கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள a , b ,c ஆகிய மூன்றும் மாறி x ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும் . இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.
பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள் [ தொகு ]
எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும் [ தொகு ]
∀
ε
>
0
∃
δ
>
0
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
→
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ 0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }
. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
. இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.
ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:
lim sup
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
sup
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}
ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:
lim inf
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
inf
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}
.
சார்பின் தொடர்ச்சி:
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
f
(
c
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}
.
என்பது உண்மையெனில் சார்பு
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
ஆனது c புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.
அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள் [ தொகு ]
If
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
then:
{\displaystyle {\text{If }}\lim _{x\to c}f(x)=L{\text{ then:}}}
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
±
a
]
=
L
±
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a}
lim
x
→
c
a
f
(
x
)
=
a
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,af(x)=aL}
[1] [2] [3]
L
≠
0
{\displaystyle L\not =0}
எனில்,
lim
x
→
c
1
f
(
x
)
=
1
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}}
[4]
lim
x
→
c
f
(
x
)
n
=
L
n
if
n
is a positive integer
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}\qquad {\text{ if }}n{\text{ is a positive integer}}}
[1] [2] [3]
lim
x
→
c
f
(
x
)
1
n
=
L
1
n
if
n
is a positive integer, and if
n
is even, then
L
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}\qquad {\text{ if }}n{\text{ is a positive integer, and if }}n{\text{ is even, then }}L>0}
[1] [3]
பொதுவாக, L இல் g(x) தொடர்ச்சியானதாகவும்
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
எனவும் இருந்தால்:
lim
x
→
c
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
L
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)}
[1] [2]
அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள் [ தொகு ]
If
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
1
and
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
2
then:
{\displaystyle {\text{If }}\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}{\text{ and }}\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}{\text{ then:}}}
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
=
L
1
±
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}
[1] [2] [3]
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
L
1
⋅
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}}
[1] [2] [3]
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
1
L
2
if
L
2
≠
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0}
[1] [2] [3]
வகைக்கெழுக்கள் அல்லது நுண்ணளவு மாற்றங்கள் கொண்ட எல்லைகள் [ தொகு ]
இங்கு நுண்ணளவு மாற்றமானது
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
அல்லது
δ
x
{\displaystyle \delta x}
எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
x
{\displaystyle x}
இல்,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
வகையிடத்தக்கச் சார்பு எனில்:
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}
.
இது வகையிடலின் வரையறையாகும்.
வகையிடல் விதிகளையும் எல்லைகளைக் கொண்டவைகளாக மாற்றியமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக x இல், g(x) வகையிடத்தக்கது எனில்,
lim
h
→
0
f
∘
g
(
x
+
h
)
−
f
∘
g
(
x
)
h
=
f
′
[
g
(
x
)
]
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)}
. (வகையிடலின் சங்கிலி விதி ).
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
. (வகையிடலின் பெருக்கல் விதி ).
lim
h
→
0
(
f
(
x
+
h
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}
lim
h
→
0
(
f
(
x
(
1
+
h
)
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(x),}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
இரண்டும் c ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளியில் (c ஐ மட்டும் தவிர்க்கலாம்) வகையிடத்தக்கவையாகவும்,
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
or
±
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty }
எனவும் இருக்குமானால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
[2]
சமனிலிகள் [ தொகு ]
c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்)
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\leq g(x)}
ஆகவும்,
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(x),}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்:
lim
x
→
c
f
(
x
)
≤
lim
x
→
c
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)}
[5]
c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்)
If
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
h
(
x
)
=
L
{\displaystyle {\text{If }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L}
ஆகவும்,
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
≤
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}
ஆகவும் இருந்தால்:
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L}
.[1] [2]
f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.
பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் xa வடிவச் சார்புகளும் [ தொகு ]
lim
x
→
c
a
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}
[1] [2] [3]
x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் [ தொகு ]
lim
x
→
c
x
=
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}
[1] [2] [3]
lim
x
→
c
(
a
x
+
b
)
=
a
c
+
b
{\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}
lim
x
→
c
x
n
=
c
n
if
n
is a positive integer
{\displaystyle \lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}\qquad {\mbox{ if }}n{\mbox{ is a positive integer}}}
[5]
lim
x
→
∞
x
/
a
=
{
∞
,
a
>
0
does not exist
,
a
=
0
−
∞
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}
பொதுவாக
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:
lim
x
→
c
p
(
x
)
=
p
(
c
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=p(c)}
[5]
விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.[5]
xa வடிவச் சார்புகள்[ தொகு ]
lim
x
→
c
x
a
=
c
a
.
