இயற்கணித எண் புலம்

 கணிதத்தில், ஒரு இயற்கணித எண்புலம் (அல்லது எண்  புலம்) F என்பது  ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட படி(மற்றும் அதனோடு இயற்கணித) புலம் விரிவாக்கம் கொண்ட விகிதமுறு எண்களின் புலனாகும்.எனவே F என்பது ஒரு விகிதமுறு எண்Q களை கொண்டது மற்றும் வரையறுக்கப்பட்ட  புலனாகும் எப்பொழுது எனில் விகிதமுறு எண்Q களை கொண்ட   வெக்டார் வெளியாக இருக்கும் போது மட்டுமே.

 இயற்கணித எண்புலம் துறைகளின் ஆய்வு, மற்றும், பொதுவாக,  இயற்கணித புலன்களின் விரிவாக்கத்தின் விகிதமுறு எண்களானது, இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் மையப் பொருளாகும்.

வரையறை

முன்நிபந்தனைகள்

இயற்கணித எண் புலத்தின் குறியீடு ஒரு புலத்தின்  கருத்தை நம்பியுள்ளது. ஒரு புலமானது கண உறுப்புகளின் ஒருங்கிணைந்த இரு செயல்பாடுகளையும் , அதாவது கூடுதல், மற்றும் பெருக்கல், மற்றும் சில பங்கீடுகளின் ஊகங்களாகும். ஒரு முக்கிய எடுத்துக்காட்டு ஒரு புலம் என்பது விகிதமுறு  எண்களின் புலமாகும், இது பொதுவாக Q மற்றும் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் ஒருங்கிணைந்த  செயல்பாடுகளை  குறிக்கிறது.

இயற்கணித எண்ணியல் புலத்தினை வரையறுக்க மற்றொரு தேவைப்படுவது வெக்டர் வெளிகள். இங்கே வரையறுக்க தேவையன , வெக்டார் வெளிகள் ஆனது சார்புகளை உள்ளடக்கியது (அல்லது டூப்ளிஸ்)

(x₁, x₂, ...)

இந்த உள்ளீடுகளானது ,நிலையான புலன்களின் உறுப்புகளாகும். அதாவது புலன் Q. எந்தவொரு இரண்டு சார்புகளும் ஒன்றுக்கு ஒன்றுக்கு உள்ளீடுகளை சேர்ப்பதன் மூலம் சேர்க்கலாம்.மேலும், எந்தவொரு சார்பும் நிலையான புலன்களின் ஒரு உறுப்பு c யால்  பெருக்கப்படும்.வெக்டர் கூடுதலாகவும் ஸ்காலர் பெருக்கல் எனவும் அறியப்படும் இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளும் சுருக்கமாக வெக்டர் வெளிகளை வரையறுக்க உதவும் பல பண்புகளை பூர்த்தி செய்கின்றன.வெக்டர்  வெளிகள் "முடிவிலா-பரிமாண" ஆக அனுமதிக்கப்படுகின்றன, அதாவது வெக்டர் வெளிகளைக் கொண்டிருக்கும் சார்புகள் முடிவிலா நீளம் உடையவை. ஆயினும், வெக்டர் வெளிகள் முடிவுள்ள சார்புகளை  கொண்டிருக்கும்

(x₁, x₂, ..., x_n),

வெக்டர் வெளிகள் என்பது முடிவுள்ள  பரிமாணமாகும், n.

வரையறை

ஒரு இயற்கணித எண் புலன் (அல்லது அல்லது எண் புலம்) என்பது விகிதமுறு எண்களின் புலத்தின், முடிவுறு வரையறுக்கப்பட்ட புலன் படி ஆகும். இங்கேபடி என்பதன் பொருள் வெக்டர் வெளி Q.இன்  புலன் பரிமாணமாகும்.

உதாரணங்கள்

• சிறிய மற்றும் மிகவும் அடிப்படை எண் புலனானது  விகிதமுறு எண்களின் புலன்களை உள்ளடக்கியது. பொதுவான எண் புலன்களின் பல பண்புகள் Q இன் பண்புகளை மாதிரியாக மாற்றியமைக்கப்படுகின்றன..
• காஷியன் விகிதமுறுகள், Q (i) ("Q ஆல் இணைக்கப்பட்ட i" எனக் குறிக்கப்பட்டது) இது  ஒரு எண் புலத்தில் முதல் ஒருமையற்ற உதாரணமாக அமைந்தது. அதன் உறுப்புகளின் தொடர்வடிவம் 

a+bi

இங்கு a மற்றும் b இரண்டும் விகிதமுறு எண்கள் மற்றும் i என்பது  கற்பனை அலகு. வழக்கமான எண்கணித விதிகளின் படி,இத்தகைய தொடர்களை கூட்டலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் பெருக்கலாம் மற்றும்  , பண்புகளை பொருத்து சுருக்கலாம்.

i² = -1.

வெளிப்படையாக,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

பூஜ்யம் அல்லாத காஸியன் விகிதமுறு எண்கள், நேர்மாறு உறுப்பு ஆகும், இது உருவாக்கப்படும் ஒருங்கமைவானது

$(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.$

காசியன் விகிதமுறு ஆனதுQ-  வெக்டர் வெளி என்ற இரு பரிமாணங்களைக் கொண்ட  எண்புலனை உருவாக்குகிறது

• பொதுவாக, எந்த சதுர-சார்பு முழு எண் d, இருபடி புலத்திற்கும்.

Q(√d)

விகிதமுறுஎண்களின் புலம் d இன் சதுர மூலத்தை சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட ஒரு எண் இது. இந்த துறையில் எண்கணித செயல்பாடுகளை காசியன் விகிதமுறு எண்கள்,d = − 1.ஆகியவற்றுடன் ஒத்தவையாக வரையறுக்கப்படுகின்றன.

• சைக்ளோடமிக் புலம்

Q(ζ_n),   ζ_n = exp (2πi / n)

 இது ஒரு விகிதமுறு எண்களின் புலனானது , இணைத்து பெறப்பட்ட nth மூலங்கள் ஒருங்கமைவு ζn. இந்தத் புலனானது சிக்கலெண்ணின் nth மூலங்கள் ஒருங்கமைவு மற்றும், Q உடன் அதன் பரிமாணமும் φ (n) க்கு சமமாக இருக்கும், அங்கு φ என்பதுஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு ஆகும்.

• மெய் எண்கள், R மற்றும் சிக்கலான எண்கள், C ஆகியவை, Q- வெக்டர் வெளிகள் என முடிவிலா பரிமாணத்தை கொண்டிருக்கும் புலன்கள்ஆகும், எனவே அவை எண் புலன்கள் அல்ல. R மற்றும் C ஆகியவற்றின் எண்ணிகையற்ற கணமாகும், ஒவ்வொரு எண்ணும் புலமானது கணிசமான எண்ணிகையுடையதாக இருக்கும்.
• விகிதமுறு எண்களின் தொகுப்பு Q 2 இன் வரிசைச் சோடி, உள்ளீடு கூடுதலாகவும் பெருக்கலுடனும் Q- இன் இரு பரிமாண பரிமாற்றமுள்ள இயற்கணிதம் ஆகும். இருப்பினும், இது ஒரு புலம் அல்ல, ஏனெனில்  அது பூஜ்ய வகுத்திகள் ஆகும்

(1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).