படிமுறைத் தீர்வு

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
(அல்காரிதம் இலிருந்து வழிமாற்றப்பட்டது)
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்
யூக்கிளிடின் பாய்வுப்படம்.இது A , B ஆகிய இருப்புகளில் உள்ள இரண்டு a , b எனும் எண்களின் பெருமப் பொது ஈவைக் காண்பதற்கான பாய்வு வரைபடம் ஆகும். அல்கோரிதம் இருகண்னிகளின் தொடர்ந்த கழித்தல்களின் வழி செயல்படுகிறது: நம் ஓர்வில் B ≥ A ஆகும்போது(மேலும் துல்லியமாக, B இருப்பின் எண் b A இருப்பின் எண் a பெரிதாகவோ சமமாகவோ ஆகும்போது) "ஆம்" (அல்லது உண்மை) கிடைத்தால் அப்போது, B ← B – A (இதன் பொருள் ba எனும் எண் பழைய b எனும் எண்ணுக்கு மாற்றாகிறது என்பதாகும்.) என அல்கோரிதம் குறிப்பிடுகிறது. இதேபோல, A > B ஆகும்போது, அப்போது A ← A – B ஆகும். இந்த நிகழ்வு B மதிப்பு சுழியாகும்போது முடிவுறும். A பெ.பொ.ஈ. யாகக் கிடைக்கும். (அல்கோரிதம்: Scott 2009:13; குறியீடுகளும் வரைபடமும்: Tausworthe 1977).

படிமுறைத் தீர்வு (Algorithm, அல்கோரிதம்) என்பது ஒரு தீர்வுமுறை. இது பொதுவாக ஒரு கேள்விக்கான விடையை அடைய, ஒரு திட்டத்துடன், முறைவகுத்து, படிப்படியாய், ஆனால் முடிவுடைய படிகளுடன்,நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட குறியீட்டு மொழியில், கணிதச் சார்புகளுக்குத் தீர்வு காணும் வழிமுறை ஆகும்.[1] [2] [3]

கணிதவியலிலும் கணினி அறிவியலிலும் அல்கோரிதம் (கேட்கi/ˈælɡərɪðəm/ AL-gə-ri-dhəm) என்பது நிறைவேற்ற வேண்டிய செயல்களின் தன்னிறைவான வரிசைமுறை ஆகும். அல்கோரிதம் கணக்கிடுதல், தரவு கையாளுதல், தன்னியக்கமாகச் சிந்தித்தல் ஆகிய எப்பணியையும் நிறைவேற்றலாம்.

தொடக்கநிலையில் இருந்தும் தொடக்க உள்ளீட்டில் இருந்தும் (ஒருவேளை வெற்று நிலையில் இருந்தும்)[4] கட்டளைகள் கணித்தலை விவரிக்கின்றன. இவை செயல்படுத்தப்படும்போது, வரம்புள்ள[5] நன்கு வரையறுத்த எண்ணிக்கை கொண்ட தொடர்படிநிலைகளில் தொடர்ந்து செயல்பட, முடிவில் "வெளியீடு" பெறப்படுகிறது[6] இச்செயல்பாடு இறுதி முடியும் நிலையில் முற்றுகிறது. ஒருநிலையில் இருந்து மற்றொரு நிலைக்கன பெயர்வு கட்டாயமாக முந்தீர்மானீப்புத் தனமையோடு அமையவேண்டும் என்பதில்லை; தற்போக்கு அல்கோரிதவகைச் சார்ந்த சில அல்கோரிதங்கள் தற்போக்கிலான உள்ளீட்டைப் பயன்படுதுகின்றன.[7]

அல்கோரிதம் எனும் கருத்தினம் பல நூற்றாண்டுகளாகவே நிலவியதே, என்றாலும் நிகழ்காலப் பொருளில் ஓரளவுக்கு அல்கோரிதம் சொல்லின் வழக்கு 1928 இல் டேவிடு இல்பெர்ட் முடிவெடுப்புச் சிக்கலுக்கான தீர்வைக் காண முயற்சிகள் மேற்கொண்டபோது தொடங்கியது எனலாம். பிந்தைய முறைப்படுத்தல் முயற்சிகள் "[[விளைவுமிகு கணக்கீட்டுதிறம்"[8] அல்லது "விளைவுமிகு முறை" யை வரையறுக்க முயலுகையில் உருவாகின;[9] இம்முறைப்படுத்தல் முயற்சிகளில் GödelHerbrandKleene recursive சார்புகளும் (1930, 1934 , 1935) Alonzo Church அவர்களின் இலாம்டா கலனவியல் (1936) முயற்சியும் Emil Post அவர்களின் "Formulation 1" (1936) முயற்சியும் Alan Turing அவர்களின் Turing machines ( 1936–7, 1939) முயற்சிகளும் அடங்கும். அல்கோரிதங்களுக்கு நாம் கருதுவதற்கு நிகரான குறியீட்டு வறையரையை உருவாக்குவது இன்னமும் அறைகூவலான பணியாகவே உள்ளது.[10]

வரலாறு[தொகு]

அல்கோரிதம் என்னும் பெயர் 9 ஆவது நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த அல் குவாரிழ்சிமி (al-Khwarizmi) அல்லது அல் கோவாரிழ்சிமி (Al-Khowarizmi) என்னும் பெயருடைய ஈரானிய கணிதவியலாளர் எழுதிய "இந்துக்களின் கணக்கிடும் கலை பற்றி அல்-குவாரிழ்சிமி" என்னும் பொருள் படும் நூலின் இலத்தீன் மொழிபெயர்ப்பு நூலாகிய "Algoritmi de numero Indorum" (ஆல்கரித்மி டி நுமரோ இந்தோரம்) என்னும் நூலின் தலைப்பில் இருந்து பெற்ற algorismus (அல்கோரிஸ்மஸ்) என்ற இலத்தினச் சொல்லில் இருந்தும்[11] கிரேக்கச் சொல்லாகிய அரித்மோஸ்,( αριθμός) அதாவது "எண்" எனும் பொருள் உடைய சொல்லில் இருந்தும் பெறப்பட்டது. ஆங்கிலத்திலிச்சொல் முதலில் 1230 இலும் பின் சாசரால்1391 இலும் கையாளப்பட்டுள்ளது. ஆங்கிலச் சொல் பிரெஞ்சுச் சொல்லில் இருந்து பெறப்பட்டதாகும். இந்த ஆங்கிலச் சொல்லுக்கு இப்போதைய பொருள் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் தான் உருவாகியது.

மற்றொரு மிகப்பழைய பயன்பாடு 1240 இல் Carmen de Algorismo எனும் தலைப்புள்ள கையேட்டில் வருகிறது. இக்கையேடு அலெக்சாந்திரே தெ வில்லெடியூ என்பவரால் இயற்றப்பட்டது. அது பின்வருமாறு தொடங்குகிறது:

Haec algorismus ars praesens dicitur, in qua / Talibus Indorum fruimur bis quinque figuris.

இதன் மொழிபெயர்ப்பு பின்வருமாறு:

அல்கோரிதம் என்பது ஐந்தின் இருமடங்கு இலக்கமுள்ள (பதின்ம இலக்கமுள்ள) இந்திய எண்களைப் பயன்படுத்திடும் கலையாகும்.

இந்தக் கவிதை சில நூறு அடிகள் கொண்டது. இது இந்தியத் தாயங்களைக் கொண்டு அல்லது இந்திய எண்களைக் கொண்டு புதிய முறையில் கணக்கிடும் கலையைச் சுருக்கமாக்க் கூறுகிறது.

வரையறை[தொகு]

முறைசாரா வரையறை[தொகு]

முறைசாரா வரையறையாக, " அல்கோரிதம் என்பது செயல்முறைகளின் வரிசைமுறையை துல்லியமாக வரையறுக்கும் விதிகளின் கணமாகும்." என வரையறுக்கலாம்.[12] எனவே இதில் அனைத்துக் கணினி நிரல்களும், எண்கணக்கீடு இல்லாதவையுங்கூட, அடங்கும். பொதுவாக, குறிப்பிட்ட வரம்புள்ள படிநிலைகளில் முடிவுறும் நிரல் எதுவுமே அல்கோரிதமே.[13]

அல்கோரிதத்துக்கான முன்வடிவமாக, இரு முற்றெண்களுக்கான பெருமப் பொது ஈவைக் காணும் யூக்கிளிடின் அல்கோரிதத்தைக் கூறலாம்; எடுத்துகாட்டு முகப்பில் உள்ள பாய்வுப்படத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. பின்வரு பிரிவொன்றில் இது எடுத்துகாட்டகப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

Boolos & Jeffrey (1974, 1999) அவர்களின் ஆய்வு, பின்வருமாறு ஒரு முறைசாரா வரையறையைத் தருகிறது:

எண்ணமுடியாத அளவுள்ள ஈறிலிக் கணத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களின் பெயர்களையும் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக ஏதாவதொரு குறிவடிவில் எந்தவொரு மாந்தனாலும் வேகமாக அல்லது நீளமாக அல்லத் குறுகிய வடிவில் (அதாவது, மூலக்கூறிலோ, அனுக்களிலோ, மின்னன்களிலோ )எழுத முடியாது. ஆனால், மாந்தர்சில எண்ணவியலாத ஈறிக் கணங்களைப் பொறுத்தமட்டில், அதற்குச் சமமான பயனுள்ளதைச் செய்யமுடியும்: அந்தக் கணத்தின் n ஆம் உறுப்பினரைத் தீர்மானிக்கும் வெளிப்படையான கட்டளைகளை எந்தவொரு n மதிப்புக்கும் தரமுடியும். இந்தக் கட்டளைகள் எந்திரமோ அல்லது எளிய எண்முறை அல்லது குறிய்யிடு சார்ந்த கணிதவினைகள் மட்டுமே அறிந்தவரும் புரிந்துக் கொள்ளும்படி வெளிப்படையாக அமைதல் வேண்டும்.[14]

பயன்பாடு[தொகு]

