இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
இரு மாறிகளுக்கிடையேயான தொடர்பில் தோற்றமுரண்: தனித்தனியாகப் பார்க்கையில் ஊதா நிறப் புள்ளிகளைக் கொண்ட தொடர்பும் சிவப்புப் புள்ளிகள் காட்டும் தொடர்பும் மேல்நோக்கி இருந்தாலும் இரண்டையும் சேர்த்த குழுவில் தொடர்பு இறங்குமுகமாக உள்ளதைக் கருப்புக் கோட்டில் காணலாம்.

புள்ளியியலிலும் நிகழ்தகவுக் கணிப்பிலும் இந்தத் தோற்றமுரண் காணப்படுகின்றது. இத்துறையில் இருவேறு குழுக்களின் இயைபுகள் அவற்றை இணைத்துப் பார்க்கையில் தலைகீழாகும் விளைவை சிம்புசனின் தோற்றமுரண் (Simpson's paradox) என்றும் இணைக்கையில் தலைகீழாகும் தோற்றமுரண் என்றும் வழங்குவர். இவ்விளைவு சமூகவியலிலும் மருத்துவ ஆய்வுகளிலும் அடிக்கடி ஏற்படுகிறது.[1] எடுத்துக்காட்டாக ஒரு மருந்தை ஆண்களில் ஆய்வு செய்யும்போதும் பெண்களில் ஆய்வு செய்யும்போதும் மற்றொரு மருந்தைக் காட்டிலும் நல்லதாகத் தென்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் ஆண்-பெண் எனப் பாராமல் பொதுமக்களில் ஆய்வு நிகழ்த்தும்போது வெற்றிவிகிதம் தலைகீழாக இருக்கலாம்.

ஓர் இயைபில் தூண்டல் எது, விளைவு எது என்ற குழப்பத்தை இத்தோற்றமுரண் இன்னும் கூட்டுகிறது.[2] இவ்விளைவைப் பற்றிப் புள்ளியலாளர்கள் நன்கு அறிந்துள்ளனர்.[3][4] இதைப் பற்றிப் பொதுமக்களிடையேயும் போதிய அறிமுகத்தை ஏற்படுத்துவதன் மூலம் ஆய்வு முடிவுகளை அவர்கள் சரியாகப் புரிந்து கொள்ள முடியும் எனக் கருதுகின்றனர்.[5][6]

1951-ஆம் ஆண்டு எடுவர்டு சிம்புசன் இவ்விளைவை விளக்கிக் கட்டுரை எழுதினார்[7] என்றாலும் 1899-இல் கார்ல் பியர்சன் குழுவினரும்[8] 1903-இல் உதினி இயூலும்[9] இதையொத்த விளைவுகளைப் பற்றி எழுதியுள்ளனர். 1972-இல் கோலின் பிலித்து என்பவர் இவ்விளைவை சிம்புசனின் தோற்றமுரண் எனக் குறித்தார்.[10] பரவலாக சிம்புசனின் தோற்றமுரண் என்றோ இயூல்-சிம்புசன் விளைவு (Yule–Simpson effect) என்றோ அறியப்பட்டாலும் இதை முதன்முதலாகச் சிம்புசன் கண்டுபிடிக்கவில்லை என்பதால் பலர் இணைப்பு தோற்றமுரண், தலைகீழ் தோற்றமுரண் போன்ற பெயர்களில் அழைக்கின்றனர்.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

சில வேளைகளில் கணிதப்பிரிவில் உதவித்தொகை பெற்ற ஆண் மாணவர்களின் விழுக்காடும், இயற்பியலில் உதவித்தொகை பெற்ற ஆண் மாணவர்களின் விழுக்காடும் முறையே அவ்வப் பிரிவுகளில் உதவித்தொகை பெற்ற பெண்களின் தேர்ச்சி விழுக்காட்டை விடக் கூடுதலாக இருப்பது போலத் தோன்றினாலும் மொத்தமாக இரண்டு பாடங்களையும் சேர்த்துப் பார்த்தால் உதவித்தொகை பெற்ற பெண்களின் விழுக்காடே கூடுதலாக இருப்பதைப் பார்க்கலாம்.

