எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்)

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search

இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள a, b ,c ஆகிய மூன்றும் மாறி x ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.

பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள்[தொகு]

எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும்[தொகு]

. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே . இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.

ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:

ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:

.

சார்பின் தொடர்ச்சி:

.

என்பது உண்மையெனில் சார்பு ஆனது c புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.

அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள்[தொகு]

[1][2][3]
எனில், [4]
[1][2][3]
[1][3]

பொதுவாக, L இல் g(x) தொடர்ச்சியானதாகவும் எனவும் இருந்தால்:

[1][2]

அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள்[தொகு]

[1][2][3]

[1][2][3]

[1][2][3]

வகைக்கெழுக்கள் அல்லது நுண்ணளவு மாற்றங்கள் கொண்ட எல்லைகள்[தொகு]

இங்கு நுண்ணளவு மாற்றமானது அல்லது எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

இல், வகையிடத்தக்கச் சார்பு எனில்:

.

இது வகையிடலின் வரையறையாகும்.

வகையிடல் விதிகளையும் எல்லைகளைக் கொண்டவைகளாக மாற்றியமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக x இல், g(x) வகையிடத்தக்கது எனில்,

. (வகையிடலின் சங்கிலி விதி).

. (வகையிடலின் பெருக்கல் விதி).

இரண்டும் c ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளியில் (c ஐ மட்டும் தவிர்க்கலாம்) வகையிடத்தக்கவையாகவும், எனவும் இருக்குமானால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:

[2]

சமனிலிகள்[தொகு]

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) ஆகவும், இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்:

[5]

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) ஆகவும், ஆகவும் இருந்தால்:

.[1][2]

f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் xa வடிவச் சார்புகளும்[தொகு]

[1][2][3]

x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்[தொகு]

[1][2][3]
[5]

பொதுவாக ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

[5]

விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.[5]

xa வடிவச் சார்புகள்[தொகு]

[5] குறிப்பாக:
.[5] குறிப்பாக:
[6]

அடுக்கேற்றச் சார்புகள்[தொகு]

ag(x) வடிவச் சார்புகள்[தொகு]

( தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)
[6]

xg(x) வடிவச் சார்புகள்[தொகு]

f(x)g(x) வடிவச் சார்புகள்[தொகு]

[2]
[2]
[7]
[6]
.

கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள்[தொகு]

[4][7]

மடக்கைச் சார்புகள்[தொகு]

இயல் மடக்கைகள்[தொகு]

இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

குறிப்பாக,
[7]
. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)
[6]

குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள்[தொகு]

a > 1 எனில்:

a < 1 எனில்:

முக்கோணவியல் சார்புகள்[தொகு]

ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

.[7] அல்லது பொதுவாக,
, (a ≠ 0)
, (b ≠ 0)
[4]
(n ஒரு முழு எண்)
(x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)
, ( d டோத்தி எண், x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)

கூட்டுத்தொகைகள்[தொகு]

பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும்.

. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.[6]
. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.

குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள்[தொகு]

.

மேற்கோள்கள்[தொகு]