படிமுறைத் தீர்வு முறையை அடிப்படைக் கணிதப் பாடங்களிளில் பயிற்றுவிப்பது வழக்கம் என்றாலும், இப்பெயரைத் தொடக்க நிலைகளில் ஆள்வதில்லை. அடிப்படை எண் கணிதத்தில் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்னும் செயற்பாடுகளை படிகளாகக் கொண்டு எண்கணிதக் கேள்விகளுக்குத் தீர்வு காண்பது பலரும் அறிந்தது. எடுத்துக்காட்டாக 253 என்னும் ஓர் எண்ணை 5 ஆல் வகுத்தால் மீதி எவ்வளவு, ஈவு எவ்வளவு என்னும் ஒரு கேள்வியை எடுத்துக்கொள்வோம். அல்கோரிதம் என்னும் படிநிலைத் தீர்முறைப்படி, முதலில் 5 ஐ 253 இல் இருந்து கழிப்போம். மீதம் இருக்கும் எண்ணாகிய, 248 ஐ (253 -5 = 248) 5 ஐ விட பெரியதாக இருந்தால், மீண்டும் ஒரு முறை மீதம் இருக்கும் எண்ணில் இருந்து 5 ஐக் கழிப்போம். என்று இப்படியாக, மீதம் இருக்கும் எண்ணில் இருந்து கழித்துக்கொண்டே வந்தால் (முடிவுடைய எண்ணிக்கையான படிநிலைகளில்) கடைசியில் எஞ்சி இருக்கும் எண் மீதி (மீதி = 3). எத்தனை முறை கழிக்க முடிந்தது என்பது ஈவு (50). இங்கு விரித்துக் கூறிய முறை ஓர் எளிய அல்கோரிதம் ஆகும். வேறு விதமாகக் கூறுவதென்றால், N, b ஆகியவற்றைத் தெரிந்த இயல் எண்கள் என்று கொள்வோம், (எடுத்துக்காட்டாக N = 253, b = 5). இப்பொழுது என்று எழுத முடியும் என்று எடுத்துக்கொண்டால், தெரியாத A, C என்பனவற்றை, எவ்வாறு கண்டு பிடிப்பது என்பது கேள்வி. இதில் ஒரே ஒரு சமன்பாடு (எடுகோள்)தான் உள்ளது ஆனால் A, C ஆகிய தெரியாத இரண்டு எண்களை (அவை நிலவினால்) இந்த ஆல்கரித முறைவழி பெறுகின்றோம் என்பதனையும் உணர்தல் வேண்டும். இதே போல ஓர் இயல் எண் பகா எண்ணா ? எனக் கண்டுபிடித்தல் போன்ற பற்பல கேள்விகளுக்கும் அல்கோரித முறைகள் உள்ளன. தற்காலக் கணினிகளில் பற்பல தீர்வுகளுக்கும் பல்வேறு வகையான படிநிலைத் தீர்முறைத் முறைகள் வகுக்கப்படுகின்றன. பல சிக்கலான கேள்விகளுக்கு இப்படி படிப்படியாய் கணினிவழி கணக்கிட்டு, ஒப்பிட்டு, முடிவுசெய்து தீர்வு காண்பது பரவலாக பயன்பாட்டில் உள்ள முறை ஆகும். ஆனால் சில கேள்விகளுக்கு முடிவுடைய எண்ணிக்கையான படிநிலைகளில் தீர்வு காண்பது இயலாது. எவ்வகையான கேள்விகளுக்கு இப்படி திட்டமிட்ட, படிநிலைவழி எவற்றுக்கு முறையான தீர்வுகள் கிட்டும், எவற்றுக்குக் கிட்டாது, அவற்றை எவ்வாறு முன்கூட்டியே அறிவது முதலான கேள்விகள் முதன்மையானவை. யூக்கிளிடின் காலத்தில் இருந்தே தீர்வுகாண முடியாத கேள்விகளில் ஒன்றாக இருப்பது, கவராயம் (compass), அளவீடு குறிப்பிடாத ஒரு அளவுகோல் இவற்றை மட்டும் கொண்டு எவ்வாறு ஒரு கோணத்தை மூன்று சமப் பங்காகப் பங்கிடுவதும் இதேபோல ஒரு குறிப்பிட்ட வட்டத்தின் பரப்பளவைக் கொண்ட கட்டத்தை (சதுரம்) வரைவது எவ்வாறு, என்பன முடிவில்லாதன. டாய்ட்சு கணிதவியலாளர் டேவிட் இல்பர்ட்டின் (David Hilbert) தீர்வுகானவேண்டிய 23 கேள்விகள் என்னும் முன்வைப்பும், ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் ஆலன் டூரிங்கின் (Alan Turing) ஆய்வின் பயனாய், படிநிலைத் தீர்முறைப்படி முடிவுபெறாத கேள்விகள் உள்ளன என்னும் முடிவும், குர்த் கியோதலின் (Kurt Gödel) நிறுவமுடியாத கேள்விகள் உண்டு எனும் கருதுகோள்களும் படிமுறைத்தீர்வு பற்றிய கேள்விகளில் மிகவும் பெயர்பெற்றவை.

மேலும் காண்க[தொகு]

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. "Any classical mathematical algorithm, for example, can be described in a finite number of English words" (Rogers 1987:2).
  2. Well defined with respect to the agent that executes the algorithm: "There is a computing agent, usually human, which can react to the instructions and carry out the computations" (Rogers 1987:2).
  3. "an algorithm is a procedure for computing a function (with respect to some chosen notation for integers) ... this limitation (to numerical functions) results in no loss of generality", (Rogers 1987:1).
  4. "An algorithm has zero or more inputs, i.e., quantities which are given to it initially before the algorithm begins" (Knuth 1973:5).
  5. "A procedure which has all the characteristics of an algorithm except that it possibly lacks finiteness may be called a 'computational method'" (Knuth 1973:5).
  6. "An algorithm has one or more outputs, i.e. quantities which have a specified relation to the inputs" (Knuth 1973:5).
  7. Whether or not a process with random interior processes (not including the input) is an algorithm is debatable. Rogers opines that: "a computation is carried out in a discrete stepwise fashion, without use of continuous methods or analogue devices . . . carried forward deterministically, without resort to random methods or devices, e.g., dice" Rogers 1987:2.
  8. Kleene 1943 in Davis 1965:274
  9. Rosser 1939 in Davis 1965:225
  10. Moschovakis, Yiannis N. (2001). "What is an algorithm?". in Engquist, B.; Schmid, W.. Mathematics Unlimited – 2001 and beyond. Springer. பக். 919–936 (Part II). ISBN 9783540669135. http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.32.8093. 
  11. "Etymology of algorithm". பார்த்த நாள் 13 December 2016.
  12. Stone 1973:4
  13. Stone simply requires that "it must terminate in a finite number of steps" (Stone 1973:7–8).
  14. Boolos and Jeffrey 1974,1999:19

மேற்கோள்கள்[தொகு]

நூல்தொகை[தொகு]

  • Axt, P (1959). "On a Subrecursive Hierarchy and Primitive Recursive Degrees". Transactions of the American Mathematical Society 92: 85–105. doi:10.2307/1993169. 
  • Bell, C. Gordon and Newell, Allen (1971), Computer Structures: Readings and Examples, McGraw–Hill Book Company, New York. ISBN 0-07-004357-4.
  • Blass, Andreas; Gurevich, Yuri (2003). "Algorithms: A Quest for Absolute Definitions". Bulletin of European Association for Theoretical Computer Science 81. http://research.microsoft.com/~gurevich/Opera/164.pdf.  Includes an excellent bibliography of 56 references.
  • Boolos, George; Jeffrey, Richard (1999) [1974]. Computability and Logic (4th ed.). Cambridge University Press, London. ISBN 0-521-20402-X. : cf. Chapter 3 Turing machines where they discuss "certain enumerable sets not effectively (mechanically) enumerable".
  • Burgin, Mark (2004). Super-Recursive Algorithms. Springer. ISBN 978-0-387-95569-8. 
  • Campagnolo, M.L., Moore, C., and Costa, J.F. (2000) An analog characterization of the subrecursive functions. In Proc. of the 4th Conference on Real Numbers and Computers, Odense University, pp. 91–109
  • Church, Alonzo (1936a). "An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory". The American Journal of Mathematics 58 (2): 345–363. doi:10.2307/2371045.  Reprinted in The Undecidable, p. 89ff. The first expression of "Church's Thesis". See in particular page 100 (The Undecidable) where he defines the notion of "effective calculability" in terms of "an algorithm", and he uses the word "terminates", etc.
  • Church, Alonzo (1936b). "A Note on the Entscheidungsproblem". The Journal of Symbolic Logic 1 (1): 40–41. doi:10.2307/2269326.  Church, Alonzo (1936). "Correction to a Note on the Entscheidungsproblem". The Journal of Symbolic Logic 1 (3): 101–102. doi:10.2307/2269030.  Reprinted in The Undecidable, p. 110ff. Church shows that the Entscheidungsproblem is unsolvable in about 3 pages of text and 3 pages of footnotes.
  • Daffa', Ali Abdullah al- (1977). The Muslim contribution to mathematics. London: Croom Helm. ISBN 0-85664-464-1. 
  • Davis, Martin (1965). The Undecidable: Basic Papers On Undecidable Propositions, Unsolvable Problems and Computable Functions. New York: Raven Press. ISBN 0-486-43228-9.  Davis gives commentary before each article. Papers of Gödel, Alonzo Church, Turing, Rosser, Kleene, and Emil Post are included; those cited in the article are listed here by author's name.
  • Davis, Martin (2000). Engines of Logic: Mathematicians and the Origin of the Computer. New York: W. W. Nortion. ISBN 0-393-32229-7.  Davis offers concise biographies of Leibniz, Boole, Frege, Cantor, Hilbert, Gödel and Turing with von Neumann as the show-stealing villain. Very brief bios of Joseph-Marie Jacquard, Babbage, Ada Lovelace, Claude Shannon, Howard Aiken, etc.
  • Black, Paul E.. "algorithm". NIST.
  • Dean, Tim (2012). "Evolution and moral diversity". Baltic International Yearbook of Cognition, Logic and Communication 7. 
  • Dennett, Daniel (1995). Darwin's Dangerous Idea. New York: Touchstone/Simon & Schuster. ISBN 0-684-80290-2. 
  • Yuri Gurevich, Sequential Abstract State Machines Capture Sequential Algorithms, ACM Transactions on Computational Logic, Vol 1, no 1 (July 2000), pages 77–111. Includes bibliography of 33 sources.
  • Kleene, Stephen C. (1936). "General Recursive Functions of Natural Numbers". Mathematische Annalen 112 (5): 727–742. doi:10.1007/BF01565439. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002278499&L=1.  Presented to the American Mathematical Society, September 1935. Reprinted in The Undecidable, p. 237ff. Kleene's definition of "general recursion" (known now as mu-recursion) was used by Church in his 1935 paper An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory that proved the "decision problem" to be "undecidable" (i.e., a negative result).
  • Kleene, Stephen C. (1943). "Recursive Predicates and Quantifiers". American Mathematical Society Transactions 54 (1): 41–73. doi:10.2307/1990131.  Reprinted in The Undecidable, p. 255ff. Kleene refined his definition of "general recursion" and proceeded in his chapter "12. Algorithmic theories" to posit "Thesis I" (p. 274); he would later repeat this thesis (in Kleene 1952:300) and name it "Church's Thesis"(Kleene 1952:317) (i.e., the Church thesis).
  • Kleene, Stephen C. (1991). Introduction to Metamathematics (Tenth ed.). North-Holland Publishing Company. ISBN 0-7204-2103-9.  Excellent—accessible, readable—reference source for mathematical "foundations".
  • Knuth, Donald (1997). Fundamental Algorithms, Third Edition. Reading, Massachusetts: Addison–Wesley. ISBN 0-201-89683-4. 
