வெட்டாக் கோடுகள்

A fibration of projective space by skew lines on nested hyperboloids.

வடிவவியலில் வெட்டாக் கோடுகள் (skew lines) என்பவை யூக்ளிடிய முப்பரிமாண வெளியில் ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்ளாமலும் அதே சமயம் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இல்லாமலும் அமையும் இரு கோடுகளைக் குறிக்கும். அதாவது வெட்டாக் கோடுகள் இரண்டும் ஒரே தளத்தில் அமையாது. இக்கோடுகளுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக ஒரு ஒழுங்கு நான்முகியின் எதிர் விளிம்புகளைக் கூறலாம். ஒரே தளத்தில் அமையும் இரு கோடுகள் கண்டிப்பாக ஒன்றையொன்று வெட்டிக் கொள்ளும் அல்லது ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருக்கும். எனவே வெட்டாக் கோடுகள் மூன்று அல்லது மூன்றுக்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களில் மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகின்றன.

விளக்கம்

ஒரு சோடி வெட்டாக் கோடுகளில் ஒவ்வொரு கோட்டையும் வரையறுக்கும் இரண்டிரண்டு புள்ளிகளை எடுத்துக் கொண்டால் அவை நான்கும் பூச்சியமில்லாக் கனஅளவுடைய ஒரு நான்முகியை வரையறுக்கும். மறுதலையாக பூச்சியமில்லாக் கனஅளவுடைய ஒரு நான்முகியின் நான்கு உச்சிகளாக அமையும் இரு சோடிப் புள்ளிகள் ஒரு சோடி வெட்டாக் கோடுகளை வரையறுக்கும்.

எனவே தரப்பட்ட இரு சோடிப் புள்ளிகள் (a,b) மற்றும் (c,d) வெட்டாக் கோடுகளை வரையறுக்குமா இல்லையா என்பதைக் காண அப்புள்ளிகளால் அமையும் நான்முகியின் கனஅளவு காண வேண்டும்:

V = |det(a−b, b−c, c−d)|/6

இக்கனஅளவு பூச்சியமில்லை எனில் எடுத்துக்கொண்ட நான்கு புள்ளிகளும் இரு வெட்டாக் கோடுகளைத் தரும்.

இரு வெட்டாக் கோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்

இரு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் காண அக்கோடுகளின் திசையன் சமன்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

$\mathbf{x} = \mathbf{a} + \lambda \mathbf{b}$

$\mathbf{y} = \mathbf{c} + \mu \mathbf{d}$.

b மற்றும் d -இரண்டிற்கும் செங்குத்தான அலகுத்திசையன்

$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{b} \times \mathbf{d}}{|\mathbf{b} \times \mathbf{d}|}$

( |b × d| பூச்சியம் எனில் இரு கோடுகளும் வெட்டாக் கோடுகள் அல்ல மாறாக அவை இணைகோடுகளாக இருக்கும்.)

தரப்பட்ட இரு கோடுகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்:

$d = |\mathbf{n} \cdot (\mathbf{c} - \mathbf{a})|$.

மேற்கோள்கள்

• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), Chelsea, pp. 13–17, ISBN 0-8284-1087-9 .
• Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), "Configurations of skew lines" (in Russian), Leningrad Math. J. 1 (4): 1027–1050, http://www.math.uu.se/~julia/SplSkrPr.pdf . Revised version in English: arXiv:math.GT/0611374.

வெளி இணைப்புகள்

• Eric W. Weisstein, Skew Lines at MathWorld.
• Finding the shortest distance between two skew lines