பரிமாற்று வளையம்

கணிதத்தில் பரிமாற்று வளையம் (commutative ring) என்பது பெருக்கலை பொறுத்துபரிமாற்றுப் பண்பைக் கொண்டுள்ள ஒரு வளையமாகும். பரிமாற்று வளையங்களைக் குறித்த விவரங்களை ஆய்வு செய்யும் பிரிவானது பரிமாற்று இயற்கணிதம் எனப்படுகிறது. மாறாக, ஒப்பீட்டளவில், பரிமாற்றுத்தன்மையற்ற இயற்கணிதம் என்பது பரிமாற்றற்ற வளையம் வளையங்களைக் குறித்ததாகும். பரிமாற்றற்ற வளயங்களில் பெருக்கலைப் பொறுத்து பரிமாற்றுபண்பு இல்லை.

வரையறை மற்றும் உதாரணங்கள் 

வரையறை

ஒரு வளையம் என்பது இரு ஈருறுப்புச் செயலிகளைக் கொண்ட ஒரு கணம் R. இவ்விரு செயல்களும் "கூட்டல்" ("$+$"), "பெருக்கல்" ("$\cdot$") எனப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக,

$a+b$ and $a\cdot b$.

ஒரு வளையத்தை உருவாக்க இந்த இரு செயல்களும் பல பண்புகளைப் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

வளையமானது

• கூட்டலைப் பொறுத்து பரிமாற்றுக் குலமாகவும்
• பெருக்கலைப் பொறுத்து ஒற்றைக்குலமாகவும் இருக்கும்.
• மேலும் கூட்டலைப் பொறுத்து பெருக்கல் பங்கீட்டுவிதியை நிறைவு செய்யும். அதாவது

$a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)$.

•  கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான சமனி உறுப்புகள் முறையே 0 மற்றும் 1 ஆகும்.

இப்பண்புகளுடன் சேர்த்து வளையம் $R$ ஆனது, பெருக்கலுக்கான பரிமாற்றுப் பண்பையும்

$$a\cdot b=b\cdot a,$$

நிறைவு செய்யுமானால் இவ்வளையம் "பரிமாற்று வளையம்" என அழைக்கப்படும். இந்த கட்டுரையின் எஞ்சியுள்ள பகுதிகளில், வெளிப்படையாகப் பரிமாற்றற்ற வளையமெனக் கூறாவிட்டால், அனைத்து வளையங்களும் பரிமாற்றுடையவையே.

 எடுத்துக்காட்டுகள்

இரு முழுஎண்களின் பெருக்கல் பரிமாற்று விதியை நிறைவுசெய்வதால், கூட்டல், பெருக்கல் ஆகிய இரு செயல்பாடுகளுடன் முழுவெண் கணம் $\mathbb {Z}$ பரிமாற்று வளையத்திற்கு முக்கிய எடுத்துக்காட்டாகும்.

களம் ஒவ்வொன்றும் ஒரு பரிமாற்று வளையமாகும். களத்தில் $0\not =1$; ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற உறுப்புக்கும் ( $a$) நேர்மாறு உண்டு. அதாவது $a$ இன் நேர்மாறு $b,$ $a\cdot b=1$ என அமையும். களத்தின் வரையறைப்படி எந்த ஒரு களமும் பரிமாற்று வளையமாகும். , விகிதமுறு எண்களின் கணம், மெய்யெண்களின் கணம், சிக்கலெண்களின் கணம் ஆகிய மூன்றும் களங்களாகும். இவை பரிமாற்று வளையங்களாகவும் இருக்கும்.

$R$ ஒரு பரிமாற்று வளையமாகவும்,$X$ மாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கெழுக்கள் $R$ இல் இருக்குமானால், அத்தகையப் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கணம் ஒரு பரிமாற்று வளையமாக இருக்கும். இவ்வளையமானது $R\left[X\right]$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இக்கூற்று பன்மாறிகளிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் பொருந்தும்.