இப்புனைவு எடுத்துக்காட்டில் கூடுதல் தேர்ச்சி வாய்ப்பைக் கொண்ட இயற்பியலில் மிகுதியான மாணவிகள் விண்ணப்பித்துக் குறைவான விழுக்காட்டில் தேர்ச்சி பெற்றிருந்தாலும் மொத்த எண்ணிக்கையில் அவற்றின் மதிப்பு தெரிகிறது. அதேபோலக் குறைவான தேர்ச்சி வாய்ப்பை உடைய கணிதப்பிரிவில் நிறைய மாணவர்கள் விண்ணப்பித்து மாணவிகளைக் காட்டிலும் கூடுதல் விழுக்காட்டில் தேர்ந்திருந்தாலும் மொத்த எண்ணிக்கையில் தேர்ச்சியடையாத மாணவர் எண்ணிக்கை கூடுகிறது. இதனாலேயே முரணான நிகழ்வுபோலத் தென்படுகிறது.

தேர்தல் வெற்றிப் புள்ளிகள்[தொகு]

சில நேரங்களில் தேர்தலில் ஓர் அணி மொத்த வாக்கு எண்ணிக்கையில் முதலாவதாக வந்தும் குறைவான தொகுதிகளிலேயே வெற்றி பெறும் நிலை இருப்பதுண்டு. அந்த அணி வாக்காளர் எண்ணிக்கை கூடுதலாக உள்ள தொகுதிகளில் அதிக வாக்குகளைப் பெற்று சில இடங்களில் மட்டும் வெற்றி பெற்றிருக்கும். அதே போன்ற வேறு சில பெரிய தொகுதிகளில் சிறிய வேறுபாட்டில் தோல்வியையும் கண்டிருக்கும். ஆனால் மாற்று அணியினர் பல தொகுதிகளிலும் சிறிய வேறுபாட்டுடன் வெற்றி பெற்றிருப்பார்கள். அதனால் ஒப்பீட்டளவில் குறைந்த வாக்குகளைப் பெற்றிருந்தாலும் கூடுதல் தொகுதிகளில் வென்று ஆட்சியைக் கைப்பற்றும் வாய்ப்பைப் பெறுவார்கள். காட்டாக, 2005-ஆம் ஆண்டு ஐக்கிய இராச்சியத்தில் நடைபெற்ற பொதுத்தேர்தலில் 35.2 விழுக்காடு வாக்குகளை மட்டுமே பெற்றிருந்த உழைப்பாளர் கட்சி 40.7 விழுக்காடு இடங்களைக் கைப்பற்றி ஆட்சி அமைத்தது.[11] இவ்விளைவினால்தான் கடைசிநேரம் முடிவு செய்யும் கட்சிசாரா வாக்காளர்களின் வாக்குகளும் சில சிறு கட்சிகளின் வாக்குகளும் முதன்மை பெறுகின்றன. கருத்துக் கணிப்புகள் முற்றிலும் தவறாகப் போகும் வாய்ப்பும் இதனால் கூடும். தேர்தல் கணிப்பியலாளர்கள் இதை அலசுவர். இதையொத்த தோற்றமுரண் அமெரிக்க குடியரசுத்தலைவர் தேர்தலில் நடைபெற்றுள்ளது. 2000-ஆம் ஆண்டு தேர்தலில் சியார்ச்சு புசு அல் கோரைக் காட்டிலும் குறைவான நேரடி வாக்குகளையே பெற்றிருந்தாலும், தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையில் கூடுதலாகப் பெற்று குடியரசுத் தலைவராகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார்.[12]

சிறுநீரகக் கல்லுக்கான மருத்துவம்[தொகு]

சிறுநீரகக் கற்களுக்கான மருத்துவ முறைகளைப் பற்றிய ஆய்வு ஒன்றின் முடிவுகள் ஒன்றுக்கொன்று முரண்படுவது போல இருந்தன.[13][14]

இருவேறு மருத்துவ முறைகள் சிறிய மற்றும் பெரிய கற்களுக்கான தீர்வில் எவ்வளவு வெற்றி பெற்றன என்பதைக் கீழேயுள்ள புள்ளிகள் காட்டுகின்றன. குறியிட்ட முறையில் சிறுநீரகத்தை அறுத்துக் கல்லை நீக்குவர், குறியிட்ட முறையில் தோலில் சிறுதுளையிட்டுக் கல்லை நீக்குவர்.:

முறை - அ முறை - ஆ
சிறு கற்கள் குழு 1
93% (81/87)
குழு 2
87% (234/270)
பெருங்கற்கள் குழு 3
73% (192/263)
குழு 4
69% (55/80)
வகைப்படுத்தாத மொத்தம் 78% (273/350) 83% (289/350)

இங்கே பார்த்தால் முறை சிறிய கற்களுக்கும், பெரிய கற்களுக்கும் தனித்தனியே சிறந்த முறையாகத் தெரிகிறது. ஆனால், மொத்த புள்ளிகளைப் பார்த்தால் முறை மேம்பட்டதாகத் தெரிகிறது. கல் பருமன் ஒரு முக்கிய குழப்ப மாறி என்பதை இது உணர்த்துகிறது.

எந்தச் சிகிச்சை மேம்பட்டது என்பதை எவ்வளவு விழுக்காடு வெற்றி பெற்றது என்பதைப் பொறுத்து மட்டும் பார்த்தோம். அங்கே கற்களைத் தனித்தனியாக வகைப்படுத்திப் பார்க்கும்போது முரணான முடிவு கிடைக்கிறது. இது பின்வரும் காரணங்களால் நிகழ்கிறது:

  1. சிகிச்சை முறைகளைப் பயன்படுத்திய எண்ணிக்கை மிகவும் வேறுபடுகிறது. அதிலும் எவ்வெவ் இடங்களில் எந்தமுறையைக் கையாண்டுள்ளனர் என்பதையும் பார்க்க வேண்டும். மருத்துவர்கள் சிக்கலான பெரிய கற்களுக்கே (குழு 3; 263 முறை) பெரும்பாலும் முறையைக் கையாண்டுள்ளனர். குறைவான தோல்வி வாய்ப்பு உள்ள இடங்களில் மட்டும் முறையை மிகுதியாகக் கையாண்டுள்ளனர் (குழு 2: 270 முறை). அதனால் பெட்டியில் மூன்றாவதும் இரண்டாவதும் உள்ள அறைகளில் இருக்கும் புள்ளிகளே முடிவில் முக்கியத்துவம் பெற்றுள்ளன.
  2. வெற்றி வாய்ப்பு குறைவாக உள்ள முறையைச் சிறிய கற்களுக்குப் பயன்படுத்தும்போது முறையைப் பெரிய கற்களுக்குப் பயன்படுத்தும்போது பெற்ற வெற்றியைக் காட்டிலும் கூடுதலாக உள்ளது. இங்கே சிகிச்சை முறையைக் காட்டிலும் நோயின் தன்மை (அதாவது கல்லின் பருமன்) தான் வெற்றியை முடிவு செய்வதில் பெரும்பங்கு வகித்துள்ளது.

பெர்க்கிளி பால்சார்புக் குற்றச்சாட்டு[தொகு]

பெர்க்கிளியில் உள்ள கலிஃபோர்னியாப் பல்கலைக்கழகத்தின் மீது எழுந்த பால்சார்புக் குற்றச்சாட்டு வழக்கு ஒன்று சிம்புசனின் தோற்றமுரணுக்கான நிகழ்வாழ்வு எடுத்துக்காட்டு ஆகும். 1973-ஆம் ஆண்டு அப்பல்கலைக்கழகத்தில் முதுநிலைக் கல்விக்கு விண்ணப்பித்த நபர்களிடையே ஆண்களில் மட்டும் கூடுதல் விழுக்காட்டினருக்கு இடம் கிடைத்திருந்தது என்பது குற்றச்சாட்டு. இவர்களின் விகிதம், பெண் விண்ணப்பதாரர்களில் இடம் கிடைத்தவர்களின் விழுக்காட்டைக் காட்டிலும் மிகுதியாக உயர்ந்து இருந்தது. அந்த அளவு வேறுபாடு தற்செயலாக நிகழ்ந்திருக்க முடியாதெனக் கருதினர்.[3][15]

விண்ணப்பித்தவர்கள் இடம் கிடைத்தவர்கள்
ஆண்கள் 8442 44%
பெண்கள் 4321 35%

ஆனால், துறைவாரியாக இடம் பெற்றவர்களின் புள்ளிகளைப் பார்க்கையில் பெண்களுக்கு எதிரான சேர்க்கை இருக்கவில்லை. உண்மையில் பார்த்தால் ஒரு சிறு அளவு சாய்வு பெண்களுக்கு ஆதரவாகத்தான் இருந்தது.[15] ஆறு மிகப்பெரிய துறைகளின் புள்ளிவிவரம் பின்வருவது.

