அலகுமட்டுடைய அணி

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
Jump to navigation Jump to search

கணிதத்தில் அலகுமட்டுடைய அணி (unimodular matrix) என்பது ஒரு சதுர முழுஎண் அணியாகும். மேலும் ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு +1 அல்லது −1 ஆக இருக்கும். பொதுவாக ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியானது M என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

அலகுமட்டுடைய அணியானது முழுஎண்களில் நேர்மாற்றத்தக்க முழுஎண் அணியாக இருக்கும். ஒரு அணியே அதன் நேர்மாறு அணியாகவும் அமையக்கூடிய முழுஎண் அணிகளும் (N) உண்டு.

எனவே M , b இரண்டும் முழுஎண் அணிகளாகவும் M அலகுமட்டுடைய அணியாகவும் இருந்தால் Mx = b என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு முழுஎண் தீர்வு இருக்கும். n வரிசையுள்ள அலகுமட்டுடைய அணிகள் ஒரு குலமாகும். இக்குலத்தின் குறியீடு .

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

கீழுள்ள அணிகள் அலகுமட்டுடைய அணிகளாக இருக்கும்:

குலம்[தொகு]

கீழுள்ள முடிவுகளால் அலகுமட்டுடைய அணிகளின் கணமானது அணிப்பெருக்கலின் கீழ் ’பொது நேரியல் குலத்தின்’ உட்குலமாக அமையும்:

  • இரு அலகுமட்டுடைய குலங்களின் பெருக்குத்தொகையும் ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியாக இருக்கும்.
  • முற்றொருமை அணி ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியாக அமைவதால் உட்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக இருக்கும்.
  • ஒவ்வொரு அலகுமட்டுடைய அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாகும்.
(p , q இரண்டும் முறையே A , B இன் அளவுகள்) என்பதால் குரோனெக்கரின் பெருக்கத்தின்கீழ் இரு அலகுமட்டுடைய அணிகளின் பெருக்கற்பலனும் ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியாக இருக்கும்.

முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணி[தொகு]

முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணி (totally unimodular matrix) [1] என்பது, அதன் ஒவ்வொரு சதுர நேர்மாற்றத்தக்க அணியும் அலகுமட்டுடைய அணியாகக் கொண்ட அணியாகும். ஒரு முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணியானது சதுர அணியாக இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணியின் வரையறையிலிருந்து அதன் உறுப்புகள் 0, +1 அல்லது −1 ஆக மட்டுமே இருக்க முடியும் என்று அறியலாம். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையில்லை; 0, +1 அல்லது −1 ஐ மட்டுமே உறுப்புகளாகக் கொண்ட அணிகள் எல்லாம் அலகுமட்டுடைய அணிகளாக இருக்க வேண்டுமென்றில்லை.

எடுத்துக்காட்டுகள்[தொகு]

  • ஒரு முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணியாகும்.
  • இது ஒரு முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணி இல்லை. ஏனென்றால் இதன் ஒரு உள்ளணி, அணிக்கோவை மதிப்பு  −2 ஆகக்கொண்டு அலகுமட்டுடைய அணியாக இல்லாமல் உள்ளது.

குறிப்புகள்[தொகு]

  1. The term was coined by Claude Berge, see Hoffman, A.J.; Kruskal, J. (2010), "Introduction to Integral Boundary Points of Convex Polyhedra", in M. Jünger et al. (eds.), 50 Years of Integer Programming, 1958-2008, Springer-Verlag, pp. 49–50 

மேற்கோள்கள்[தொகு]

வெளியிணைப்புகள்[தொகு]

"https://ta.wikipedia.org/w/index.php?title=அலகுமட்டுடைய_அணி&oldid=2695753" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது