திசையன் பரப்பு

வடிவவியலில் திசையிலி பரப்பு $S$ கொண்ட ஒரு முடிவுறு மேற்பரப்பின் திசையன் பரப்பு (vector area) என்பது ஒரு திசையன். இத்திசையனின் அளவு $S.$ ஆகவும் அதன் திசை அத்தளத்தின் செங்குத்தின் திசையாகவும் (வலது-கை விதிப்படி) இருக்கும்.

இத்திசையன் பரப்பின் குறியீடு:

$\mathbf {S}$

மேலும்,

$\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} S$

தட்டையான முகப்புப் பரப்புகள், $S_{i}$ -களாலான ஒரு திசையிடக்கூடிய மேற்பரப்பு S -ன் திசையன் பரப்பு:

$\mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}S_{i}$

இங்கு $\mathbf {\hat {n}} _{i}$ என்பது $S_{i}$ -ன் செங்குத்து அலகுத்திசையன்.

வரம்பு மற்றும் திசையுடைய வளைந்த மேற்பரப்புகளுக்கும் திசையன் பரப்புகளை வரையறுக்க முடியும். முதலில் அவற்றைப் போதுமான அளவு தட்டையான நுண்ணிய சிறுசிறு பரப்புத்துண்டுகளாகப் பிரித்துக் கொள்ள வேண்டும். இவ்வாறு பிரிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு நுண்ணிய சிறுபரப்பிற்கும் திசையன் பரப்பு உண்டு. அவை ஒவ்வொன்றும் நுண்ணியவையாகவே அமையும்.

$d\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} dS$

இங்கு $\mathbf {\hat {n}}$ என்பது $dS$ -பரப்பிற்குச் செங்குத்து அலகுத்திசையன். தொகையிட, வளைபரப்பின் திசையன் பரப்புக் கிடைக்கும்.

$\mathbf {S} =\int d\mathbf {S}$

வளைந்த அல்லது தட்டையான முடிவுறு வரம்புடை மேற்பரப்புகள் இரண்டிற்கும் திசையன் பரப்பின் அளவு திசையிலிப் பரப்பை விடச் சிறியதாக இருக்கும். அதிகபட்சமானதொரு எடுத்துக்காட்டாக திசையன் பரப்பு பூச்சியமாக இருக்கும் ஒரு மூடிய மேற்பரப்பின் திசையிலிப் பரப்பு மிகவும் பெரியதாக இருக்கலாம். ஒரே வரம்புக்குள் அமையும் வெவ்வேறு திசையிலிப் பரப்புகளின் திசையன் பரப்புகள் சமமாக அமையும். மேற்பரப்புகளின் வரம்புகளே அவற்றின் திசையன் பரப்புகளை முழுவதுமாக தீர்மானிக்கின்றன. இவ்வுண்மை ஸ்டோக்ஸ் தேற்றத்தின் விளைவாக கிடைக்கிறது.

தளங்களின் மீதான பரப்புகளின் வீழல்

x-y தளத்தின் மீதான வீழ்த்தப்பட்ட பரப்பு, திசையன் பரப்பின் z-கூறாக அமையும். மேலும் அதன் மதிப்பு:

$\mathbf {S_{z}} =\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta$

இங்கு $\theta$ என்பது தளத்தின் செங்குத்திற்கும் z-அச்சிற்கும் இடைப்பட்டக் கோணம்.