துறை ஆண்கள் பெண்கள்
விண்ணப்பித்தவர் இடம் கிடைத்தவர் விண்ணப்பித்தவர் இடம் கிடைத்தவர்
825 62% 108 82%
560 63% 25 68%
325 37% 593 34%
417 33% 375 35%
191 28% 393 24%
272 6% 341 7%

பிக்கல் நடத்திய ஆய்வின்[15] முடிவில் குறைவான சேர்க்கையுடைய ஆங்கில இலக்கியம் போன்ற துறைகளில் மிகுதியான பெண்களும், அதிக இடங்களைக் கொண்ட பொறியியல், வேதியியல் துறைகளுக்குக் குறைவான எண்ணிக்கையிலான பெண்களும் விண்ணப்பித்திருந்ததே இந்த முரணுக்குக் காரணம் என்று அறிந்தனர். பியர்ள் என்பவர் தனது காசாலிட்டி (காரணத் தொடர்பு எனப் பொருள்படும் ஆங்கிலச்சொல்) என்ற நூலில் சேர்க்கைப் புள்ளிகள் எவ்வாறு இருந்தால் அது சாய்வின்மையைக் காட்டுமென விளக்கியுள்ளார்.[2]

மட்டையாளரின் தர அளவைத் தோற்றமுரண்[தொகு]

துடுப்பாட்டத்தில் அடுத்தடுத்த ஆசசு தொடர்களில் மார்க்கு வாவும் இசுட்டீவு வாவும் தங்களுக்குள் ஒரு போட்டி வைத்துக் கொண்டு பேசுவதாக அமைந்த எடுத்துக்காட்டு சிம்புசனின் முரண்பாட்டை விளக்கப் பயன்படுகிறது.[16] இவ்விளைவு அடிப்பந்தாட்டத்திலும் ஏற்படுவதை அறிந்துள்ளனர்.

திசைவெளிப் பார்வை[தொகு]

ஈரச்சு திசையன்வெளியில் சிம்புசனின் தோற்றமுரண் (இரு அச்சுக்களும் வெவ்வேறு ஒப்பளவு நீட்டம் கொண்டவை).

ஓர் ஈரச்சு திசையன் வெளியில் இத்தோற்றமுரணைக் காட்டலாம்.[17] வெற்றி வாய்ப்பு என்பதை சரிவைக் கொண்ட திசையனைக் கொண்டு குறிக்கலாம். , எனும் வெற்றிவாய்ப்புக்களைச் சேர்த்தால் கிடைக்கும் வெற்றிவாய்ப்பை , திசையன்களைக் கூட்டிப் பார்த்தால் அறியலாம். இணைகர விதியின்படி அத்திசையன்களின் கூட்டு என்ற சரிவைக் கொண்ட எனும் திசையனாகும்.

நீல நிறக் கோடுகளால் குறிக்கப்பட்ட இரு திசையன்களும் முறையே அவற்றின் ஒத்த சரிவைக் கொண்ட சிகப்புக் கோட்டுத் திசையன்களைக் காட்டிலும் குறைவான சரிவைக் கொண்டிருந்தாலும் அவற்றின் கூட்டு சிகப்புக் கோட்டுத் திசையன்களின் கூட்டைக் காட்டிலும் கூடுதல் சரிவைக் கொண்டிருப்பதைக் காணலாம்.

