ஈருறுப்பு உறவு

கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு (binary relation) என்பது அக்கணத்தின் உறுப்புகளாலான வரிசைச் சோடிகளின் தொகுப்பு ஆகும்.

அதாவது A கணத்த்தின் மீது வரையறுக்க்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவானது, A கணத்தின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின் (A² = A × A) உட்கணமாக இருக்கும்.

A , B எனும் இரு கணங்களுக்கு இடையேயான ஈருறுப்பு உறவு A × B இன் உட்கணம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• முடிவுறு கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு

A = {1, 2, 3, 4, 5}

இக்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் விடப் பெரியது என்ற ஈருறுப்பு உறவு:

$R=\{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)\}$

• முடிவுறா கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு

பகா எண்களின் கணம் P, முழு எண்களின் கணம் Z இரண்டுக்கும் இடையே வரையறுக்கப்படும் வகுஎண் என்ற உறவு ஈருறுப்பு உறவாகும். ஒவ்வொரு பகா எண் p ம் அதன் மடங்காக அமையும் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடன் "வகுஎண்" என்ற உறவின் கீழ் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. p இன் மடங்காக அமையாத முழுஎண்களுடன் p தொடர்பு கொண்டிருக்காது. பகாஎண் 2 ஆனது ...−4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10.... போன்ற இரண்டின் மடங்குகளோடு (இரட்டை முழுஎண்கள்) தொடர்புடையது, ஆனால் 1 , 3, 9 போன்ற இரண்டின் மடங்கற்ற (ஒற்றை எண்கள்) முழுஎண்களுடன் தொடர்பு கொண்டிருக்காது

கணிதத்தில் "விடப் பெரியது, விடச் சிறியது", "சமன்"; எண்கணிதத்தில் "வகுக்கும்"; வடிவவியலில் "சர்வசமம்"; கோட்டுருவவியலில் "அடுத்துள்ளது";நேரியல் இயற்கணிதத்தில் "செங்குத்தானது" போன்ற கருத்துருக்களுக்கு ஈருறுப்பு உறவு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஈருறுப்பு உறவின் சிறப்புவகைக் கருத்துருவாக சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது. கணினியியலிலும் ஈருறுப்பு உறவு மேலதிகப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறை

(X, Y, G) என்ற மும்மையால் ஈருறுப்பு உறவு R குறிக்கப்படுகிறது. இதில், X , Y எவையேனும் இரு கணங்கள். இவ்விரு கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் X × Y இன் உட்கணம் G . X , Y இரண்டும் முறையே ஈருறுப்பு உறவின் ஆட்களம், இணையாட்களம் என்றும், G - உறவின் வரைபடம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

(x,y) ∈ G எனில் x , R-இன் கீழ் y உடன் உறவு கொண்டிருக்கும்.

இதன் குறியீடு:

xRy (அல்லது) R(x,y)

R(x,y) என்ற குறியீட்டின் காரணமாக, X × Y இன் மீதான சுட்டுச் சார்பாக R எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

G இல் உள்ள ஒவ்வொரு சோடிக்கும் வரிசை முக்கியமானது. a ≠ b எனில் aRb , bRa இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராமல் உண்மையாகவோ அல்லது உண்மையில்லாமலோ இருக்கும். முழுஎண்கள் கணத்தில் வகுஎண் என்ற ஈருறுப்பு உறவை எடுத்துக்கொண்டால், 3, 9 ஐ வகுக்கும், ₃R₉ என்பது உண்மை. ஆனால் 9, 3 ஐ வகுக்காது என்பதால் ₉R₃ என்பது உண்மை இல்லை.

(X, Y, G) என்ற மும்மையால் வரையறுக்கப்படும் உறவு சிலசமயங்களில் தொடர்பு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரே வரைபடம் கொண்ட இரு உறவுகளின் ஆட்களங்களோ அல்லது இணையாட்களங்களோ வெவ்வேறாக இருந்தால் அவ்வுறவுகளும் வெவ்வேறானவை. எடுத்துக்காட்டாக, $G=\{(1,2),(1,3),(2,7)\}$ எனில்,

$(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} ,G)$,

$(\mathbb {R} ,\mathbb {N} ,G)$,

$(\mathbb {N} ,\mathbb {R} ,G)$ மூன்றும் வெவ்வேறு உறவுகள் ($\mathbb {Z}$ முழு எண்கள் கணம், $\mathbb {R}$ மெய்யெண்கள் கணம், $\mathbb {N}$ இயல் எண்கள் கணம்).

கணக் கோட்பாட்டில்

கணக் கோட்பாட்டில், ஈருறுப்பு உறவுகள் வரிசைச் சோடிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. ஆட்களம்:

$X=\{x:\exists y:(x,y)\in R\}$

வீச்சு:

$Y=\{y:\exists x:(x,y)\in R\}$

ஈருறுப்பு உறவு:

$R=(x,y)$

பொதுவான ஈருறுப்பு உறவுகள்

• வரிசை உறவுகள்
  • விடப் பெரியது
  • விடப் பெரியது அல்லது சமம்
  • விடச் சிறியது
  • விடச் சிறியது அல்லது சமம்
  • வகுக்கும்
  • உட்கணம்
• சமான உறவுகள்
  • சமன்
  • இணை
  • இருவழிக்கோப்பு
  • சமஅமைவியம்
• சார் உறவு - ஒரு முடிவுறு, சமச்சீர், எதிர்வு உறவு
• சாரா உறவு - ஒரு சமச்சீர், எதிர்வற்ற உறவு. சார், சாரா உறவுகள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள்.

ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை

n-உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படக்கூடிய வெவ்வேறான ஈறுருப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2ⁿ² (OEIS-இல் வரிசை A002416)

பல்வேறு n-உறுப்பு ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை
n	அனைத்தும்	கடப்பு	எதிர்வு	முன்வரிசை உறவு	பகுதி வரிசை உறவு	முழு முன்வரிசை உறவு	முழு வரிசை உறவு	சமான உறவு
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	16	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65536	3994	4096	355	219	75	24	15
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

வகைகள்

X கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R இன் சில வகைகள்:

• எதிர்வு:

$\forall x\in X,\ xRx$

எடுத்துக்காட்டு:

∀ x, x ≥ x என்பது உண்மை என்பதால்

"விடப்பெரியது அல்லது சமம்" (≥) என்பது எதிர்வு உறவு

• எதிர்வற்றது

$\forall x\in X,\lnot R(x,x).$

எந்தவொரு எண்ணும் அதே எண்ணை விடப் பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதால் "விடப் பெரியது" என்பது எதிர்வற்ற உறவு.

• சமச்சீர்

$\forall x,y\in X,\ xRy\Rightarrow \;yRx.$

• எதிர்சமச்சீர்

$\forall x,y\in X,\ R(x,y)\land R(y,x)\;\Rightarrow \;x=y$

விடப்பெரியது அல்லது சமம் ( ≥ ) ஒரு எதிர்சமச்சீர் உறவு.

• சமச்சீரற்றது

$\forall x,y\in X,\ xRy\;\Rightarrow \lnot (yRx)$

ஒரு உறவு, எதிர்சமச்சீரானதாகவும், எதிர்வற்றதாகவும் ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்றதாக இருக்க முடியும்.

• கடப்பு

$\forall x,y,z\in X:(xRy\wedge yRz)\Rightarrow xRz$

ஒரு கடப்பு உறவு சமச்சீரற்றதாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது எதிர்வற்றதாகும்.

• முழுமை

$\forall x,y\in X,\ xRy\lor yRx.$

• முப்பிரிவு

$\forall x,y\in X,\ xRy\lor yRx\lor x=y$

அதாவது, xRy, yRx , x = y ஆகிய மூன்றில் ஏதாவது ஒன்று மட்டுமே உண்மையாகும்.

ஈருறுப்பு உறவுகள் மீதான செயலிகள்

X , Y கணங்கள் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவுகள் R, S எனில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவையும் X , Y மீதான ஈருறுப்பு உறவாக இருக்கும்:

• ஒன்றிப்பு

R ∪ S = { (x, y) | (x, y) ∈ R அல்லது (x, y) ∈ S } எனில்:

R ∪ S ⊆ X × Y

எடுத்துக்காட்டு: > , = ஆகிய இரு ஈருறுப்பு உறவுகளின் ஒன்றிப்பு ≥ .

• வெட்டு

R ∩ S = { (x, y) | (x, y) ∈ R மற்றும் (x, y) ∈ S } எனில்:

R ∩ S ⊆ X × Y

• தொகுப்பு

X , Y கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு R; Y , Z கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு S எனில், இவ்விரு உறவுகளின் தொகுப்பு, X , Z கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவாகும்.

• நேர்மாறு அல்லது மறுதலை

R இன் நேர்மாறு:

R ⁻¹ = { (y, x) | (x, y) ∈ R }.

எடுத்துக்காட்டு:

"விடச் சிறியது" (<) -இதன் நேர்மாறு "விடப் பெரியது" (>).

X கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு R எனில் கீழ்வரும் ஒவ்வொன்றும் ஈருறுப்பு உறவாகும்:

• எதிர்வு அடைப்பு - R ⁼

R ⁼ = { (x, x) | x ∈ X } ∪ R

இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய எதிர்வு உறவு.

• எதிர்வு ஒடுக்கம் - R ^≠

R ^≠ = R \ { (x, x) | x ∈ X }

இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகப் பெரிய எதிர்வற்ற உறவு.

• கடப்பு அடைப்பு - R ⁺

கடப்பு அடைப்பு உறவானது, X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய கடப்பு உறவு. இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட கடப்பு உறவுகளின் வெட்டாக இது அமையும்.

நிரப்பி

X , Y மீதான ஈருறுப்பு உறவு R எனில்:

• R இன் நிரப்பி உறவு S ம் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.

x S y என்பது உண்மையானால் x R y உண்மையாக இருக்காது.

$\lnot (xRy)\;\Rightarrow \ xSy$

எடுத்துக்காட்டு:

மெய்யெண்களில், > இன் நிரப்பி ≤.

• ஒரு ஈருறுப்பு உறவின் நேர்மாறின் நிரப்பி, அந்த ஈருறுப்பு உறவின் நிரப்பியின் நேர்மாறாக இருக்கும்.

X = Y எனில் நிரப்பி உறவு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

• சமச்சீர் உறவின் நிரப்பியும் சமச்சீரானது.
• எதிர்வு உறவின் நிரப்பி எதிர்வற்றதாகவும், எதிர்வற்ற உறவின் நிரப்பி எதிர்வு உறவாகவும் இருக்கும்.

நேர்மாறின் நிரப்பியும் இதே பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒடுக்கம்

X கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்பு உறவு R இன் ஒடுக்கம் என்பது X ஐ ஆட்களமாகக் கொள்வதற்குப் பதில் அதன் ஏதேனுமொரு உட்கணத்தை (S) ஆட்களமாகக் எடுத்துக்கொண்டால், அந்த உறவு R இன் ஒடுக்கம் எனப்படுகிறது.

எதிர்வு, எதிர்வற்ற, சமச்சீர், எதிர்சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடப்பு, முழுமை, சமானம் ஆகிய ஈருறுப்புறவுகளின் ஒடுக்கங்களும் அதே தன்மையைக் கொண்டிருக்கும்.

மேற்சான்றுகள்

• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binary relation", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104