இருபடிச் சார்பு

$x^{2}-x-2\!$

கணிதத்தில், இருபடிச் சார்பு (quadratic function) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்பு. இதன் பொதுவடிவம்:

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0.$

இச் சார்பின் வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும். இப்பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சு, y-அச்சுக்கு இணையானதாக அமையும்.

$ax^{2}+bx+c$ என்ற கோவையின் மிக உயர்ந்த அடுக்கு 2 என்பதால் இருபடிச் சார்பு ஓர் இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.

இருபடிச் சார்பை பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்தினால் கிடைப்பது ஓர் இருபடிச் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் அதன் மூலங்கள் என அழைக்கப்படும்.

சொற் பிறப்பியல்

லத்தீன் மொழி சொல்லான quadratum -லிருந்து தோன்றியது quadratic (இருபடி) என்ற ஆங்கில உரிச்சொல். quadratum என்பது சதுரத்தைக் குறிக்கும் சொல்லாகும்.

பொதுவாக, முன்னொட்டு quadr(i) – என்பது எண் 4-ஐக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு: ஆங்கிலத்தில், நான்கு பக்கங்களையுடைய வடிவவியல் வடிவம் quadrilateral என்றும்; கார்ட்டீசிய ஆயமுறைமையில் நான்கு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கப்படும் கார்ட்டீசியன் தளத்தின் ஒவ்வொரு பாகமும் quadrant என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

சதுரத்தின் பக்கங்கள் 4 என்பதால், Quadratum எனும் லத்தீன் சொல் சதுரத்தைக் குறிக்கிறது.

x பக்க அளவுகொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவைக் குறிப்பதால், இயற்கணிதத்தில் x² என்பது x ஸ்கொயர் (square-சதுரம்) என அழைக்கப்படுகிறது.

மூலங்கள்

இருபடிச் சார்பு : $f(x)=ax^{2}+bx+c\,$ -ன் மூலங்கள் என்பவை f(x) = 0 சமன்பாட்டைச் சரிசெய்யும் x -ன் மதிப்புகளாகும்..

கெழுக்கள் a, b, and c மெய்யெண்கள் அல்லது சிக்கலெண்களாக இருந்தால் இருபடிச் சார்பின் மூலங்கள்:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}},$

இங்கு $\Delta =b^{2}-4ac\,.$ என்பது தன்மைகாட்டி (discriminant) எனப்படும்.

வடிவங்கள்

இருபடிச் சமன்பாட்டை மூன்றுவிதமான வடிவங்களில் எழுதலாம்.

• பொது வடிவம்

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$

• காரணி வடிவம்

$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,\!$

இங்கு $x_{1}$ மற்றும் $x_{2}$ இரண்டும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள்.

• உச்சி வடிவம் அல்லது திட்ட வடிவம்

$f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$

இங்கு h மற்றும் k இரண்டும் இருபடிச்சார்பின் வரைபட பரவளையத்தின் உச்சிப்புள்ளியின் x, y அச்சுதூரங்களாகும்.

இம்மூன்று வடிவங்களையும் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைப் பெறுதல் முடியும்:

பொது வடிவத்திலிருந்து காரணி வடிவத்திற்கு மாற்ற இருபடிச் சார்பின் இரு மூலங்கள், $x_{1}$ மற்றும் $x_{2}$-ஐக் கண்டுபிடித்தால் போதுமானது. வர்க்க நிரப்பி முறையைப் பயன்படுத்திப் பொது வடிவத்தைத் திட்ட வடிவத்துக்கு மாற்றலாம். காரணி வடிவிலிருந்து பொது வடிவத்திற்கு மாற்ற, பெருக்கி விரித்தெழுத வேண்டும். திட்ட வடிவிலிருந்து பொது வடிவத்திற்கு மாற்ற, வர்க்கத்தை விரித்து, a -ஆல் பெருக்கிச் சுருக்குதல் வேண்டும்

வரைபடம்

$f(x)=ax^{2},\!$$a=\{0.1,0.3,1,3\}\!$

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{1,2,3,4\}\!$

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}\!$

எந்தவடிவில் இருந்தாலும் இருபடிச் சார்பின் வரைபடம் மேலேயுள்ள படத்தில் தரப்பட்டுள்ளபடி ஒரு பரவளையமாகும்.

• $a>0\,\!$ பரவளையம் மேல்நோக்கித் திறப்புடையது.
• $a<0\,\!$ பரவளையம் கீழ்நோக்கித் திறப்புடையது.

பரவளையம் உச்சிப்புள்ளியிலிருந்து கூடும்(குறையும்) வேகமானது, கெழு a -ன் மதிப்பைப் பொறுத்தது. a -ன் மதிப்பு பெரிய மிகை எண்ணாக இருந்தால் கூடும் வேகம் அதிகமாகவும் வரைபடம் அதிகமாக மூடியுள்ள மாதிரி அமையும்.

கெழுக்கள் b மற்றும் a இரண்டும் சேர்ந்து பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சையும் உச்சிப்புள்ளியின் x அச்சு தூரத்தைத் தீர்மானிக்கின்றன. உச்சிப்புள்ளியின் x அச்சுதூரம்: $x=-{\frac {b}{2a}}$.

y அச்சு வெட்டும்போது பரவளையத்தின் கீழ்முக சாய்வு, கெழு b ஆகும்.

கெழு c, பரவளையத்தின் உயரத்தைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. y = c புள்ளியில் பரவளையமானது y அச்சை சந்திக்கிறது.

உச்சிப்புள்ளி

பரவளைய வளைகோட்டின் திசைப்போக்கு உச்சிப்புள்ளியில் மாறுவதால் உச்சிப்புள்ளி, திருப்பு புள்ளி எனப்படும். இருபடிச் சார்பு உச்சி வடிவில் தரப்பட்டுள்ளபோது அதன் உச்சிப்புள்ளி $(h,k)\,\!$ ஆகும்.

வர்க்க நிரப்பிமுறையைப் பயன்படுத்தி பொது வடிவம்

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ -லிருந்து

$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}},$ என உச்சிப்புள்ளி வடிவிற்கு மாற்ற,

உச்சிப்புள்ளியின் பொது வடிவம்:

$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)$

இருபடிச் சார்பு காரணி வடிவிலிருக்கும்போது,

$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$

இருமூலங்களின் சராசரியான ${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$ என்பது உச்சிப்புள்ளியின் x-அச்சுதூரமாகும். எனவே உச்சிப்புள்ளி:

$\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right)\!$

$a<0\,\!$ எனில் உச்சிப்புள்ளி பெருமப் புள்ளியாகவும் $a>0\,\!$ எனில் சிறுமப் புள்ளியாகவும் இருக்கும்.

• சமச்சீர் அச்சு:

$x=h=-{\frac {b}{2a}}$ சமன்பாடு தரும் நிலைக்குத்துக் கோடு உச்சிப்புள்ளி வழியே செல்லும். இது பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சாகும்.

• பெரும மற்றும் சிறுமப் புள்ளிகள்

இருபடிச் சார்பின் வகைக்கெழுச் சார்பின் மூலங்களைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளியாக அமையும் உச்சிப்புள்ளியைப் காணலாம்.

$f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!,$ (இருபடிச் சார்பின் முதல் வகைகெழு.)

இச்சார்பைப் பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்த,

$x=-{\frac {b}{2a}}$ என்ற உச்சிப்புள்ளியின் x -அச்சுதூரம் கிடைக்கிறது. x -ன் இந்த மதிப்பைச் சார்பில் பிரதியிட,

$f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}=-{\frac {\Delta }{4a}}\,\!,$

எனவே உச்சிப்புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்:

$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right).$

வர்க்க மூலம்

இருபடிச் சார்பின் வர்க்க மூலத்தின் வரைபடம் நீள்வட்டம் அல்லது அதிபரவளையமாக அமையும்.

• $a>0\,\!$ எனில், சமன்பாடு $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ ஒரு அதிபரவளையத்தைக் குறிக்கும். இந்த அதிபரவளையத்தின் அச்சானது, சமன்பாடு $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ தரும் பரவளையத்தின் சிறுமப் புள்ளியின் y -அச்சுதூர நிலைக்கோட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

y -அச்சுதூரம் எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் அதிபரவளையத்தின் அச்சு கிடைமட்டமாகவும் நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் நிலைக்குத்தாகவும் இருக்கும்.

• $a<0\,\!$ எனில் சமன்பாடு $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ ஒரு நீள்வட்டமாகவோ அல்லது எதையும் குறிக்காமலோ இருக்கலாம். சமன்பாடு, $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ தரும் பரவளையத்தின் பெருமப் புள்ளியின் y -அச்சுதூரம் நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் சமன்பாடு : $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ ஒரு நீள்வட்டமாகவும் எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் புள்ளிகளின் வெற்று இயங்குவரையாகயும் (empty locus) அமையும்.

இருமாறி இருபடிச் சார்பு

இருமாறி இருபடிச் சார்பு (bivariate quadratic function) என்பது பின்வரும் வடிவில் அமைந்த இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்.

$f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$

இச்சார்பு ஒரு இருபடிப் பரப்பைக் குறிக்கும். $f(x,y)\,\!$ = 0 என்பது $z=0\,\!$ எனும் தளத்தை இப்பரப்பு வெட்டுவதை விளக்கும். இந்த வெட்டுப்பகுதி கூம்பு வெட்டுக்குச் சமானமான இயங்குவரையாகும்.

பெருமம் மற்றும் சிறுமம்

• $4AB-E^{2}<0\,$ எனில் இருமாறி இருபடிச் சார்புக்கு பெருமமும் சிறுமமும் கிடையாது. அதன் வரைபடம் ஒரு அதிபரவளைய பரவளையத்திண்மமாகும்.
• $4AB-E^{2}>0\,$ எனில் இச்சார்பு A>0 எனும்போது சிறும மதிப்பும் A<0, எனும்போது பெரும மதிப்பும் அடைகிறது. சார்பின் வரைபடம் ஒரு நீள்வளைய பரவளையத்திண்மமாகும்.

பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளி: $(x_{m},y_{m})\,$

$x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}$

$y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}$

• $4AB-E^{2}=0\,$ and $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ எனில் இச்சார்புக்கு பெருமமும் சிறுமமும் கிடையாது. வரைபடம் ஒரு பரவளைய உருளையாகும்.
• $4AB-E^{2}=0\,$ and $DE-2CB=2AD-CE=0\,$ எனில் சார்பு பெருமம்/சிறுமம் அடைகிறது. A>0 எனில் சிறுமமும் A<0, எனில் பெருமமும் அடைகிறது. வரைபடம் ஒரு பரவளைய உருளையாகும்.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Quadratic", MathWorld.