ஆய்லர் பான்மை எண்

கணிதத்தில், ஆய்லர் பான்மை எண் (Euler characteristic, Euler number) என்பது ஒரு இடவெளியியல் வெளியின் வடிவம் மற்றும் அமைப்பு குறித்து (அவ்வெளியானது வளைக்கப்படும் விதத்தைக் கருத்தில் கொள்ளாது) விளக்கும் இடவெளியியல் மாறிலி எண்ணாகும். இது $\chi$ என்ற கிரேக்க எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது..

முதலில் ஆய்லர் பான்மை எண்ணானது, பன்முகிகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்டது. பன்முகிகள் குறித்த தேற்றங்களை நிறுவுவதற்கும் பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள் உட்பட்ட பன்முகிகளின் வகைப்படுத்தலுக்கும் பயன்படுத்தப்பட்டது. இது கணிதவியலாளரும் வானியலாளருமான பிரான்செசுக்கோ மௌரொலோலிகோவின் 1537ல் கையெழுத்துக் குறிப்பில் பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களுக்காகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. லியோனார்டு ஆய்லர், இதனைப் பெரும்பாலும் குவிப் பன்முகிகளுக்காகப் பயன்படுத்தினார். ஆனால் இது ஒரு மாறிலி எண் என்பதான சரியான நிறுவலை அவர் தரவில்லை. தற்கால கணிதத்தில் ஆய்லர் பான்மை எண்ணானது அமைப்பு ஒப்பியலில் அமைகிறது.

பன்முகிகள்

கனசதுரத்தின் உச்சி, விளிம்பு, முகம்

பன்முகிகளுக்கு ஆய்லர் பான்மை எண் ( $\chi$) கீழ்வரும் வாய்பாடால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

$\chi =V-E+F$

V, பன்முகியின் உச்சிகளின் எண்ணிக்கை

E, பன்முகியின் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை

F பன்முகியுன் (முகம் (வடிவவியல்)|முகங்களின்]] எண்ணிக்கை

எந்தவொரு குவிப் பன்முகிக்கும் ஆய்லர் பான்மை எண்:

$V-E+F=2.$

1758 இல் ஆய்லரலால் காணப்பட்ட இந்த வாய்பாடானது "ஆய்லரின் பன்முகி வாய்பாடு" என அழைக்கப்படுகிறது. கோளத்தின் ஆய்லர் பான்மை எண்ணுடன் (χ = 2) இது ஒத்துள்ளதோடு கோளப் பன்முகிகளுக்கும் பயன்படும்.

குவிப் பன்முகிகள்

பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களுக்கான ஆய்லர் பான்மை எண் அட்டவணை:

பெயர்	படிமம்	உச்சிகள் V	விளிம்புகள் E	முகங்கள் F	ஆய்லர் பான்மை எண்: V − E + F
நான்முகி		4	6	4	2
அறுமுகி அல்லது கனசதுரம்		8	12	6	2
எண்முகி		6	12	8	2
பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம்		20	30	12	2
இருபதுமுகி		12	30	20	2

குவிவிலாப் பன்முகிகள்

குவிவிலாப் பன்முகிகளின் ஆய்லர் பான்மை எண்களுக்கான அட்டவணை:

பெயர்	படிமம்	உச்சிகள் V	விளிம்புகள் E	முகங்கள் F	ஆய்லர் பான்மை எண்: V − E + F
Tetrahemihexahedron		6	12	7	1
Octahemioctahedron		12	24	12	0
Cubohemioctahedron		12	24	10	−2
சிறு நாள்மீன் பன்னிருமுகி		12	30	12	−6
பெரு நாள்மீன் பன்னிருமுகி		20	30	12	2

நூலடைவு

• David Richeson; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press 2008.

மேலதிக வாசிப்புக்கு

• Flegg, H. Graham; From Geometry to Topology, Dover 2001, p. 40.

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Euler characteristic", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Polyhedral formula", MathWorld.
• Matveev, S.V. (2001), "Euler characteristic", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry.