தள வளைவரை

கணிதத்தில் தள வளைவரை அல்லது தள வளைகோடு (plane curve) என்பது ஒரு [[தளம் (வடிவவியல்)|தளத்திலமைந்த வளைகோடாகும். அத்தளமானது யூக்ளிடிய தளம், கேண்முறைத் தளம் (affine plane) அல்லது வீழ்ப்புவழித் தளமாக (projective plane) இருக்கலாம். பெரும்பாலும் ஆய்வு செய்யப்படும் தள வளைவரைகள் இழைவான சீர் வளைவரைகளும் ( smooth curve) இயற்கணித தள வளைவரைகளுமாகும்.

சீரான தளவளைவரை

சீரான தள வளைவரை என்பது மெய் யூக்ளிடிய தளம் R² இல் அமைந்ததொரு வளைவரையாகும். இது ஒருபரிமாண சீர் பன்மடியாக இருக்கும்.

அதாவது சீரான தளவளைவரையானது, ஒரு கோட்டைப்" போலத் தோற்றமளிக்கும் தளவளைவரையாக அமையும்; இதன் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கு அருகிலும் இவ்வளைவரையை, ஒரு சீரான சார்புகொண்டு ஒரு கோட்டுடன் இணைக்க இயலும்.

சீரான தளவளைவரையைக் குறிக்கும் சமன்பாடு:

f(x, y) = 0, f : R² → R ஒரு சீரான சார்பு. மேலும் இவ்வளைவரையின் மீதமையும் எந்தவொரு புள்ளியிலும் பகுதிவகைக்கெழுக்கள் ∂f/∂x, ∂f/∂y ஆகிய இரண்டும் ஒருபோதும் பூச்சியமாக இருக்காது.

இயற்கணித தளவளைவரை

இயற்கணித தளவளைவரை என்பது கேண்முறை அல்லது வீழ்வழித் தளங்களிலமைந்த வளைவரைகளாகும். 18 ஆம் நூற்றாண்டுமுதலே இவ்வளைவரைகள் ஆய்வு செய்யப்பட்டு வருகின்றன.

இவ்வளைவரையின் பல்லுறுப்புச் சமன்பாடு:

f(x, y) = 0

வீழ்வழித்தளங்களில்:

F(x, y, z) = 0, F ஒரு சமபடித்தான பல்லுறுப்புக்கோவை

ஒரு இயற்கணித தளவளைவரையின் சமன்பாட்டை வரையறுக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படியே, அந்த இயற்கணித தளவளைவரையின் படியாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு:

x² + y² = 1 என்ற சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்படும் வட்டத்தின் படி = 2.

மூன்று படியுள்ளவை முப்படித் தளவளைவரைகள் எனவும், நான்கு படியுள்ளவை நாற்படித் தளவளைவரைகள் எனவும் அழைக்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பெயர்	உட்படு சமன்பாடு	துணையலகுச் சமன்பாடு	ஒரு சார்பாக	வரைபடம்
நேர் கோடு	$ax+by=c$	$(x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)$	$y=mx+c$
வட்டம்	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$(x,y)=(r\cos t,r\sin t)$
பரவளைவு	$y-x^{2}=0$	$(x,y)=(t,t^{2})$	$y=x^{2}$
நீள்வட்டம்	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$
அதிபரவளைவு	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)$

மேற்கோள்கள்

• Coolidge, J. L. (April 28, 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards, ASIN B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover, ISBN 0-486-60288-5.

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Plane Curve", MathWorld.