  • Knuth, Donald (1969). Volume 2/Seminumerical Algorithms, The Art of Computer Programming First Edition. Reading, Massachusetts: Addison–Wesley. 
  • Kosovsky, N. K. Elements of Mathematical Logic and its Application to the theory of Subrecursive Algorithms, LSU Publ., Leningrad, 1981
  • Kowalski, Robert (1979). "Algorithm=Logic+Control". Communications of the ACM 22 (7): 424–436. doi:10.1145/359131.359136. 
  • A. A. Markov (1954) Theory of algorithms. [Translated by Jacques J. Schorr-Kon and PST staff] Imprint Moscow, Academy of Sciences of the USSR, 1954 [i.e., Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations, 1961; available from the Office of Technical Services, U.S. Dept. of Commerce, Washington] Description 444 p. 28 cm. Added t.p. in Russian Translation of Works of the Mathematical Institute, Academy of Sciences of the USSR, v. 42. Original title: Teoriya algerifmov. [QA248.M2943 Dartmouth College library. U.S. Dept. of Commerce, Office of Technical Services, number OTS 60-51085.]
  • Minsky, Marvin (1967). Computation: Finite and Infinite Machines (First ed.). Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. ISBN 0-13-165449-7.  Minsky expands his "...idea of an algorithm—an effective procedure..." in chapter 5.1 Computability, Effective Procedures and Algorithms. Infinite machines.
  • Post, Emil (1936). "Finite Combinatory Processes, Formulation I". The Journal of Symbolic Logic 1 (3): 103–105. doi:10.2307/2269031.  Reprinted in The Undecidable, p. 289ff. Post defines a simple algorithmic-like process of a man writing marks or erasing marks and going from box to box and eventually halting, as he follows a list of simple instructions. This is cited by Kleene as one source of his "Thesis I", the so-called Church–Turing thesis.
  • Rogers, Jr, Hartley (1987). Theory of Recursive Functions and Effective Computability. The MIT Press. ISBN 0-262-68052-1. 
  • Rosser, J.B. (1939). "An Informal Exposition of Proofs of Godel's Theorem and Church's Theorem". Journal of Symbolic Logic 4 (2): 53–60. doi:10.2307/2269059.  Reprinted in The Undecidable, p. 223ff. Herein is Rosser's famous definition of "effective method": "...a method each step of which is precisely predetermined and which is certain to produce the answer in a finite number of steps... a machine which will then solve any problem of the set with no human intervention beyond inserting the question and (later) reading the answer" (p. 225–226, The Undecidable)
  • Santos-Lang, Christopher (2014). "Moral Ecology Approaches to Machine Ethics". in van Rysewyk, Simon; Pontier, Matthijs (PDF). Machine Medical Ethics. Switzerland: Springer. பக். 111–127. doi:10.1007/978-3-319-08108-3_8. http://grinfree.com/MoralEcology.pdf. 
  • Scott, Michael L. (2009). Programming Language Pragmatics (3rd ed.). Morgan Kaufmann Publishers/Elsevier. ISBN 978-0-12-374514-9. 
  • Sipser, Michael (2006). Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing Company. ISBN 0-534-94728-X. 
  • Sober, Elliott; Wilson, David Sloan (1998). Unto Others: The Evolution and Psychology of Unselfish Behavior. Cambridge: Harvard University Press. 
  • Stone, Harold S. (1972). Introduction to Computer Organization and Data Structures (1972 ed.). McGraw-Hill, New York. ISBN 0-07-061726-0.  Cf. in particular the first chapter titled: Algorithms, Turing Machines, and Programs. His succinct informal definition: "...any sequence of instructions that can be obeyed by a robot, is called an algorithm" (p. 4).
  • Tausworthe, Robert C (1977). Standardized Development of Computer Software Part 1 Methods. Englewood Cliffs NJ: Prentice–Hall, Inc.. ISBN 0-13-842195-1. 
  • Turing, Alan M. (1936–37). "On Computable Numbers, With An Application to the Entscheidungsproblem". Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2 42: 230–265. doi:10.1112/plms/s2-42.1.230. . Corrections, ibid, vol. 43(1937) pp. 544–546. Reprinted in The Undecidable, p. 116ff. Turing's famous paper completed as a Master's dissertation while at King's College Cambridge UK.
  • Turing, Alan M. (1939). "Systems of Logic Based on Ordinals". Proceedings of the London Mathematical Society 45: 161–228. doi:10.1112/plms/s2-45.1.161.  Reprinted in The Undecidable, p. 155ff. Turing's paper that defined "the oracle" was his PhD thesis while at Princeton USA.
  • United States Patent and Trademark Office (2006), 2106.02 **>Mathematical Algorithms: 2100 Patentability, Manual of Patent Examining Procedure (MPEP). Latest revision August 2006


துணை மேற்கோள்கள்[தொகு]


மேலும் படிக்க[தொகு]


வெளி இணைப்புகள்[தொகு]

ஆல்கோரிதத் தேக்கமைப்புகள்
விரிவுரைக் குறிப்புகள்
"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=படிமுறைத்_தீர்வு&oldid=2401567" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது