உச்சி வடிவம் (வடிவவியல்)

கனசதுரத்தின் "அரை-விளிம்பு" உச்சி வடிவம்

வடிவவியலில் ஒரு பன்முகி அல்லது பல்பரப்பின் ஒரு மூலையைச் சிறிது சீவிய பின்பு கிடைக்கும் வெட்டுமுகம் அதன் உச்சி வடிவம் (vertex figure) என்றழைக்கப்படும்.

வரையறை

கனசதுரத்தின் "முழு-விளிம்பு" உச்சி வடிவம்

ஒரு பன்முகியின் ஏதாவது ஒரு மூலை அல்லது உச்சியை எடுத்துக்கொண்டு, அந்த உச்சியோடு இணைந்துள்ள விளிம்புகள் ஒவ்வொன்றின் மீதும் ஏதாவது ஒரு இடத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறித்துக்கொள்ள வேண்டும். அப்புள்ளிகளில், அடுத்தடுத்து உள்ள புள்ளிகளை இணைத்து அந்த உச்சி அமைந்துள்ள முகங்களின் மீது கோடுகளை வரைய வேண்டும். இக்கோடுகள் ஒரு பல்கோணமாக இருக்கும். இந்தப் பல்கோணம் தான் எடுத்துக்கொண்ட உச்சிக்கான "உச்சி வடிவம்" ஆகும்.

சூழலைப் பொறுத்து நுட்பமுறையான வரையறைகள் மாறுபடலாம்.

தட்டையான சீவல்துண்டாக

ஒரு பன்முகியின் ஒரு உச்சியில் இணையும் எல்லா விளிம்புகளின் வழியாக, ஒரு துண்டுப்பகுதியைச் சீவி எடுத்தபின்பு அவ்விடத்தில் தோன்றும் பன்முகியின் வெட்டுமுக மேற்பரப்பு, உச்சி வடிவம் ஆகும். இந்தப் பொதுவான வரையறை உச்சி வடிவத்தை எளிதாகப் புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது. வெவ்வேறு கணிதவியலாளர்களைப் பொறுத்து உச்சி வடிவத்தின் வரையறை இட வேறுபாடு பெறும். வென்னிங்கர் (2003) மற்றும் கோஎக்சுட்டர் (1948) இருவரும் உச்சியிலிருந்து ஓரலகு தொலைவில் துண்டுகளை வெட்டும் முறையைப் பின்பற்றினர். டோர்மான் லூக் வழிமுறையில், உச்சியில் இணையும் விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாகத் துண்டுப்பகுதி சீவியெடுக்கப்படுகிறது. சிலர் உச்சியில் இணையும் விளிம்புகளின் பிற முனைகளின் வழியாகத் துண்டுப்பகுதியை வெட்டியெடுக்கும் முறையைப் பின்பற்றுகின்றனர்.

ஒழுங்கற்றப் பன்முகிகளுக்கு, ஒரு உச்சியில் இணையும் எல்லா விளிம்புகளிலும் சமதூரத்தில் அமையும் புள்ளிகள் வழியாக வெட்டியெடுக்கக் கிடைக்கும் உச்சி வடிவமானது, ஒரு தளத்தில் அமையாத ஒன்றாக இருக்கலாம். குவிவுப் பன்முகிகளுக்கு குறிப்பிட்ட உச்சியைப் பன்முகியின் பிற உச்சிகளிலிருந்து பிரிக்கும் ஏதாவது ஒரு தளத்தின் வழியாக வெட்டுவதுமூலம் உச்சி வடிவம் பெறப்படுகிறது. எந்தப் பரிமாணத்திலும் அமையும் குவிவுப் பல்பரப்புகளின் உச்சி வடிவம் பெறுவதற்கு இந்த வழிமுறையைப் பொதுமைப்படுத்தலாம். ஆனால் குவிவற்றப் பன்முகிகளுக்கு, ஒரு உச்சியில் இணையும் எல்லா முகங்களையும் வெட்டக்கூடியதான தளம் இல்லாமலும் இருக்கலாம்.

கோளப் பல்கோணமாக

கனசதுரத்தின் கோள உச்சி வடிவம்

கனசதுரத்தின் புள்ளி-கணம் உச்சி வடிவம்

ஒரு பன்முகியின் ஒரு உச்சியை மையமாகக் கொண்டு, அந்த உச்சியில் இணையும் விளிம்புகளையும் முகங்களையும் மட்டும் வெட்டக்கூடிய அளவில் சிறியதான ஒரு கோளத்தைக் கொண்டு வெட்டுவதன் மூலம் கணிதவியலாளர் குரோம்வெல் (1999) உச்சி வடிவத்தை உருவாக்கினார். இதனை, பன்முகியின் ஒரு உச்சியை மையமாகக் கொண்டு அங்கு ஒரு சிறுபகுதியை கோளவெட்டாகக் குடைந்தெடுப்பதாகப் புரிந்துகொள்ளலாம். இந்த முறையில் கிடைக்கும் உச்சி வடிவமானது கோளப் பல்கோணமாக இருக்கும். இந்த முறையில் கிடைக்கும் உச்சிவடிவம் நிலையானது; ஆனால் தளத்தைக்கொண்டு வெட்டும் முறையில், தளம் அமையும் கோணத்தைப் பொறுத்து உச்சிவடிவத்தின் வடிவங்கள் வெவ்வேறாக அமையும். மேலும் கோள வெட்டுமுறை குவிவற்றப் பன்முகிகளுக்கும் ஏற்றதாக இருக்கும்.

இணைப்பு உச்சிகளின் கணமாக

பெரும்பாலும், குறிப்பிட்ட உச்சியுடன் விளிம்புகள் மூலம் இணைக்கப்பட்ட பிற உச்சிகளின் வரிசை கணமாக உச்சி வடிவம் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது (எ.கா. இசுக்கில்லிங்கு 1975)

பொதுப் பண்புகள்

• n-பல்பரப்பின் உச்சிவடிவம், ஒரு (n−1)-பல்பரப்பாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பன்முகியின் உச்சி வடிவம் பல்கோணமாகவும் ஒரு 4-பல்பரப்பின் உச்சிவடிவம் ஒரு பன்முகியாகவும் இருக்கும்.
• பொதுவாக, உச்சி வடிவமானது தளவடிவமாக மட்டும் இருக்க வேண்டியதில்லை.
• குவிவற்ற பன்முகிகளின் உச்சி வடிவங்களும் குவிவற்றவையாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, சீர் பல்பரப்புகள் தங்களது முகங்கள், உச்சி வடிவங்களை நாள்மீன் பல்கோணிகளாகக் கொண்டிருக்கலாம்.

சமகோண வடிவங்கள்

சீர் பல்பரப்புகளுக்கும் சமகோண பல்பரப்புகளுக்கும் உச்சி வடிவங்கள் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை. ஏனென்றால் ஒரு உச்சி வடிவத்தைக் கொண்டு, முழு பல்பரப்பையும் வரையறுக்கக் கூடும். ஒழுங்கு முகங்கள் கொண்ட பன்முகிகளுக்கு, குறிப்பிட்ட உச்சியில் இணையும் முகங்களை வரிசைப்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு உச்சி வடிவத்தைக் குறிக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 3.4.4.4 என்பது ஒரு முக்கோணமும் நான்கு சதுரங்களும் இணையும் உச்சியைக் குறிக்கும்.

வரையும்முறை

அடுத்தமையும் உச்சிகளைக் கொண்டு வரைதல்

பல்பரப்பின் ஒரு உச்சிக்கான உச்சி வடிவத்தைப் பின்வரும் கூற்றுகளைக் கொண்டு வரையலாம்:

• உச்சி வடிவத்தின் ஒவ்வொரு உச்சியும் மூல பல்பரப்பரப்பின் ஒரு உச்சியாக இருக்கும்.
• உச்சி வடிவத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பும் மூல பல்பரப்பின் இரு ஒன்றுவிட்ட உச்சிகளை அதன் முகத்தின் மேல் அல்லது உள்ளே இணைக்கும்.
• உச்சி வடிவத்தின் ஒவ்வொரு முகமும் மூல n-பல்பரப்பின் (n > 3) சிற்றறையின் மீது அல்லது உள்ளே இருக்கும்.
• ... இவ்வாறு உயர் பரிமாண பல்பரப்புகளின் கூறுகளுக்கு ஏற்றவாறு இக்கூற்றுகள் தொடரும்.

டோர்மன் லூக் வரைமுறை

ஒரு சீர் பன்முகியின் இருமப் பன்முகியின் முகத்தை, மூலப் பன்முகியின் உச்சி வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி டோர்மன் லூக் வரைமுறையில் காணலாம்.

ஒழுங்கு பல்பரப்புகள்

பெரு இருபதுமுகியின் உச்சி வடிவம் ஒரு ஒழுங்கு நாள்மீன் ஐங்கோணி அல்லது நாள்மீன் பல்கோணி {5/2}.

ஒழுங்கு பல்பரப்பை அதன் இசுலாபிலிக் குறியீட்டைக் கொண்டு குறிக்கலாம். அப் பல்பரப்பின் சிற்றறையையும் உச்சி வடிவத்தையும் எளிதாக இக்குறியீட்டிலிருந்து பெறமுடியும்.

ஒரு பல்பரப்பின் இசுலாபிலிக் குறியீடு {a,b,c,...,y,z} எனில் அதன் சிற்றறைகளின் இசுலாலிபிக் குறியீடு {a,b,c,...,y} ஆகவும், உச்சி வடிவத்தின் குறியீடு {b,c,...,y,z} ஆகவும் இருக்கும்.

1. {p,q} -ஒழுங்கு பன்முகியின் உச்சி வடிவம் {q}, அதாவது q-கோணம் (q பக்கங்களுடைய பல்கோணம்).
   • எடுத்துக்காட்டாக கனசதுரம் {4,3} இன் உச்சி வடிவம் ஒரு முக்கோணம் {3}.
2. ஒழுங்கு 4-பல்பரப்பு {p,q,r} இன் உச்சி வடிவம் {q,r}.
   • எடுத்துக்காட்டாக ஒரு மீகனசதுரம் {4,3,3} இன் உச்சி வடிவம் ஒரு ஒழுங்கு நான்முகி {3,3}.

சான்றுகள்

ஆதார நூற்பட்டியல்

• H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
• H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450.
• P. Cromwell, Polyhedra, CUP pbk. (1999).
• H.M. Cundy and A.P. Rollett, Mathematical Models (Cundy and Rollett), Oxford Univ. Press (1961).
• J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 278 A (1975) pp. 111–135.
• M. Wenninger, Dual Models, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p289 Vertex figures)

வெளியிணப்புகள்

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,
உச்சி வடிவங்கள்
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன.

• Weisstein, Eric W., "Vertex figure", MathWorld.
• GlossaryForHyperspace - Vertex figure
• Vertex Figures
• Consistent Vertex Descriptions