ஈருறுப்பு உறவு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு (binary relation) என்பது அக்கணத்தின் உறுப்புகளாலான வரிசைச் சோடிகளின் தொகுப்பு ஆகும்.

அதாவது A கணத்த்தின் மீது வரையறுக்க்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவானது, A கணத்தின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின் (A2 = A × A) உட்கணமாக இருக்கும்.
A , B எனும் இரு கணங்களுக்கு இடையேயான ஈருறுப்பு உறவு A × B இன் உட்கணம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

  • முடிவுறு கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு
A = {1, 2, 3, 4, 5}
இக்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் விடப் பெரியது என்ற ஈருறுப்பு உறவு:
  • முடிவுறா கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு

பகா எண்களின் கணம் P, முழு எண்களின் கணம் Z இரண்டுக்கும் இடையே வரையறுக்கப்படும் வகுஎண் என்ற உறவு ஈருறுப்பு உறவாகும். ஒவ்வொரு பகா எண் p ம் அதன் மடங்காக அமையும் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடன் "வகுஎண்" என்ற உறவின் கீழ் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. p இன் மடங்காக அமையாத முழுஎண்களுடன் p தொடர்பு கொண்டிருக்காது. பகாஎண் 2 ஆனது ...−4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10.... போன்ற இரண்டின் மடங்குகளோடு (இரட்டை முழுஎண்கள்) தொடர்புடையது, ஆனால் 1 , 3, 9 போன்ற இரண்டின் மடங்கற்ற (ஒற்றை எண்கள்) முழுஎண்களுடன் தொடர்பு கொண்டிருக்காது

கணிதத்தில் "விடப் பெரியது, விடச் சிறியது", "சமன்"; எண்கணிதத்தில் "வகுக்கும்"; வடிவவியலில் "சர்வசமம்"; கோட்டுருவவியலில் "அடுத்துள்ளது";நேரியல் இயற்கணிதத்தில் "செங்குத்தானது" போன்ற கருத்துருக்களுக்கு ஈருறுப்பு உறவு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஈருறுப்பு உறவின் சிறப்புவகைக் கருத்துருவாக சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது. கணினியியலிலும் ஈருறுப்பு உறவு மேலதிகப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறை[தொகு]

(X, Y, G) என்ற மும்மையால் ஈருறுப்பு உறவு R குறிக்கப்படுகிறது. இதில், X , Y எவையேனும் இரு கணங்கள். இவ்விரு கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் X × Y இன் உட்கணம் G . X , Y இரண்டும் முறையே ஈருறுப்பு உறவின் ஆட்களம், இணையாட்களம் என்றும், G - உறவின் வரைபடம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

(x,y) ∈ G எனில் x , R-இன் கீழ் y உடன் உறவு கொண்டிருக்கும்.

இதன் குறியீடு:
xRy (அல்லது) R(x,y)
R(x,y) என்ற குறியீட்டின் காரணமாக, X × Y இன் மீதான சுட்டுச் சார்பாக R எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.

G இல் உள்ள ஒவ்வொரு சோடிக்கும் வரிசை முக்கியமானது. ab எனில் aRb , bRa இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராமல் உண்மையாகவோ அல்லது உண்மையில்லாமலோ இருக்கும். முழுஎண்கள் கணத்தில் வகுஎண் என்ற ஈருறுப்பு உறவை எடுத்துக்கொண்டால், 3, 9 ஐ வகுக்கும், 3R9 என்பது உண்மை. ஆனால் 9, 3 ஐ வகுக்காது என்பதால் 9R3 என்பது உண்மை இல்லை.

(X, Y, G) என்ற மும்மையால் வரையறுக்கப்படும் உறவு சிலசமயங்களில் தொடர்பு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.[1]

ஒரே வரைபடம் கொண்ட இரு உறவுகளின் ஆட்களங்களோ அல்லது இணையாட்களங்களோ வெவ்வேறாக இருந்தால் அவ்வுறவுகளும் வெவ்வேறானவை. எடுத்துக்காட்டாக, எனில்,

,
,
மூன்றும் வெவ்வேறு உறவுகள் ( முழு எண்கள் கணம், மெய்யெண்கள் கணம், இயல் எண்கள் கணம்).
கணக் கோட்பாட்டில்

கணக் கோட்பாட்டில், ஈருறுப்பு உறவுகள் வரிசைச் சோடிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன[2][3][4]. ஆட்களம்:

வீச்சு:

ஈருறுப்பு உறவு:

பொதுவான ஈருறுப்பு உறவுகள்[தொகு]

  • சார் உறவு - ஒரு முடிவுறு, சமச்சீர், எதிர்வு உறவு
  • சாரா உறவு - ஒரு சமச்சீர், எதிர்வற்ற உறவு. சார், சாரா உறவுகள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள்.

ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை[தொகு]

n-உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படக்கூடிய வெவ்வேறான ஈறுருப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2n2 (OEIS-இல் வரிசை A002416)

பல்வேறு n-உறுப்பு ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை
n அனைத்தும் கடப்பு எதிர்வு முன்வரிசை உறவு பகுதி வரிசை உறவு முழு முன்வரிசை உறவு முழு வரிசை உறவு சமான உறவு
0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 1 1 1 1
2 16 13 4 4 3 3 2 2
3 512 171 64 29 19 13 6 5
4 65536 3994 4096 355 219 75 24 15
OEIS A002416 A006905 A053763 A000798 A001035 A000670 A000142 A000110

வகைகள்[தொகு]

X கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R இன் சில வகைகள்:

எடுத்துக்காட்டு:
x, xx என்பது உண்மை என்பதால்
"விடப்பெரியது அல்லது சமம்" (≥) என்பது எதிர்வு உறவு
  • எதிர்வற்றது
எந்தவொரு எண்ணும் அதே எண்ணை விடப் பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதால் "விடப் பெரியது" என்பது எதிர்வற்ற உறவு.
விடப்பெரியது அல்லது சமம் ( ≥ ) ஒரு எதிர்சமச்சீர் உறவு.[5]
ஒரு உறவு, எதிர்சமச்சீரானதாகவும், எதிர்வற்றதாகவும் ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்றதாக இருக்க முடியும்[6].
ஒரு கடப்பு உறவு சமச்சீரற்றதாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது எதிர்வற்றதாகும்.[7]
அதாவது, xRy, yRx , x = y ஆகிய மூன்றில் ஏதாவது ஒன்று மட்டுமே உண்மையாகும்.


ஈருறுப்பு உறவுகள் மீதான செயலிகள்[தொகு]

X , Y கணங்கள் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவுகள் R, S எனில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவையும் X , Y மீதான ஈருறுப்பு உறவாக இருக்கும்:

  • ஒன்றிப்பு
RS = { (x, y) | (x, y) ∈ R அல்லது (x, y) ∈ S } எனில்:
RSX × Y
எடுத்துக்காட்டு: > , = ஆகிய இரு ஈருறுப்பு உறவுகளின் ஒன்றிப்பு ≥ .
  • வெட்டு
RS = { (x, y) | (x, y) ∈ R மற்றும் (x, y) ∈ S } எனில்:
RSX × Y
  • தொகுப்பு
X , Y கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு R; Y , Z கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு S எனில், இவ்விரு உறவுகளின் தொகுப்பு, X , Z கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவாகும்.
R இன் நேர்மாறு:
R −1 = { (y, x) | (x, y) ∈ R }.
எடுத்துக்காட்டு:

"விடச் சிறியது" (<) -இதன் நேர்மாறு "விடப் பெரியது" (>).

X கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு R எனில் கீழ்வரும் ஒவ்வொன்றும் ஈருறுப்பு உறவாகும்:

  • எதிர்வு அடைப்பு - R=
R= = { (x, x) | xX } ∪ R
இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய எதிர்வு உறவு.
  • எதிர்வு ஒடுக்கம் - R
R = R \ { (x, x) | xX }
இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகப் பெரிய எதிர்வற்ற உறவு.
  • கடப்பு அடைப்பு - R+
கடப்பு அடைப்பு உறவானது, X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய கடப்பு உறவு. இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட கடப்பு உறவுகளின் வெட்டாக இது அமையும்.

நிரப்பி[தொகு]

X , Y மீதான ஈருறுப்பு உறவு R எனில்:

  • R இன் நிரப்பி உறவு S ம் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.
x S y என்பது உண்மையானால் x R y உண்மையாக இருக்காது.
எடுத்துக்காட்டு:
மெய்யெண்களில், > இன் நிரப்பி ≤.
  • ஒரு ஈருறுப்பு உறவின் நேர்மாறின் நிரப்பி, அந்த ஈருறுப்பு உறவின் நிரப்பியின் நேர்மாறாக இருக்கும்.

X = Y எனில் நிரப்பி உறவு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

  • சமச்சீர் உறவின் நிரப்பியும் சமச்சீரானது.
  • எதிர்வு உறவின் நிரப்பி எதிர்வற்றதாகவும், எதிர்வற்ற உறவின் நிரப்பி எதிர்வு உறவாகவும் இருக்கும்.
நேர்மாறின் நிரப்பியும் இதே பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.

ஒடுக்கம்[தொகு]

X கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்பு உறவு R இன் ஒடுக்கம் என்பது X ஐ ஆட்களமாகக் கொள்வதற்குப் பதில் அதன் ஏதேனுமொரு உட்கணத்தை (S) ஆட்களமாகக் எடுத்துக்கொண்டால், அந்த உறவு R இன் ஒடுக்கம் எனப்படுகிறது.

எதிர்வு, எதிர்வற்ற, சமச்சீர், எதிர்சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடப்பு, முழுமை, சமானம் ஆகிய ஈருறுப்புறவுகளின் ஒடுக்கங்களும் அதே தன்மையைக் கொண்டிருக்கும்.

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. Encyclopedic dictionary of Mathematics. MIT. 2000. பக். 1330–1331. ISBN 0-262-59020-4. http://books.google.co.uk/books?id=azS2ktxrz3EC&pg=PA1331&hl=en&sa=X&ei=glo6T_PmC9Ow8QPvwYmFCw&ved=0CGIQ6AEwBg#v=onepage&f=false. 
  2. Suppes, Patrick (1972) [originally published by D. van Nostrand Company in 1960]. Axiomatic Set Theory. Dover. ISBN 0-486-61630-4. 
  3. Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010) [revised and corrected republication of the work originally published in 1996 by Oxford University Press, New York]. Set Theory and the Continuum Problem. Dover. ISBN 978-0-486-47484-7. 
  4. Levy, Azriel (2002) [republication of the work published by Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York in 1979]. Basic Set Theory. Dover. ISBN 0-486-42079-5. 
  5. Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006), A Transition to Advanced Mathematics (6th ed.), Brooks/Cole, p. 160, ISBN 0-534-39900-2 
  6. Nievergelt, Yves (2002), Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag, p. 158 .
  7. Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Transitive Closures of Binary Relations I. Prague: School of Mathematics – Physics Charles University. p. 1. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf.  Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".

மேற்சான்றுகள்[தொகு]

  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
  • Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=ஈருறுப்பு_உறவு&oldid=1932494" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது