கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
இப்படத்தில், BD:DC = AB:AC.
வடிவவியலில் , கோண இருசமவெட்டித் தேற்றமானது (Angle bisector theorem ) முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் இரு சமவெட்டியானது அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை வெட்டுவதால் கிடைக்கும் கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதங்களைப்பற்றிக் கூறும் தேற்றமாகும் . இத்தேற்றத்தின்படி அக்கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதம் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.
தேற்றம் [ தொகு ]
ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் உட்புற கோண இரு சம
வெட்டியானது, அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை உட்புறமாக அக்கோணத்தினை அடக்கிய பக்கங்களின் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
அதாவது முக்கோணம்
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
-ஐ எடுத்துக் கொள்க.
∠
A
{\displaystyle \angle A}
-ன் இருசமவெட்டி,
B
C
{\displaystyle \ BC}
பக்கத்தை
D
{\displaystyle \ D}
புள்ளியில் வெட்டட்டும்.
கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, கோட்டுத் துண்டுகள்
B
D
{\displaystyle \ BD}
மற்றும்
D
C
{\displaystyle \ DC}
-ன் விகிதமானது,
A
B
{\displaystyle \ AB}
மற்றும்
A
C
{\displaystyle \ AC}
பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:
|
B
D
|
|
D
C
|
=
|
A
B
|
|
A
C
|
.
{\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.}
பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி,
D
{\displaystyle \ D}
புள்ளியானது பக்கம்
B
C
{\displaystyle \ BC}
-ன் மீது அமைந்தால்(அ-து, AD கோண இருசமவெட்டியாக இருக்க வேண்டியதில்லை) :
|
B
D
|
|
D
C
|
=
|
A
B
|
sin
∠
D
A
B
|
A
C
|
sin
∠
D
A
C
.
{\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}
இதிலிருந்து, கோணம்
∠
B
A
C
{\displaystyle \angle BAC}
-ன் இருசமவெட்டியாக,
A
D
{\displaystyle \ AD}
இருக்கும்போது முதலிலுள்ள தேற்றத்தைப் பெறலாம்.
மேலேயுள்ள படத்தில்,
△
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
மற்றும்
△
A
C
D
{\displaystyle \triangle ACD}
முக்கோணங்களுக்கு சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:
|
A
B
|
|
B
D
|
=
sin
∠
B
D
A
sin
∠
B
A
D
{\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}}
..... (சமன்பாடு 1)
|
A
C
|
|
D
C
|
=
sin
∠
A
D
C
sin
∠
D
A
C
{\displaystyle {\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}}
..... (சமன்பாடு 2)
கோணங்கள்
∠
B
D
A
{\displaystyle \angle BDA}
மற்றும்
∠
A
D
C
{\displaystyle \angle ADC}
இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் . எனவே அவற்றின் சைன் மதிப்புகள் சமம்.
கோணங்கள்
∠
B
A
D
{\displaystyle \angle BAD}
மற்றும்
∠
D
A
C
{\displaystyle \angle DAC}
இரண்டும் சமமானவை.
எனவே சமன்பாடுகள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்:
|
A
B
|
|
B
D
|
=
|
A
C
|
|
D
C
|
{\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {|AC|}{|DC|}}}
எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
கோட்டுத்துண்டு
A
D
{\displaystyle \ AD}
கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால்
கோணங்கள்
∠
B
A
D
{\displaystyle \angle BAD}
மற்றும்
∠
D
A
C
{\displaystyle \angle DAC}
இரண்டும் சமமில்லை.
சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:
|
A
B
|
|
B
D
|
sin
∠
B
A
D
=
sin
∠
B
D
A
{\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA}}
|
A
C
|
|
D
C
|
sin
∠
D
A
C
=
sin
∠
A
D
C
{\displaystyle {{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}}
கோணங்கள்
∠
B
D
A
{\displaystyle \angle BDA}
மற்றும்
∠
A
D
C
{\displaystyle \angle ADC}
இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்:
|
A
B
|
|
B
D
|
sin
∠
B
A
D
=
|
A
C
|
|
D
C
|
sin
∠
D
A
C
{\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC}}
இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.
நிறுவல்-மாற்றுமுறை [ தொகு ]
△
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
-க்கு, உச்சி
B
{\displaystyle \ B}
வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி B 1 என்க.
△
A
C
D
{\displaystyle \triangle ACD}
-க்கு, உச்சி
C
{\displaystyle \ C}
வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி C 1 என்க.
△
{\displaystyle \triangle }
DB 1 B மற்றும்
△
{\displaystyle \triangle }
DC 1 C இரண்டும் செங்கோண முக்கோணங்கள் .
D
{\displaystyle \ D}
புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு
B
C
{\displaystyle \ BC}
-ன் மேல் இருந்தால், கோணங்கள்
∠
{\displaystyle \angle }
B 1 DB மற்றும்
∠
{\displaystyle \angle }
C 1 DC இரண்டும் சர்வசமமாகவும்
D
{\displaystyle \ D}
புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு
B
C
{\displaystyle \ BC}
-ன் மேல் இல்லையெனில் அவ்விரு கோணங்களும் முற்றுமொத்தவையாகவும் அமையும்.
எனவே முக்கோணங்கள்,
△
{\displaystyle \triangle }
DB 1 B மற்றும்
△
{\displaystyle \triangle }
DC 1 C இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்களாகும் (AAA).
|
B
D
|
|
C
D
|
=
|
B
B
1
|
|
C
C
1
|
=
|
A
B
|
sin
∠
B
A
D
|
A
C
|
sin
∠
C
A
D
.
{\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.}
எனவே பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.
வெளி இணைப்புகள் [ தொகு ]