இருவழிக்கோப்பு

இருவழிச் சார்பு, f: X → Y, X = {1, 2, 3, 4}; Y = {A, B, C, D}. எடுத்துக்காட்டு: f(1) = D.

கணிதத்தில் $f:X\rightarrow Y$ என்ற ஒரு சார்பில்/கோப்பில் ஒவ்வொரு $y\in Y$ க்கும் $f(x)=y$ ஆக இருக்கும்படி ஒரே ஒரு $x\in X$ இருக்குமானால் அது அரு இருவழிக்கோப்பு (Bijection) எனப்படும். வேறுவிதமாகச்சொன்னால் $Y$ இலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு $y$ க்கும் $X$ இல் ஒரு தனிப்பட்ட முன்னுரு இருக்கும். X = Y ஆக இருந்தால் அந்த இருவழிக் கோப்பு, வரிசைமாற்றம் ஆகும். ஒரு கணத்தின் அனைத்து வரிசைமாற்றங்களின் கணமானது சமச்சீர் குலமாக இருக்கும். இருவழிக்கோப்புகள் உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரண்டுமாக இருக்கும்.

ஜார்ஜ் கேண்டர் தான் முதன்முதலில் இதைப்பற்றிய ஒரு முக்கியமான தேற்றத்தை நிறுவினார்: அதாவது, X இலிருந்து Y க்கும், Y இலிருந்து X க்கும் இரண்டு உள்ளிடுகோப்புகள் இருந்தால் X, Y இரண்டுக்கும் இடையில் ஒரு இருவழிக்கோப்பு இருந்தாகவேண்டும் என்ற தேற்றம். இதற்கு கேண்டர்-பர்ன்ஸ்டைன் தேற்றம் எனப்பெயர்.

துல்லியமான வரையறை

$f:X\rightarrow Y$ என்ற கோப்பு இருவழிக்கோப்பாவதற்கு இலக்கணம்:

$\forall y\in F,\,\exists x\in E,\,f(x)=y$

எடுத்துக்காட்டுகள்

உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு

இருவழிக்கோப்பு.

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். ஒவ்வொரு பயணிக்கும் அறை வழங்க வேண்டும், ஒரு பயணிக்கு ஒரேயொரு அறை வழங்க வேண்டும் ஆகிய விதிகளுக்கு உட்பட்டு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம். (பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வொரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது முழுக்கோப்பு

சில அறைகள் நிரப்பப்படாமலும், சில அறைகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பயணிகளும் இருக்கும்படி செய்யப்பட்ட கோப்பு, உள்ளிடுகோப்புமல்ல, முழுக்கோப்புமல்ல. இதை வெறும் உட்கோப்பு (into map) என்று மட்டும் சொல்லலாம்.

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது இருவழிக்கோப்பு (bijective map; bijection; one-one onto map). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

= கணித எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்

$f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$

$f(x)=2x-1$

இது ஒரு இருவழிக்கோப்பு. ஏனென்றால் y = 2x - 1 க்குச்சரியானதாக f இன் ஆட்களத்தில் ஒரே ஒரு $(y+1)/2=x$ இருக்கிறது.

மாறாக,

$g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$

$g(x)=x^{2}$

இருவழிக்கோப்பல்ல. இதற்கு இரண்டு காரணங்கள். ஒன்று அது உள்ளிடுகோப்பல்ல; ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, $g(1)=g(-1)$

மற்றும் முழுக்கோப்புமல்ல; ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, $y=-1$ க்கு முன்னுரு கிடையாது.

ஏதாவதொரு காரணமே அது இருவழிக்கோப்பல்ல என்பதற்குப் போதுமானது.

மாறாக, அதே சார்பு $g$ க்கு, ஆட்களத்தையும் இணையாட்களத்தையும் மாற்றி அமைத்து அதை இருவழிக்கோப்பாக்க முடியும்:

$h:\mathbf {R} ^{+}\rightarrow \mathbf {R} ^{+}$

$h(x)=x^{2}$

இது இருவழிக்கோப்பு. ஏனென்றால் ஒவ்வொரு $y$ க்கும் ஒரே ஒரு $x=\surd y$ என்ற முன்னுரு இருக்கிறது.

$f:Z\rightarrow Z$ இங்கு Z முழுஎண்களின் கணம்.

$f(n)=n+1$

இது ஒரு இருவழிக்கோப்பு.

$exp:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$

$f(x)=e^{x}$

இருவழிக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, $\mathbf {R}$இல் $f(x)=-1$ க்குத் தீர்வு கிடையாது.

ஆனால், இணையாட்களத்தை $\mathbf {R} ^{+}=(0,\infty )$ க்கு மாற்றினால், அது இருவழிக்கோப்பாகும். அதனுடைய நேர்மாறு இயல்மடக்கைச்சார்பாகும்.

• $f:\mathbf {R} \rightarrow [-1,1]$

$f(x)=sinx$

இது ஒரு இருவழிக்கோப்பல்ல; ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, ஆட்களத்திலுள்ள $\pi /6$, $5\pi /6$ இரண்டும் 1/2 என்ற ஒரே மதிப்பிற்குச் செல்கிறது.

மாறாக,

• $g:[-\pi /2,\pi /2]\rightarrow [-1,1]$

$g(x)=sinx$இருவழிக்கோப்பாகிறது.

இதர பண்புகள்

முதல் கோப்பு (g) உள்ளிடுகோப்பகவும், இரண்டாவது (f) முழுக்கோப்பாகவும் உள்ள சேர்வை $f\circ g$

• $f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}$ ஒரு இருவழிக்கோப்பானால், அதனுடைய வரைவு ஒவ்வொரு கிடைக்கோட்டையும் ஒரே ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும்.
• $f:X\rightarrow Y$ ஒரு இருவழிக்கோப்பாக இருக்கவேண்டுமென்றால்:

$f\circ g:Y\rightarrow Y=I:Y\rightarrow Y$ மற்றும்

$g\circ f:X\rightarrow X=I:X\rightarrow X$ ஆக இருக்கும்படி

$g:Y\rightarrow X$ என்ற ஒரு கோப்பு இருக்கவேண்டும். இந்த $g$ தான் $f$ இன் நேர்மாற்றுக்கோப்பு; $g$ இன் நேர்மாறு $f$.

• $f\circ g$ ஒரு இருவழிக்கோப்பானால், $f$ முழுக்கோப்பாகவும் $g$ உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்தாகவேண்டும். (படிமம் பார்க்கவும்)
• $f,$ $g$ இரண்டும் இருவழிக்கோப்பாக இருந்தால், $f\circ g$ இருவழிக்கோப்பாக இருக்கும். மேலும்,

$(f\circ g)^{-1}=g\circ f$ ஆக இருக்கும்.

• $X$இலிருந்து $X$க்கே வரையறுக்கப்பட்ட எல்லா இருவழிக்கோப்புகளும் ' $\circ$ என்ற தொகுப்பு விதிக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலம், X இன் சமச்சீர்குலம் எனப்படும். இச் சமச்சீர் குலத்தின் குறியீடு: S(X) அல்லது $S_{X}$

இருவழிக்கோப்பும் எண்ணளவையும்

Xம் Yம் முடிவுறு கணங்களாக இருக்கும்போது Xஇலிருந்து Yக்கு ஒரு இருவழிக்கோப்பு இருக்குமானால், X இலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையும் Y இலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருக்கவேண்டும்.

இவையே முடிவுறாகணங்களாக இருந்தால், இரண்டு கணங்களின் எண்ணளவைகள் ஒன்றாக இருக்கவேண்டும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• முழுக்கோப்பு
• உள்ளிடுகோப்பு

நூலாதாரங்கள்

• Marshall Hall (mathematician) (1959). The Theory of Groups. MacMillan. 
• Wolf (1998). Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 
• Sundstrom (2003). Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. https://archive.org/details/mathematicalreas0000sund. 
• Smith; Eggen; St.Andre (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 
• Schumacher (1996). Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 
• O'Leary (2003). The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 
• Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House. 
• Maddox (2002). Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 
• Lay (2001). Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 
• Gilbert; Vanstone (2005). An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 
• Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 
• Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan. 
• Devlin, Keith (2004). Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 
• D'Angelo; West (2000). Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. https://archive.org/details/isbn_8800003757534. 
• Antonella Cupillari (1989). The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:9780534103200. https://archive.org/details/nutsboltsofproof00anto. 
• Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole. 
• Barnier; Feldman (2000). Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 
• Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 

வெளியிணைப்புகள்

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,
Bijectivity
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Bijection", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Weisstein, Eric W., "Bijection", MathWorld.
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.