எதிர்சமச்சீர் உறவு

கணிதத்தில், ஒரு கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு எதிர்சமச்சீர் (antisymmetric) எனில், அக்கணத்தின் வெவ்வேறான உறுப்புகளைக் கொண்ட எந்தவொரு சோடி உறுப்புகளிலும் ஒரு உறுப்பு மற்றொன்றோடு உறவு கொண்டிருக்கும் நிலையில், இரண்டாவது உறுப்பு முதல் உறுப்புடன் உறவு கொண்டிருக்காது.

X கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R எதிர்சமச்சீர் எனில்:

X இல் உள்ள அனைத்து a , b க்கும்,

R(a,b) , R(b,a) உண்மையெனில் a = b ஆக இருக்கும்.

(அல்லது சமானமாக)

R(a,b) , a ≠ b எனில் R(b,a) உண்மையாகாது

கணிதக் குறியீட்டில்:

$\forall a,b\in X,\ R(a,b)\land R(b,a)\;\Rightarrow \;a=b$

அல்லது சமானமாக,

$\forall a,b\in X,\ R(a,b)\land a\neq b\Rightarrow \lnot R(b,a).$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• (x, y) என்ற முழு எண் சோடியில் "x இரட்டை எண், y ஒற்றையெண்" என்ற உறவு எதிர்சமச்சீர் உறவு

• இயல் எண்கள் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட வகுபடும் அல்லது வகுக்கும் என்பது எதிர்ச்சமச்சீர் உறவுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு. இரு இயல் எண்கள் ஒன்றையொன்று வகுக்க வேண்டுமானால் அவை சம எண்களாக இருக்க வேண்டும். n , m வேறுபட்ட இயல் எண்கள்; m இன் வகுஎண் n எனில், மறுதலை உண்மையாகாது. n இன் வகுஎண்ணாக m இருக்க முடியாது.
• மெய்யெண்கள் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ≤ (விடச் சிறியது அல்லது சமம்) என்ற ஈருறுப்பு உறவு எதிர்சமச்சீரானது:

x , y இரு மெய்யெண்கள்.

x ≤ y , y ≤ x என்ற இரு சமனிலிகளும் உண்மை உண்மையாக இருக்கவேண்டுமானால் x , y இரண்டும் அவசியம் சமஎண்களாக இருக்க வேண்டும்.

• ஒரு கணத்தின் உட்கணங்களின் கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ⊆ (உட்கணம்) உறவு, எதிர்சமச்சீர்மை கொண்டது.

A , B என்ற இரு கணங்களில், A இல் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் B இலும், B இல் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் A இலும் இருக்குமானால், A , B இரண்டும் ஒரே உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் சமகணங்கள்:

$A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B$

• பகுதி வரிசை உறவுகளும் முழு வரிசை உறவுகளும் அவற்றின் வரையறைப்படி எதிர்ச்சமச்சீர் உறவுகளாக அமைகின்றன.

சமச்சீர், சமச்சீரற்ற உறவுகளுடன் தொடர்பு

• ஒரு உறவு சமச்சீர் உறவாகவும், எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும் இருக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு

சமச்சீர் உறவாகவும், எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும் அமையும் உறவுகளுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு சமன்.

• எதிர்ச்சமச்சீர் உறவு, சமச்சீரற்ற உறவிலிருந்து வேறுபட்டது.

ஒரு உறவு சமச்சீரற்றதாக இருப்பதற்கு உறவுக்கு எதிர்சமச்சீர்மை, எதிர்வற்றதன்மை இரண்டும் அவசியம். ஒவ்வொரு சமச்சீரற்ற உறவும் எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும் இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Weisstein, Eric W., "Antisymmetric Relation", MathWorld.
• Seymour Lipschutz; Marc Lars Lipson (1997). Theory and Problems of Discrete Mathematics. McGraw-Hill. பக். 33. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-07-038045-7. https://archive.org/details/schaumsoutlineof0000lips_n4f9.