வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றம்

வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றம்

யூக்ளீடிய வடிவவியலின் முக்கிய முடிவான வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின் (butterfly theorem) கூற்று:

ஒரு வட்டத்தின் நாண் PQ இன் நடுப்புள்ளி M; இந்த நடுப்புள்ளிவழியே வட்டத்திற்கு மேலும் இரு நாண்கள் AB, CD வரையப்படுகின்றன; AD, BC இரண்டும் நாண் PQ ஐ வெட்டும் புள்ளிகள் முறையே X, Y எனில், XY இன் நடுப்புள்ளி M ஆக இருக்கும். .

நிறுவல்

வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின் நிறுவல்

X புள்ளியிலிருந்து AM, DM கோடுகளுக்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடுகள் முறையே XX′, XX″; Y புல்ளியிலிருந்து BM, CM கோடுகளுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் முறையே YY′, YY″.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி:

$\triangle MXX'\sim \triangle MYY'\implies {MX \over MY}={XX' \over YY'},$

$\triangle MXX''\sim \triangle MYY''\implies {MX \over MY}={XX'' \over YY''},$

$\triangle AXX'\sim \triangle CYY''\implies {XX' \over YY''}={AX \over CY},$

$\triangle DXX''\sim \triangle BYY'\implies {XX'' \over YY'}={DX \over BY}.$

மேலுள்ள நான்கு முடிவுகள் மற்றும் வெட்டும் நாண்கள் தேற்றத்தின்படி:

$\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},$

${}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},$

${}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},$

${}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},$

${}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},$ (PM = MQ).

${(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.$

குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய:

${(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.$

இருபுறமுமுள்ள பொது உறுப்பான ${-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}$ ஐ நீக்க:

${(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}},$

MX, MY, PM மூன்றும் நேர்ம மெய்யெண்கள் என்பதால்:

MX = MY

அதாவது M, XY இன் நடுப்புள்ளி.

வீழ்ப்பு வடிவவியலைப் பயன்படுத்தும் ஒரு நிறுவல் உள்ளிட்ட வேறு நிறுவல்களும் இத்தேற்றத்துக்கு உள்ளன.

வரலாறு

1803 ஆம் ஆண்டில் வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின் நிறுவல் அறியப்படவேண்டும் என கணிதவியலாளர் வில்லியம் வாலசு கூறினார். 1804 இல் மூன்று நிறுவல்கள் வெளியிடப்பட்டன. 1805 இல் கணிதவியலாளர் வில்லியம் எர்செல், வில்லியம் வாலசுக்கு எழுதிய கடிதத்தில் இத்தேர்றத்தின் நிறுவலைக் காணவேண்டுமெனக் கூறினார். 1814 ஆம் ஆண்டில் மீண்டும் இதே கோரிக்கை ரெவரன்சு. தாமசு இசுக்கர் (Rev. Thomas Scurr) என்பவரால் எழுப்பப்பட்டது.

வெளியிணைப்புகள்

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,
Butterfly theorem
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன.

• The Butterfly Theorem at cut-the-knot
• A Better Butterfly Theorem at cut-the-knot
• Proof of Butterfly Theorem at PlanetMath
• The Butterfly Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Butterfly Theorem", MathWorld.