இம்முரண்தோற்றத்தின் உளவியற் பின்புலம்[தொகு]

இவ்விளைவை மனித மனம் ஏற்பதில் என்ன தடை என்பதை அறியும் பொருட்டு உளவியலாளர்கள் ஆய்வு செய்கின்றனர். ஆண்களுக்கும் பெண்களுக்கும் நலம்புரியும் மருத்துவம் பொதுவாக மக்களுக்கு என்று பார்த்தால் அவ்வளவு பயன் தருவதில்லை என்கிற முடிவை எளிதாக ஏற்க முடிவதில்லை. அதற்குக் காரணமான ஆழ்நிலை அறிவு என்ன, அது எத்தகைய வடிவில் மூளையில் பதிந்துள்ளது என்று அறிய முற்படுகிறார்கள். வினைகளுக்கும் விளைவுகளுக்கும் இடையேயான அடிப்படையான தூண்டல் ஏரணம் ஒன்று மூளைக்குள் இருக்க வேண்டுமென மெய்யியலாளர்கள் நினைக்கிறார்கள். இவ்வேரணத்தை ஒட்டியது சாவேசு என்பவர் முன்மொழிந்த "மாறாநிலைக் கோட்பாடு" (sure thing principle) ஆகும்.[10] அக்கோட்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட வழிமுடிவை பியர்ளின் 'வினை' கால்குலசிலிருந்து பெறலாம்.[2] அது கூறுவது: " எனும் வினை, என்னும் குழுவில் இருக்கும் என்று எண்ணுறும் உட்குழு ஒவ்வொன்றிலும் எனும் நிகழ்வின் வாய்ப்பைக் கூட்டுமானால், மொத்த குழுவிலும் வுக்கான வாய்ப்பைக் கூட்டத்தான் வேண்டும். ஒருவேளை அவ்வினை உட்குழுக்களின் அமைப்பை மாற்றினால் மட்டுமே வேறு வகையில் இருக்கும்."

முடிவெடுப்பதில் இம்முரண்தோற்றத்தின் தாக்கம்[தொகு]

முடிவெடுக்கும்போது உட்குழுக்களுக்கான நிகழ்தகவுத் தரவுகளை எடுத்துக் கொள்வதா அல்லது மொத்த குழுவுக்கான நிகழ்தகவை எடுத்துக் கொள்வதா என்ற குழப்பமே இம்முரண்தோற்றத்தின் நடைமுறைச் சிக்கல். மேலே தந்துள்ள சிறுநீரகக்கல் காட்டை எடுத்துக் கொண்டால் சிறு கல்லானாலும், பெருங்கல்லானாலும் திறந்தநிலை அறுவை மருத்துவமே சிறந்ததெனத் தெரிகிறது. அப்படியெனில் சிறிய கல்லா பெரிய கல்லா என அறுதியிடவில்லை என்றால் மொத்த நிகழ்தகவின் அடிப்படையில் மாற்று மருத்துவத்தை மேற்கொள்ள வேண்டுமா என்ற கேள்வி எழுகிறது. அவ்வாறு செய்வது பகுத்தறிவுக்கு மாறாக உள்ளது.

அதே வேளையில், எப்போதுமே உட்குழுக்களுக்கான தகைமையையே எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் என்றும் கருதிவிட முடியாது. ஒருவேளை தொடர்பேயில்லாத கண் நிறம் போன்ற ஏதாவது ஒரு அடிப்படையில் குழுக்களைப் பிரித்து வேறுவிதமான முடிவுக்கு வந்துவிட்டால் என்ன செய்வது? பியர்ள் பெரும்பாலான இடங்களில் மொத்த தரவைப் பயன்படுத்துவதே சிறந்ததாக இருக்குமெனக் காட்டுகிறார்.[2] சில இடங்களில் தேர்ந்துள்ள கேள்வியைப் பொறுத்து, சரியாகப்படும்போது மட்டுமே உட்குழுக்களுக்கான தரவுகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இதுதான் இதிலுள்ள பெரிய முரண் என்கிறார் பியர்ள்.

இது போன்ற கேள்வி எழும்போது தொடர்புள்ள மாறிகளுக்கிடையேயான தூண்டல்வினை - தூண்டற்பேறு உறவுகளை ஒரு கோலம்போல வரைந்து பார்த்தால் எந்த உட்குழுவுக்கான முடிவுகளைப் பயன்படுத்தலாமென உறுதியாகக் கூறலாம். இவற்றைப் பயேசின் தூண்டல் உறவுத் தொடர்புகள் எனலாம்.

தலைகீழாகும் முரண் ஏற்படும் வாய்ப்பு[தொகு]

சிறுநீரகக் கல் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளது போன்ற 2 × 2 × 2 அட்டவணைகளில் ஏதேனும் ஒன்றை எடுத்தால் தற்செயலாக இம்முரண் ஏற்படுவதற்கான வாய்ப்பு 1/60[18] என உள்ளது.