{\displaystyle \lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.}
[5] குறிப்பாக:
lim
x
→
∞
x
a
=
{
∞
,
a
>
0
1
,
a
=
0
0
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}
lim
x
→
c
x
1
/
a
=
c
1
/
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}}
.[5] குறிப்பாக:
lim
x
→
∞
x
1
/
a
=
lim
x
→
∞
x
a
=
∞
for any
a
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ for any }}a>0}
[6]
lim
x
→
0
+
x
−
n
=
lim
1
x
n
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }
lim
x
→
0
−
x
−
n
=
lim
x
→
0
−
1
x
n
=
{
−
∞
,
if
n
is odd
+
∞
,
if
n
is even
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}
lim
x
→
∞
a
x
−
1
=
lim
x
→
∞
a
/
x
=
0
for any real
a
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a}
அடுக்கேற்றச் சார்புகள் [ தொகு ]
ag(x) வடிவச் சார்புகள்[ தொகு ]
lim
x
→
c
e
x
=
e
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}}
(
e
x
{\displaystyle e^{x}}
தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)
lim
x
→
∞
a
x
=
{
∞
,
a
>
1
1
,
a
=
1
0
,
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}
lim
x
→
∞
a
−
x
=
{
0
,
a
>
1
1
,
a
=
1
∞
,
0
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}
[6]
lim
x
→
∞
a
x
=
lim
x
→
∞
a
1
/
x
=
{
1
,
a
>
0
0
,
a
=
0
does not exist
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}
xg(x) வடிவச் சார்புகள்[ தொகு ]
lim
x
→
∞
x
x
=
lim
x
→
∞
x
1
/
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}
f(x)g(x) வடிவச் சார்புகள்[ தொகு ]
lim
x
→
+
∞
(
x
x
+
k
)
x
=
e
−
k
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}}
[2]
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}
[2]
lim
x
→
0
(
1
+
k
x
)
m
x
=
e
m
k
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}}
lim
x
→
+
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
[7]
lim
x
→
+
∞
(
1
−
1
x
)
x
=
1
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
lim
x
→
+
∞
(
1
+
k
x
)
m
x
=
e
m
k
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}
[6]
lim
x
→
0
(
1
+
a
(
e
−
x
−
1
)
)
−
1
x
=
e
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}\qquad }
.
கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள் [ தொகு ]
lim
x
→
0
x
e
−
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}
lim
x
→
∞
x
e
−
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}
lim
x
→
0
(
a
x
−
1
x
)
=
ln
a
,
∀
a
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},\qquad \forall ~a>0}
[4] [7]
lim
x
→
0
(
e
x
−
1
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1}
lim
x
→
0
(
e
a
x
−
1
x
)
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a}
மடக்கைச் சார்புகள் [ தொகு ]
இயல் மடக்கைகள் [ தொகு ]
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:
lim
x
→
c
ln
x
=
ln
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c}
குறிப்பாக,
lim
x
→
0
+
log
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }
lim
x
→
∞
log
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }
lim
x
→
1
ln
(
x
)
x
−
1
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}
lim
x
→
0
ln
(
x
+
1
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}
[7]
lim
x
→
0
−
ln
(
1
+
a
(
e
−
x
−
1
)
)
x
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}
. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)
lim
x
→
0
+
x
ln
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0}
lim
x
→
∞
ln
x
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}
[6]
குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள் [ தொகு ]
a > 1 எனில்:
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }
lim
x
→
∞
log
a
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty }
a < 1 எனில்:
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty }
lim
x
→
∞
log
a
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty }
முக்கோணவியல் சார்புகள் [ தொகு ]
x
{\displaystyle x}
ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:
lim
x
→
a
sin
x
=
sin
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}
lim
x
→
a
cos
x
=
cos
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
.[7] அல்லது பொதுவாக,
lim
x
→
0
sin
a
x
a
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1}
, (a ≠ 0)
lim
x
→
0
sin
a
x
x
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}
lim
x
→
0
sin
a
x
b
x
=
a
b
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}
, (b ≠ 0)
lim
x
→
∞
x
sin
(
1
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
[4]
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
2
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
lim
x
→
n
±
tan
(
π
x
+
π
2
)
=
∓
∞
{\displaystyle \lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }
(n ஒரு முழு எண் )
lim
n
→
∞
sin
sin
…
sin
(
x
0
)
⏟
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \ \sin \ \ldots \sin(x_{0})} _{n}=0}
(x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண் )
lim
n
→
∞
cos
cos
…
cos
(
x
0
)
⏟
n
=
d
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \ \cos \ \ldots \cos(x_{0})} _{n}=d}
, ( d டோத்தி எண் , x0 ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண் )
கூட்டுத்தொகைகள் [ தொகு ]
பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும்.
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
1
k
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty }
. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.[6]
lim
n
→
∞
(
∑
k
=
1
n
1
k
−
log
n
)
=
γ
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n\right)=\gamma }
. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.
குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள் [ தொகு ]
lim
n
→
∞
n
n
!
n
=
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
lim
n
→
∞
(
n
!
)
1
/
n
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty }
lim
n
→
∞
2
n
2
−
2
+
2
+
...
+
2
⏟
n
=
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }
.
மேற்கோள்கள் [ தொகு ]