இராமானுசன் கூட்டு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
இக்கட்டுரை இராமானுசன் கூட்டுகை (Ramanujan summation) என்பது பற்றியது அன்று

கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான எண்கோட்பாட்டியலில், இராமானுசன் கூட்டு (Ramanujan's sum), என்பதைப் பொதுவாக cq(n), எனக்குறிப்பது வழக்கம். இது நேர்ம எண் மாறிகள் q, n ஆகியவற்றால் ஆன சார்பியம் (சார்பு). இதனைக் கீழ்க்காணும் சூத்திரத்தால் குறிக்கலாம்

c_q(n)=
\sum_{a=1\atop (a,q)=1}^q
e^{2 \pi i \tfrac{a}{q} n}
,

மேலுள்ளதில் (a, q) = 1 என்னும் குறியீடு என்ன குறிக்கின்றதென்றால், a என்பது q என்னும் எண்ணோடு ஒப்பீட்டு பகா எண்ணின் (co-prime) மதிப்புகளை மட்டுமே கொள்ளும் என்று பொருள்.

சீனிவாச இராமானுசன் இந்த கூட்டு வாய்பாட்டை 1918 ஆய்வுத்தாளில் அளித்தார்[1] இக் கூட்டு வாய்பாட்டினை வினோகிராடோவ் தேற்றத்தை(Vinogradov's theorem)நிறுவுவதில் பயன்படுத்தியுள்ளார்கள். இத்தேற்றம் மிகப்பெரிய ஒற்றைப்படை எண்கள் ஒவ்வொன்றும் மூன்று பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகை என கூறுகின்றது[2]

இராமானுசன் கூட்டு அட்டவணை[தொகு]

Ramanujan Sum cs(n)
  n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1
3 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2
4 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2
5 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4
6 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2
7 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1
8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0
9 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3
10 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4
11 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
12 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4
13 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1
14 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1
15 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8
16 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0
17 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 16 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
18 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3 0 0 3 0 0 6 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3
19 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 18 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
20 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 8 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8
21 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2 1 1 −2 1 −6 −2 1 1 −2 1 1 12 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2
22 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −10 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 10 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1
23 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 22 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
24 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 −8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 4 0 0
25 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 20 0 0 0 0 −5
26 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −12 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 12 1 −1 1 −1
27 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0
28 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −12 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 12 0 2
29 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 28 −1
30 −1 1 2 1 4 −2 −1 1 2 −4 −1 −2 −1 1 −8 1 −1 −2 −1 −4 2 1 −1 −2 4 1 2 1 −1 8

அடிக்குறிப்புகள்[தொகு]

  1. Ramanujan, On Certain Trigonometric Sums ...

    These sums are obviously of great interest, and a few of their properties have been discussed already. But, so far as I know, they have never been considered from the point of view which I adopt in this paper; and I believe that all the results which it contains are new.

    (Papers, p. 179). In a footnote cites pp. 360–370 of the Dirichlet-Dedekind Vorlesungen über Zahlentheorie, 4th ed.
  2. Nathanson, ch. 8


உசாத்துணையும் நூற்பட்டியலும்[தொகு]

  • Hardy, G. H. (1999), Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0821820230 
  • Knopfmacher, John (1990), Abstract Analytic Number Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-66344-2 
  • Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory: the Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics, 164, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94656-X  Section A.7.
  • Ramanujan, Srinivasa (1918), "On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers", Transactions of the Cambridge Philosophical Society 22 (15): 259–276  (pp. 179–199 of his Collected Papers)
  • Ramanujan, Srinivasa (1916), "On Certain Arithmetical Functions", Transactions of the Cambridge Philosophical Society 22 (9): 159–184  (pp. 136–163 of his Collected Papers)
  • Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0821820766 
"http://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=இராமானுசன்_கூட்டு&oldid=1355463" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது