எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்)

இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள a, b ,c ஆகிய மூன்றும் மாறி x ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.

பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள்

எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும்

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ 0<|x-c|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே $\lim _{x\to c}f(x)=L$. இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.

ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)$

ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)$.

சார்பின் தொடர்ச்சி:

$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$.

என்பது உண்மையெனில் சார்பு $f(x)$ ஆனது c புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.

அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள்

${\text{If }}\lim _{x\to c}f(x)=L{\text{ then:}}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a$

$\lim _{x\to c}\,af(x)=aL$

$L\not =0$ எனில், $\lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}$

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}\qquad {\text{ if }}n{\text{ is a positive integer}}$

$\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}\qquad {\text{ if }}n{\text{ is a positive integer, and if }}n{\text{ is even, then }}L>0$

பொதுவாக, L இல் g(x) தொடர்ச்சியானதாகவும் $\lim _{x\to c}f(x)=L$ எனவும் இருந்தால்:

$\lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)$

அறியப்பட்ட இரு எல்லைகள் மீதான செயல்கள்

${\text{If }}\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}{\text{ and }}\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}{\text{ then:}}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$

$\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}$

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0$

வகைக்கெழுக்கள் அல்லது நுண்ணளவு மாற்றங்கள் கொண்ட எல்லைகள்

இங்கு நுண்ணளவு மாற்றமானது $\Delta x$ அல்லது $\delta x$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

$x$ இல், $f(x)$ வகையிடத்தக்கச் சார்பு எனில்:

$\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)$.

இது வகையிடலின் வரையறையாகும்.

வகையிடல் விதிகளையும் எல்லைகளைக் கொண்டவைகளாக மாற்றியமைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக x இல், g(x) வகையிடத்தக்கது எனில்,

$\lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)$. (வகையிடலின் சங்கிலி விதி).

$\lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. (வகையிடலின் பெருக்கல் விதி).

$\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)$

$\lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)$

$f(x),$ $g(x)$ இரண்டும் c ஐ உள்ளடக்கிய திறந்த இடைவெளியில் (c ஐ மட்டும் தவிர்க்கலாம்) வகையிடத்தக்கவையாகவும், $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty$ எனவும் இருக்குமானால், லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்தலாம்:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

சமனிலிகள்

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) $f(x)\leq g(x)$ ஆகவும், $f(x),$ $g(x)$ இரண்டின் எல்லைகளும் c இடத்துக் காணத்தக்கதாகவும் இருந்தால்:

$\lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)$

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) ${\text{If }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$ ஆகவும், $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ ஆகவும் இருந்தால்:

$\lim _{x\to c}g(x)=L$.

f(x) , g(x) இரண்டின் மதிப்புகளும் c இடத்து வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அல்லது c இடத்து இவ்விரு சார்புகளும் தொடர்ச்சியற்றதாக இருந்தாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் x^a வடிவச் சார்புகளும்

$\lim _{x\to c}a=a$

x இல் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்

$\lim _{x\to c}x=c$

$\lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b$

$\lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}\qquad {\mbox{ if }}n{\mbox{ is a positive integer}}$

$\lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}$

பொதுவாக $p(x)$ ஒரு பல்லுறுக்கோவையெனில் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:

$\lim _{x\to c}p(x)=p(c)$

விகிதமுறு சார்புகள் அவற்றின் ஆட்களங்களில் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் அவற்றுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.

x^a வடிவச் சார்புகள்

$\lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.$ குறிப்பாக:

$\lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}$

$\lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}$. குறிப்பாக:

$\lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ for any }}a>0$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim {\frac {1}{x^{n}}}=+\infty$

$\lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a$

அடுக்கேற்றச் சார்புகள்

a^g(x) வடிவச் சார்புகள்

$\lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}$ ($e^{x}$ தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)

$\lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}$

x^g(x) வடிவச் சார்புகள்

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1$

f(x)^g(x) வடிவச் சார்புகள்

$\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}$

$\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$

$\lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}$

$\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}$

$\lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}\qquad$.

கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள்

$\lim _{x\to 0}xe^{-x}=0$

$\lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0$

$\lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},\qquad \forall ~a>0$

$\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1$

$\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a$

மடக்கைச் சார்புகள்

இயல் மடக்கைகள்

$\ln {x}$ இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

$\lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c$ குறிப்பாக,

$\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$

$\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$

$\lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a$. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)

$\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$

குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள்

a > 1 எனில்:

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty$

a < 1 எனில்:

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty$

முக்கோணவியல் சார்புகள்

$x$ ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:

$\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$

$\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$. அல்லது பொதுவாக,

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1$, (a ≠ 0)

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$, (b ≠ 0)

$\lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$

$\lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty$ (n ஒரு முழு எண்)

$\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \ \sin \ \ldots \sin(x_{0})} _{n}=0$ (x₀ ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)

$\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \ \cos \ \ldots \cos(x_{0})} _{n}=d$, ( d டோத்தி எண், x₀ ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)

கூட்டுத்தொகைகள்

பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும்.

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty$. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.

$\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n\right)=\gamma$. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.

குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள்

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$

$\lim _{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty$

$\lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi$.