிறது. இக்களத்தை என்றும் எழுதுவதுண்டு. இதனிலிருந்து சூனியமல்லாத உறுப்புகளின் கணத்தை என்று குறிப்பிட்டு அதை பெருக்கல் குலமாகக் கொள்ளுவோம். இக்குலத்தின் பிறப்பி ஒவ்வொன்றும், ஏது மூலம், மாடுலோ p எனப்படுகிறது. இதையே இன் ஏது-உறுப்பு என்றும் சொல்வதுண்டு.
எடுத்துக்காட்டு
[தொகு]- 2ம் 3ம் மாடுலோ 5க்கு ஏது மூலங்கள்; ஏனென்றால்,
மற்றும்
- ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனின் பெருக்கல் குலம் {1,2,3,4,5,6 மாடுலோ 7}. இதனில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு க்கும் இனுடைய மதிப்புகளை அட்டவணையாக எழுதுவோம்:
1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 1 2 4 1 3 3 2 6 4 5 1 4 4 2 1 4 2 1 5 5 4 6 2 3 1 6 6 1 6 1 6 1
இதிலிருந்து நமக்குத்தெரிவது 3 ம் 5 ம் க்கு பிறப்பிகள். அதனால் 3ம் 5ம் ஏது மூலம், மாடுலோ7. இதர எண்கள் 1,2,4,6 ஆகிய நான்கும் ஏது மூலங்களல்ல.
சில குறிப்புகள்
[தொகு]- ஒவ்வொரு க்கும் ஏது மூலங்கள் இருக்கும் என்பதை நிறுவுவது அவ்வளவு எளிதானதல்ல. அப்படி இருந்தாலும் அதைக் கண்டுபிடிக்க எந்தக் கணிப்புச்செயல்பாடும் இருப்பதாகத்தெரியவில்லை.
- காஸ் இன் தேற்றம்: ஒரு பகா எண்ணாகவும், ஒரு இயல் எண்ணாகவும் கொண்டால், க்கு கட்டாயம் ஏது மூலம் மாடுலோ இருக்கும்.
- ஒரு பகா எண்ணாக இருந்து, ஆக இருந்தால், க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும்.
- ஒரு பகாஎண்ணாக இருந்தால், எந்த இலும், அதனில் அடங்கிய எந்த பகா எண் க்கும்,
- இதற்கு ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம் என்று பெயர். ஓர் ஏது மூலமாகவும் இருப்பதன் சிறப்புப்பண்பு என்னவென்றால்,
- ஐ விட சிறிய க்கு
- p < 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்
- 5, 13, 29, 53 மட்டுமே.
- p < 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், க்கு 10 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்:
- 7, 17, 19, 23, 47, 59,61, 97 மட்டுமே.
- 10 ஓர் ஏதுமூலமாக இருக்கும் பிரச்சினை மீள்வரு தசம பின்னங்களைப்பற்றிய ஆய்வுகளில் தேவைப்படுகிறது.
- p < 100 என்ற கட்டுப்பாட்டை எடுத்துவிட்டால்,, இந்த p-மதிப்புகளின் தொடர் முடிவில்லாமல் இருக்குமா என்பது காஸ் இன் ஒரு புகழ் பெற்ற யூகம்.
- 1920 களில், எமில் ஆர்டின் ஒரு சிறப்பான யூகத்தை கணித உலகின் முன் வைத்தார். அதாவது,
- a ஒரு வர்க்கமில்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், அது முடிவில்லாத எண்ணிக்கையுள்ள p-மதிப்புகளுக்கு ஏது மூலமாக இருக்கும்.
- இந்த யூகம் மிகப்புகழ்பெற்றதன் காரணம், இதற்கும் ரீமான் கருதுகோளின் உண்மைக்கும் நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளதுதான். 1967இல் ஹூலி என்பவர் ரீமான் யூகத்தை நுண்புலப்படுத்திய இன்னொரு யூகம் உண்மையாயிருந்தால், ஆர்டினின் யூகமும் உண்மையாக ஆகிவிடும் என்று நிறுவினார்.
இவற்றையும் பார்க்கவும்
[தொகு]மேற்கோள்கள்
[தொகு]- ↑ Primitive root, Encyclopedia of Mathematics
- ↑ (Vinogradov 2003, § VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES)
- ↑ (Gauss 1986, arts. 52–56, 82–891)