வீச்சளவை சுழிவளவை தேற்றம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிப்பீடியாவில் இருந்து.
தாவிச் செல்லவும்: வழிசெலுத்தல், தேடல்

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் வீச்சளவை-சுழிவளவை தேற்றம் (Rank-Nullity Theorem) அடிப்படைத் தேற்றங்களில் முதன்மையானது. ஒரு முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளியிலிருந்து மற்றொரு திசையன் வெளிக்குப் போகும் ஒரு நேரியல் கோப்பைப் பற்றிய பற்பல விவரங்கள் இத்தேற்றத்திலிருந்துதான் தொடங்குகின்றன. ஒரு நேரியல் கோப்பு T: U \rightarrow V இனுடைய வீச்சின் பரிமாணம் வீச்சளவை என்றும் அதன் சுழிவின் பரிமாணம் சுழிவளவை என்றும் சொல்லப்படும். அவ்விரண்டு பரிமாணங்களின் கூட்டுத்தொகை dimU க்குச்சமம் என்பதுதான் இத்தேற்றம்.

தேற்றம்[தொகு]

T: U \rightarrow  V ஒரு நேரியல் கோப்பு என்றும் U வின் பரிமாணம் p என்றும் கொள்.

R(T) = T இன் வீச்சு; அ-து \{v \in V : U விலுள்ள ஏதோ ஒரு u க்கு T(u) = v\}

N(T) = T இன் சுழிவு, அ-து \{ u \in U: T(u) = 0\}

r(T) = வீச்சளவை = R(T) இன் பரிமாணம்.

n(T) = சுழிவளவை = N(T) இன் பரிமாணம்.

என்றால், r(T) + n(T) =  p

விளைவுகள்[தொகு]

இப்பொழுது, T ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருந்தால், இருந்தால் தான், dimV = p

  • U, V இரண்டும் முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகள் என்றால்,
ஒரு நேரியல் கோப்பு T:\rightarrow V உள்ளிடுகோப்பாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அது முழுக்கோப்பாக இருக்கும்.
  • U, V இரண்டும் p-பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகள் என்றும், T : U \rightarrow V ஒரு நேரியல் கோப்பு என்றும் கொள்.
இப்பொழுது, பின்வரும் வாசகங்களெல்லாம் ஒன்றுக்கொன்று சமானம்:
(அ) T ஒரு வழுவிலா கோப்பு; அ-து, ஒன்றுக்கொன்று இயைபான கோப்பு, மற்றும் முழுக்கோப்பு.
(ஆ) T ஒரு உள்ளிடு கோப்பு
(இ) T, U விலுள்ள நேரியல் சார்பற்ற உட்கணங்களை V இன் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணங்களாக உருமாற்றுகிறது.
(ஈ) T, U வினுடைய ஒவ்வொரு அடுக்களத்தையும் V இன் ஒரு அடுக்களமாக மாற்றுகிறது.
(உ) T ஒரு முழுக்கோப்பு
(ஊ) T இன் வீச்சளவை r(T) = p
(எ) T இன் சுழிவளவை n(T) = 0
(ஏ) T^{-1} க்கு இருப்பு உண்டு.
  • p-பரிமாணமுள்ள சிக்கலெண் திசையன் வெளி எதுவும் {V_p}^{\mathbf{C}} உடன் சம அமைவியமுள்ளது.

துணை நூல்கள்[தொகு]

  • Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. ISBN 0-387-96205-0.
  • V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. ISBN 81-85095-15-9