மேற்கோள்கள்[தொகு]

  1. Clifford H. Wagner (February 1982). "Simpson's Paradox in Real Life". The American Statistician 36 (1): 46–48. doi:10.2307/2684093. 
  2. 2.0 2.1 2.2 2.3 Judea Pearl. Causality: Models, Reasoning, and Inference, Cambridge University Press (2000, 2nd edition 2009). ISBN 0-521-77362-8.
  3. 3.0 3.1 David Freedman, Robert Pisani and Roger Purves. Statistics (4th edition). W.W. Norton, 2007, p. 19. ISBN 978-0393929720. பிழை காட்டு: Invalid <ref> tag; name "freedman" defined multiple times with different content
  4. David S. Moore and D.S. George P. McCabe (February 2005). "Introduction to the Practice of Statistics" (5th edition). W.H. Freeman & Company. ISBN 0-7167-6282-X.
  5. Robert L. Wardrop (February 1995). "Simpson's Paradox and the Hot Hand in Basketball". The American Statistician, 49 (1): pp. 24–28.
  6. Alan Agresti (2002). "Categorical Data Analysis" (Second edition). John Wiley and Sons ISBN 0-471-36093-7
  7. Simpson, Edward H. (1951). "The Interpretation of Interaction in Contingency Tables". Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B 13: 238–241. 
  8. Pearson, Karl; Lee, A.; Bramley-Moore, L. (1899). "Genetic (reproductive) selection: Inheritance of fertility in man". Philosophical Translations of the Royal Statistical Society, Ser. A 173: 534–539. 
  9. G. U. Yule (1903). "Notes on the Theory of Association of Attributes in Statistics". Biometrika 2 (2): 121–134. doi:10.1093/biomet/2.2.121. 
  10. 10.0 10.1 Colin R. Blyth (June 1972). "On Simpson's Paradox and the Sure-Thing Principle". Journal of the American Statistical Association 67 (338): 364–366. doi:10.2307/2284382. 
  11. "Simpsons Paradox - Electoral Systems 102: Divide and miscount". the UK illusion (2010-02-09). பார்த்த நாள் 2012-10-02.
  12. Johnson, Jerry. "Misleading Aggregates: Simpson's Paradox". University of Nevada. பார்த்த நாள் 2012-10-02.
  13. C. R. Charig, D. R. Webb, S. R. Payne, J. E. Wickham (29 March 1986). "Comparison of treatment of renal calculi by open surgery, percutaneous nephrolithotomy, and extracorporeal shockwave lithotripsy". Br Med J (Clin Res Ed) 292 (6524): 879–882. doi:10.1136/bmj.292.6524.879. பப்மெட் 3083922. 
  14. Steven A. Julious and Mark A. Mullee (12/03/1994). "Confounding and Simpson's paradox". BMJ 309 (6967): 1480–1481. பப்மெட் 7804052. PMC 2541623. http://bmj.bmjjournals.com/cgi/content/full/309/6967/1480. 
  15. 15.0 15.1 15.2 P.J. Bickel, E.A. Hammel and J.W. O'Connell (1975). "Sex Bias in Graduate Admissions: Data From Berkeley". Science 187 (4175): 398–404. doi:10.1126/science.187.4175.398. பப்மெட் 17835295. http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/187/4175/398. 
  16. Julian Havil (28 March 2011). Impossible?: Surprising Solutions to Counterintuitive Conundrums. Princeton University Press. பக். 11–. ISBN 978-1-4008-2967-5. http://books.google.com/books?id=Ux5QcdVXo6oC&pg=PA11. பார்த்த நாள்: 30 August 2012. 
  17. Kocik Jerzy (2001). "Proofs without Words: Simpson's Paradox" (PDF). Mathematics Magazine 74 (5): 399. http://www.math.siu.edu/kocik/papers/simpson2.pdf. 
  18. Marios G. Pavlides and Michael D. Perlman (August 2009). "How Likely is Simpson's Paradox?". The American Statistician 63 (3): 226–233. doi:10.1198/tast.2009.09007. 

வெளி இணைப்புகள்[தொகு]