வெட்டும் நாண்கள் தேற்றம்

படம் 1: $|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

படம் 2: ${\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\=&(r+d)\cdot (r-d)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}$

படம் 3:

$\triangle ASD\sim \triangle BSC$

வடிவவியலில், வெட்டும் நாண்கள் தேற்றம் அல்லது சுருக்கமாக நாண் தேற்றம் (intersecting chords theorem, chord theorem) என்பது ஒரு வட்டத்துக்குள் இரு நாண்கள் வெட்டிக்கொள்வதால் உண்டாகும் நான்கு கோட்டுத்துண்டுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பைத் தருகிறது.

தேற்றத்தின் கூற்று:

ஒரு வட்டத்தின் இரு நாண்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும்போது ஒரு நாணின் வெட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்குத் தொகை மற்றொரு நாணின் வெட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்குத் தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.

இக்கூற்று, யூக்ளிடின் எலிமென்ட்சின் மூன்றாவது புத்தகத்தில் காணப்படும் 35 ஆவது கூற்றாகும்.

வட்ட நாண்கள் AC, BD இரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி S எனில்:

$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும். அதாவது:

இரு கோட்டுத்துண்டுகள் AC, BD வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி S, மேலும் $|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$ என்பதும் உண்மையாக இருக்குமானால், A, B, C , D ஆகிய நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மீதமையும். அதாவது நாற்கரம் ABCD, ஒரு வட்ட நாற்கரம்.

இத்தேற்றத்தின் முடிவில் காணப்படும் இரு பெருக்குத்தொகைகளின் மதிப்பு, வெட்டும் புள்ளி S ஆனது வட்ட மையத்திலிருந்து அமையும் தொலைவைப் பொறுத்தது. மேலும், அவற்றின் தனிமதிப்பு S இன் படி எனவும் அழைக்கப்படும்.

$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}$

r - வட்டத்தின் ஆரம்; d = வட்ட மையத்துக்கும் (M) S புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தூரம்.

படம் 2 இல் வரையப்பட்டுள்ளது போல மூன்றாவது நாண் ஒன்றை வட்டமையம் M, S வழியாக வரைந்து தேற்றத்தின் முடிவைப் பயன்படுத்தி இரு பெருக்குத்தொகைகளின் மதிப்பு $r^{2}-d^{2}$ ஆக இருப்பதைக் காட்டலாம்.

தொடுகோடு-வெட்டுக்கோடு தேற்றம், வெட்டும் வெட்டுக்கோடுகள் தேற்றம், வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் தேற்றம் ஆகிய மூன்றும் இரு வெட்டும்கோடுகள் மற்றும் ஒரு வட்டம் பற்றிய பொதுவான தேற்றமான புள்ளியின் படியின் தேற்றத்தின் அடிப்படை வகைத் தேற்றங்களாகும்.

நிறுவல்

வடிவொத்த முக்கோணங்களைக் கொண்டு இத்தேற்றத்தை நிறுவலாம்:

ASD, BSC முக்கோணங்களில்:

வட்டத்தின் நாண் ஒன்று வட்டத்தில் தாங்கும் கோணங்கள் எல்லாம் சமமாக இருக்குமென்பதால்,

$\angle ADS=\angle BCS\,$ (நாண் AB வட்டத்தில் தாங்கும் கோணங்கள்)

$\angle DAS=\angle CBS\,$(நாண் CD வட்டத்தில் தாங்கும் கோணங்கள்)

$\angle ASD=\angle BSC\,$(குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)

எனவே ASD, BSC இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி அவற்றின் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதகங்கள் சமம். இதன்படி:

${\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

மேற்கோள்கள்

• Paul Glaister: Intersecting Chords Theorem: 30 Years on. Mathematics in School, Vol. 36, No. 1 (Jan., 2007), p. 22 (JSTOR)
• Bruce Shawyer: Explorations in Geometry. World scientific, 2010, ISBN 9789813100947, p. 14
• Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, p. 149 (German).
• Schülerduden - Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, pp. 415-417 (German)

வெளியிணைப்புகள்

• Intersecting Chords Theorem at cut-the-knot.org
• Intersecting Chords Theorem at proofwiki.org
• Weisstein, Eric W., "Chord", MathWorld.
• Two interactive illustrations: [1] and [2]